《第三章 函数的概念与性质》单元复习与单元检测试卷（共四套）

《第三章函数的概念与性质》单元复习基础知识讲解1．分段函数的解析式求法及其图象的作法【基础知识】分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．【技巧方法】求解函数解析式的几种常用方法1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．2．函数单调性的性质与判断【基础知识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【技巧方法】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论3．复合函数的单调性【基础知识】复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．【技巧方法】求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．4．奇函数、偶函数【奇函数】如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．【技巧方法】①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x【偶函数】如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【技巧方法】①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．5．函数奇偶性的性质与判断【基础知识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【技巧方法】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．6.函数解析式的求解及常用方法【基础知识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．【技巧方法】求解函数解析式的几种常用方法主要有1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等．7.幂函数的单调性、奇偶性及其应用【基础知识】1.幂函数定义：一般地，函数y＝xa（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．（1）指数是常数；（2）底数是自变量；（3）函数式前的系数都是1；（4）形式都是y＝xa，其中a是常数．8.幂函数的性质【基础知识】所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：a、图象都通过点（1，1）（0，0）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：a、图象都通过点（1，1）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．9.五个常用幂函数的图象和性质（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y＝；（5）y＝x﹣1y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x﹣1定义域RRR[0，+∞）{x|x≠0}值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，+∞）时，增x∈（﹣∞，0]时，减增增x∈（0，+∞）时，减x∈（﹣∞，0）时，减公共点（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）10.幂函数的奇偶性（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．11．函数最值的应用【基础知识】函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值．在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题．另外，最值可分为最大值和最小值．【技巧方法】这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很多高考题中也常常以大题的形式出现，所以务必引起重视．这里我们以具体的例题来讲解．12．根据实际问题选择函数类型【基础知识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．【技巧方法】常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．《第三章函数的概念与性质》单元检测试卷（一）选择题（共12小题）1．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．2．函数的图象大致为（）A． B．C． D．3．若函数为奇函数，则实数的值为（）A． B． C． D．4．已知，则的值为（）A．15 B．7C．31 D．175．设函数,则（）A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减6．若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（）A． B．C． D．7．幂函数在上为增函数，则实数的值为（）A．0 B．1 C．1或2 D．28．已知函数，则A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数9．下列函数中，满足“对任意，，当时，都有”的是（）A． B． C． D．10．已知关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．11．一元二次方程的两根均大于2，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．12．设奇函数在上是减函数，且，若不等式对所有的都成立，则t的取值范围是（）A． B．C． D．填空题（共6小题）13．设函数，则________.14．已知正实数，满足，则的最小值为__________15．函数为定义在上的奇函数，且满足，若，则__________．16．设偶函数满足，则满足的实数的取值范围为________．17．已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是____18．函数零点的个数为_____________.三．解析题（共6小题）19．已知函数，试解答下列问题：（1）求的值；（2）求方程=的解．20．（1）已知是一次函数，且，求的解析式；（2）已知函数，求的解析式．21．函数对任意的都有,并且时，恒有.(1).求证：在R上是增函数；(2).若解不等式22．已知定义在上的奇函数，当时，.（1）当时，解方程；（2）求在区间上的解析式.23．已知幂函数的图像过点.（1）求函数的解析式；（2）设函数在是单调函数，求实数的取值范围.24．暑假期间，某旅行社为吸引中学生去某基地参加夏令营，推出如下收费标准：若夏令营人数不超过30，则每位同学需交费用600元；若夏令营人数超过30，则营员每多1人，每人交费额减少10元（即：营员31人时，每人交费590元，营员32人时，每人交费580元，以此类推），直到达到满额70人为止.（1）写出夏令营每位同学需交费用（单位：元）与夏令营人数之间的函数关系式；（2）当夏令营人数为多少时，旅行社可以获得最大收入？最大收入是多少？【答案解析】选择题（共12小题）1．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】二次函数的图象是开口向下的抛物线.最大值为，且在时取得，而当或时，.结合函数图象可知的取值范围是．故选:C．2．函数的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误.故选：A.3．若函数为奇函数，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】为奇函数当时，又时，本题正确选项：4．已知，则的值为（）A．15 B．7C．31 D．17【答案】C【解析】令，则将代入，得所以，所以.故选：C5．设函数,则（）A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，所以函数为奇函数．又因为函数在上单调递增，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递增．故选：A．6．若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.故选：A.7．幂函数在上为增函数，则实数的值为（）A．0 B．1 C．1或2 D．2【答案】D【解析】因为函数是幂函数，所以，解得或，因为函数在上为增函数，所以，即，，故选：D.8．已知函数，则A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】函数的定义域为，且即函数是奇函数，又在都是单调递增函数，故函数在R上是增函数．故选A.9．下列函数中，满足“对任意，，当时，都有”的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意可得，函数在区间单调递增，对A，B，函数在区间单调递减，故A，B错误；对D，函数在区间先增后减，故D错误；故选：C.10．已知关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意,画出的图像如下图所示:由图像可知,若方程有两个不等实根则函数图像在轴左侧的最大值大于等于1即可所以即故选:D11．一元二次方程的两根均大于2，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】关于x的一元二次方程的两根均大于2，则,解得.故选C.12．设奇函数在上是减函数，且，若不等式对所有的都成立，则t的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为奇函数在上是减函数，且，所以，若不等式对所有的都成立，则，解可得，故选：B填空题（共6小题）13．设函数，则________.【答案】【解析】当时，又故答案为：.14．已知正实数，满足，则的最小值为__________【答案】【解析】解：正实数，满足，，可得.则.令，.即有，又函数在上单调递减，.故答案为：.15．函数为定义在上的奇函数，且满足，若，则__________．【答案】3【解析】，，又为奇函数，是周期为的周期函数，是定义在上的奇函数，，，.故答案为：3．16．设偶函数满足，则满足的实数的取值范围为________．【答案】【解析】∵偶函数满足，函数在上为增函数，且，∴不等式等价为，，即或，解得或．故答案为：.17．已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是____【答案】1【解析】∵函数是幂函数，∴，解得或，又∵该函数是偶函数，当时，函数是奇函数，当时，函数是偶函数，即的值是1，故答案为1.18．函数零点的个数为_____________.【答案】2【解析】函数零点的个数，即方程实数根的个数.由，即或由得或.由无实数根.所以函数的零点有2个.故答案为：2三．解析题（共6小题）19．已知函数，试解答下列问题：（1）求的值；（2）求方程=的解．【答案】（1）；（2）或【解析】解：（1）函数，所以所以（2）当时，即，解得或（舍去）；当时，即，解得；综上所述，或．20．（1）已知是一次函数，且，求的解析式；（2）已知函数，求的解析式．【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）因为是一次函数，所以可设则，所以，解得，所以．（2）令，则．因为，所以．故．【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，换元法求函数解析式，属于常考题型.21．函数对任意的都有,并且时，恒有.(1).求证：在R上是增函数；(2).若解不等式【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1).设,且,则,所以即,所以是R上的增函数.(2).因为,不妨设,所以,即，，所以.，因为在R上为增函数，所以得到,即.22．已知定义在上的奇函数，当时，.（1）当时，解方程；（2）求在区间上的解析式.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）或（舍）或（舍）；故当时，方程无解，即解集为.（2）由题意知：；当时，综上所述，.23．已知幂函数的图像过点.（1）求函数的解析式；（2）设函数在是单调函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为的图像过点，所以，则，所以函数的解析式为：；（2）由（1）得，所以函数的对称轴为，若函数在是单调函数，则或，即或，所以实数的取值范围为.24．暑假期间，某旅行社为吸引中学生去某基地参加夏令营，推出如下收费标准：若夏令营人数不超过30，则每位同学需交费用600元；若夏令营人数超过30，则营员每多1人，每人交费额减少10元（即：营员31人时，每人交费590元，营员32人时，每人交费580元，以此类推），直到达到满额70人为止.（1）写出夏令营每位同学需交费用（单位：元）与夏令营人数之间的函数关系式；（2）当夏令营人数为多少时，旅行社可以获得最大收入？最大收入是多少？【答案】（1）（2）当人数为45人时，最大收入为20250元【解析】（1）由题意可知每人需交费关于人数的函数：（2）旅行社收入为，则，即，当时，为增函数，所以，当时，为开口向下的二次函数，对称轴，所以在对称轴处取得最大值，.综上所述：当人数为45人时，最大收入为20250元.《第三章函数的概念与性质》单元检测试卷（二）一、选择题（共12小题）1．若函数，则（）A．-1 B．0 C．1 D．22．设函数为一次函数，且，则（）A．3或1 B．1 C．1或 D．或13．若函数|在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．4．若函数单调递增，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．5．定义在上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（）.A． B．C． D．6．若函数的最小值3，则实数的值为（）A．5或8 B．或5 C．或 D．或7．已知定义在上的奇函数，对任意实数，恒有，且当时，，则（）A．6 B．3 C．0 D．8．满足的实数m的取值范围是（）.A． B．C． D．9．已知函数是幂函数且是上的增函数，则的值为()A．2 B．－1 C．－1或2 D．010．已知，若为负数，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（）A． B．C． D．12．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（）A． B． C． D．二、填空题（共6小题）13．函数，则______．14．已知定义在上的函数的导函数为，若对于任意都有，且，则不等式的解集为________.15．已知函数，函数，则函数的最小值是_______.16．已知奇函数在定义域上递减，且，则实数的取值范围是______.17．已知函数，则不等式的解集是______.18．已知函数满足，函数，若函数与的图象共有12个交点，记作，则的值为______.三．解析题（共6小题）19．已知定义在上的函数.（1）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.20．根据下列条件，求f(x)的解析式.（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；（2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；（3）.21．已知定义在上的函数对任意实数都满足，且，当时，.（1）证明：在上是减函数；（2）解不等式22．已知定义域为R的函数是奇函数.（1）求b的值；（2）判断函数的单调性；（3）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.23．已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.24．已知函数．（1）若时，，求的值；（2）若时，函数的定义域与值域均为，求所有值．【答案解析】一、选择题（共12小题）1．若函数，则（）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】由题意，函数，可得.故选：B.2．设函数为一次函数，且，则（）A．3或1 B．1 C．1或 D．或1【答案】B【解析】设一次函数，则，，，解得或，或，或.故选：B.3．若函数|在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】,分三种情况讨论.当时，，所以；当时，，在上显然单调；当时，，所以.综上：或.故选B.4．若函数单调递增，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，函数单调递增所以，解得当时，是单调递增函数，所以，当时，一次函数取值要小于或等于指数式的值，所以，解之得：，综上所述：实数a的取值范围是故选：B5．定义在上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（）.A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，函数为奇函数且在单调递减，因为，可得，要使不等式成立，即成立，则实数满足，解得，所以实数的取值范围为.故选：D.6．若函数的最小值3，则实数的值为（）A．5或8 B．或5 C．或 D．或【答案】D【解析】由题意，①当时，即，，则当时，，解得或（舍）；②当时，即，，则当时，，解得（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意，所以或，故选D.7．已知定义在上的奇函数，对任意实数，恒有，且当时，，则（）A．6 B．3 C．0 D．【答案】B【解析】由题得，所以函数的周期为.由题得，，，所以，所以.故选：B.8．满足的实数m的取值范围是（）.A． B．C． D．【答案】D【解析】幂函数在为减函数，且函数值为正，在为减函数，且函数值为负，等价于，或或，解得或或，所以不等式的解集为.故选：D.9．已知函数是幂函数且是上的增函数，则的值为()A．2 B．－1 C．－1或2 D．0【答案】B【解析】由题意得，故选：B.10．已知，若为负数，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，.故选：.11．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.12．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，函数是定义在上的奇函数，且，可得，所以，所以函数是周期为4的周期函数，又由当时，，则.故选：C.二、填空题（共6小题）13．函数，则______．【答案】1【解析】根据题意，，则；故答案为1．14．已知定义在上的函数的导函数为，若对于任意都有，且，则不等式的解集为________.【答案】【解析】即为，设函数，则，所以在上单调递减，又因为，所以，不等式可化为，即，所以，故解集为.故答案为：.15．已知函数，函数，则函数的最小值是_______.【答案】0【解析】解：当时，为单调增函数，则；当时，为单调减函数，所以，所以函数的最小值是0.故答案为:0.16．已知奇函数在定义域上递减，且，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】由于是定义在上单调递减的奇函数，所以由，得，所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.17．已知函数，则不等式的解集是______.【答案】【解析】，故为奇函数，且单调递减，则令，故为奇函数且单调递减，故等价于，即，即，解得故答案为18．已知函数满足，函数，若函数与的图象共有12个交点，记作，则的值为______.【答案】72【解析】因为，所以关于点成中心对称，又因为，所以也关于点成中心对称，所以与的图象的交点也关于点成中心对称，不妨认为，所以有，所以.三．解析题（共6小题）19．已知定义在上的函数.（1）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1),(2).【解析】（1）当时，；当时，,由可知：，

即，所以有，因为，解得，故；（2）当时，，即，因为，故，因为，所以，则m的取值范围是.20．根据下列条件，求f(x)的解析式.（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；（2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；（3）.【答案】（1）f(x)＝x＋3；（2）f(x)＝x2＋2x－2；（3）【解析】（1）解由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，由恒等式性质，得∴a＝1，b＝3∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.（2）设x＋1＝t，则x＝t－1f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.（3）解，将原式中的x与互换，得.于是得关于f(x)的方程组解得.21．已知定义在上的函数对任意实数都满足，且，当时，.（1）证明：在上是减函数；（2）解不等式【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）因为任意实数都满足，令，则，∵，∴当时，则，∴，∵，∴，即时，恒成立，设任意的，且，则，∴，即在上是减函数，（2），，由（1）知在上为减函数，得：，故不等式的解集为.22．已知定义域为R的函数是奇函数.（1）求b的值；（2）判断函数的单调性；（3）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.【答案】（1）1；（2）减函数；（3）.【解析】（1）因为是奇函数，所以，即，∴（2）由（1）知，设则因为函数在R上是增函数且，∴又，∴即∴在上为减函数.（3）因是奇函数，从而不等式：等价于，因为减函数，由上式推得：.即对一切有：，从而判别式.23．已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）在区间上是单调增函数，即又而时，不是偶函数，时，是偶函数，．（2）显然不是方程的根.为使仅在处有极值，必须恒成立，即有，解不等式，得.这时，是唯一极值．．24．已知函数．（1）若时，，求的值；（2）若时，函数的定义域与值域均为，求所有值．【答案】（1）（2），【解析】（1）因为,所以所以,所以或,因为,所以．（2）当时,在上单调递减,因为函数的定义域与值域均为,所以,两式相减得不合,舍去．当时,在上单调递增,因为函数的定义域与值域均为,所以,无实数解.当时,所以函数在上单调递减,在上单调递增．因为函数的定义域与值域均为,所以,．综合所述,,．《第三章函数的概念与性质》单元检测试卷（三）选择题1．下列哪一组函数相等（）A.fx=x与gx=C.fx=x与gx2．函数的定义域为()A. B. C. D.3．设函数，则的表达式是（）A.B.C.D.4．已知，若，则的值是（）A． B．或 C．，或 D．5．下列函数中,是偶函数,且在区间上为增函数的是()A． B．C． D．6．已知，若，则等于()A． B． C． D．7．关于函数，有下列结论①函数是偶函数；②函数在上递减；③函数在上递增；④函数在上的最大值为.其中所有正确结论的编号是（）A．①② B．①②④ C．②③ D．①③④8．下列函数中，对任意，不满足的是（）A． B．C． D．9．2021年12月,某人的工资纳税额是元，若不考虑其他因素,则他该月工资收入为()级数全月应纳税所得额税率(%)1不超过元32元10注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去(起征点)后的余额.A．7000元 B．7500元 C．6600元 D．5950元10．若偶函数在上是增函数，则（）A. B.C. D.11．已知函数f（x+2）＝x2，则f（x）等于A.x2+2 B.x2-4x+4 C.x2-2 D.x2+4x+412．已知函数,则f(1)－f(3)＝()A.－2 B.7C.27 D.－7二、填空题13．已知，若，则_______.14．某汽车在同一时间内速度(单位：)与耗油量(单位：)之间有近似的函数关系，则车速为_____时,汽车的耗油量最少.15．若函数是奇函数，则a=______．16．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则不等式f(x)<0的解集为________．三、解答题17．已知函数，.（1）当时，求的最值；（2）使在区间上是单调函数，求实数的取值范围.18．已知函数.(1)求f(2)，f(x)；(2)证明：函数f(x)在[1，17]上为增函数；(3)试求函数f(x)在[1，17]上的最大值和最小值．19．设函数为定义在上的奇函数.（1）求实数的值；（2）判断函数的单调性，并用定义法证明在上的单调性.20．f(x)是定义在R上的奇函数，对x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(－1)＝2.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求证：f(x)是R上的减函数；(3)求f(x)在[－2，4]上的最值.21．已知函数f(x)＝为奇函数．(1)求b的值；(2)证明：函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数；(3)解关于x的不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0.22．某市营业区内住宅电话通话费用为前3分钟0.20元，以后每分钟0.10元(前3分钟不足3分钟按3分钟计，以后不足1分钟按1分钟计)．(1)在直角坐标系内，画出一次通话在6分钟内(包括6分钟)的话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数图象；(2)如果一次通话t分钟(t>0)，写出话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数关系式(可用[t]表示不小于t的最小整数)．【答案解析】选择题1．下列哪一组函数相等（）A.fx=x与gx=C.fx=x与gx【答案】D【解析】A选项：fx定义域为R；gx定义域为：xx≠0B选项：fx定义域为R；gx定义域为：xx≥0C选项：fx定义域为R；gx定义域为：xx≥0D选项：fx与gx定义域均为R，且gx本题正确选项：D2．函数的定义域为()A. B. C. D.【答案】D【解析】由得或.所以函数的定义域为.故答案为：D3．设函数，则的表达式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，令，则，，，故选B.4．已知，若，则的值是（）A． B．或 C．，或 D．【答案】D【解析】该分段函数的三段各自的值域为，而∴∴；5．下列函数中,是偶函数,且在区间上为增函数的是()A． B．C． D．【答案】A【解析】选项B中，函数不具备奇偶性，选项C中，函数是奇函数，选项A,D中的函数是偶函数，但函数在区间上单调递减，故选A.6．已知，若，则等于()A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，所以即，选D.7．关于函数，有下列结论①函数是偶函数；②函数在上递减；③函数在上递增；④函数在上的最大值为.其中所有正确结论的编号是（）A．①② B．①②④ C．②③ D．①③④【答案】B【解析】对于命题①，函数的定义域为，关于原点对称，且，该函数为偶函数，命题①正确；对于命题②③④，，作出函数的图象如下图所示：可知函数在区间和上单调递减，在区间和上单调递增，当时，，命题②④正确，命题③错误，故选：B.8．下列函数中，对任意，不满足的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A选项，，，等式成立；对于B选项，，，等式成立；对于C选项，，，等式成立；对于D选项，，，等式不成立.故选：D.9．2021年12月,某人的工资纳税额是元，若不考虑其他因素,则他该月工资收入为()级数全月应纳税所得额税率(%)1不超过元32元10注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去(起征点)后的余额.A．7000元 B．7500元 C．6600元 D．5950元【答案】A【解析】设此人的工资为元，纳税额为，则有，当时，，故当（元）时，，令，则（元），故选A.10．若偶函数在上是增函数，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由偶函数在上是增函数，得在上是减函数，，，又因为，得，即，故选项为D.11．）已知函数f（x+2）＝x2，则f（x）等于A.x2+2 B.x2-4x+4 C.x2-2 D.x2+4x+4【答案】B【解析】令，选B.12．已知函数,则f(1)－f(3)＝()A.－2 B.7C.27 D.－7【答案】B【解析】则故选。二、填空题13．已知，若，则_______.【答案】或2【解析】因为，且，根据幂函数的性质可得在上是减函数，又，所以或，故答案为或2.14．某汽车在同一时间内速度(单位：)与耗油量(单位：)之间有近似的函数关系，则车速为_____时,汽车的耗油量最少.【答案】35【解析】因为可化简，故当时，汽车的耗油量最少.故填.15．若函数是奇函数，则a=______．【答案】【解析】为奇函数，且定义域为，则，。16．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则不等式f(x)<0的解集为________．【答案】{x|－2<x<2}【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2)＝0，所以f(－2)＝0.又因为f(x)在(－∞，0]上是减函数，故f(x)在[0，＋∞)上是增函数．故满足f(x)<0的x的取值范围应为(－2,2)，即f(x)<0的解集为{x|－2<x<2}．三、解答题17．已知函数，.（1）当时，求的最值；（2）使在区间上是单调函数，求实数的取值范围.【答案】（1）最小值，最大值35；（2）.【解析】（1）当时，，由于，∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值是，又，，故的最大值是35.（2）由于函数的图象开口向上，对称轴是，所以要使在上是单调函数，应有或，即或.故的取值范围是.18．已知函数.(1)求f(2)，f(x)；(2)证明：函数f(x)在[1，17]上为增函数；(3)试求函数f(x)在[1，17]上的最大值和最小值．【答案】（1）f(2)＝1；.（2）见解析.（3）当x＝1时，f(x)有最小值；当x＝17时，f(x)有最大值.【解析】(1)令x＝1，则f(2)＝f(1＋1)＝1.令t＝x＋1，则x＝t－1，所以f(t)＝，即f(x)＝.(2)证明：任取1≤x1≤x2≤17，因为f(x1)－f(x2)＝－＝.又1≤x1＜x2，所以x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，所以＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)在[1，17]上为增函数．(3)由(2)可知函数f(x)在[1，17]上为增函数，所以当x＝1时，f(x)有最小值；当x＝17时，f(x)有最大值.19．设函数为定义在上的奇函数.（1）求实数的值；（2）判断函数的单调性，并用定义法证明在上的单调性.【答案】(1)；(2)在上是减函数，证明见解析.【解析】（1）是奇函数，，，，.经检验为所求.（2）的单调减区间为与，没有单调增区间，当时，设，则，，在上是减函数.20．f(x)是定义在R上的奇函数，对x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(－1)＝2.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求证：f(x)是R上的减函数；(3)求f(x)在[－2，4]上的最值.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最大值为4，最小值为－8．【解析】(1)的定义域为，令，则，，令，则，，，是奇函数.(2)设，，，，，即，在上为减函数.(3)，为奇函数，，，在上为减函数，.21．已知函数f(x)＝为奇函数．(1)求b的值；(2)证明：函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数；(3)解关于x的不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0.【答案】(1)b＝0(2)见解析(3)(1，)【解析】(1)∵函数为定义在上的奇函数，(2)由(1)可得，下面证明函数在区间(1，＋∞)上是减函数．证明设，则有，再根据，可得，，，即函数在区间(1，＋∞)上是减函数．(3)由不等式可得f(1＋x2)＞－f(－x2＋2x－4)＝f(x2－2x＋4)，再根据函数在区间(1，＋∞)上是减函数，可得1＋x2＜x2－2x＋4，且求得，故不等式的解集为(1，)．22．某市营业区内住宅电话通话费用为前3分钟0.20元，以后每分钟0.10元(前3分钟不足3分钟按3分钟计，以后不足1分钟按1分钟计)．(1)在直角坐标系内，画出一次通话在6分钟内(包括6分钟)的话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数图象；(2)如果一次通话t分钟(t>0)，写出话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数关系式(可用[t]表示不小于t的最小整数)．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)如下图所示．(2)由(1)知，话费y与时间t的关系是分段函数．当0<t≤3时，话费y为0.2元；当t>3时，话费y应为(0.2＋[t－3]×0.1)元．所以y＝《第三章函数的概念与性质》单元检测试卷（四）一、单选题（总分48分，每题4分).1．若函数y=的图象经过点(2，3)，则该函数的图象一定经过()A．(1，6) B．(–1，6)C．(2，–3) D．(3，–2)2．对于集合，，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（）个A.个 B.个 C.个 D.个3．设函数若，则实数（）A．-4或2 B．-4或-2 C．-2或4 D．-2或24．已知函数的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.5．函数的值域为A． B．RC． D．6．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，则f(1)的值等于()A．11 B．2 C．5 D．－17．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（）A． B． C． D．8．已知当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是()A.0<α<1 B.α<0C.α<1 D.α>19．下列函数中，在区间上是增函数且是偶函数的是（）A． B．C． D．10．下列哪一组函数相等（）A.与 B.与C.与 D.与11．函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（）A．a>1 B．0<a<1 C．a<0 D．a<112．已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立，则满足的的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题（总分16分，每题4分)13．集合A={x|x≤5且x≠1}用区间表示____________．14．已知函数f（x），g（x），分别由下表给出x123f（x）211x123g（x）321则g（1）的值为______；当g[f（x）]=2时，x=______．15．已知函数满足，则函数的解析式为__________．16．定义在上的奇函数若函数在上为增函数，且则不等式的解集为_____．三、解答题（总分56分，17、18、19每题8分，20、21题10分，22每题12分.)17．根据已知条件，求函数的解析式．（1）已知为一次函数，且，求的解析式．（2）下图为二次函数的图像，求该函数的解析式．18．设．（1）在图的直角坐标系中画出f（x）的图象；（2）若f（t）=2，求t值；（3）求函数f（x）的最小值．19．已知函数是定义在上的偶函数，当时，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示．(1)画出函数在轴右侧的图象，并写出函数在上的单调递增区间；(2)求函数在上的解析式．20．已知函数.（1）求函数的定义域；（2）试判断函数在上的单调性，并给予证明；（3）试判断函数在的最大值和最小值.21．是定义在R上的函数，对∈R都有，且当＞0时，＜0，且＝1.(1)求的值；(2)求证：为奇函数；(3)求在[－2,4]上的最值．22．经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：件)和价格(单位：元)均为时间(单位：天)的函数，且销售量满足=，价格满足=．(1)求该种商品的日销售额与时间的函数关系；(2)若销售额超过16610元，商家认为该商品的收益达到理想程度，请判断该商品在哪几天的收益达到理想程度?【答案解析】一、单选题（总分48分，每题4分)1．若函数y=的图象经过点(2，3)，则该函数的图象一定经过()A．(1，6) B．(–1，6)C．(2，–3) D．(3，–2)【答案】A【解析】将代入函数解析式得，故，也即，经验证知A选项正确，故选A.2．对于集合，，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（）个A.个 B.个 C.个 D.个【答案】C【解析】第一个图形中，有剩余元素，所以不能构成从到的函数第二个图形中，存在对应两个不同的，所以不能构成从到的函数第三个图形中，在时，对应两个不同的，所以不能构成从到的函数第四个图形中，每个都有唯一确定的与之对应，所以可以构成从到的函数综上所述，共有个图形不能构成从到的函数本题正确选项：3．设函数若，则实数（）A．-4或2 B．-4或-2 C．-2或4 D．-2或2【答案】A【解析】分类讨论：当时，有；当时，有或(舍去)；综上可得，实数-4或2.本题选择A选项.4．已知函数的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】的定义域为，即，，所以，函数的定义域为，故选：C.5．函数的值域为A． B．RC． D．【答案】B【解析】解：函数在定义域上是单调增函数，且满足，的值域为R．故选：B．6．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，则f(1)的值等于()A．11 B．2 C．5 D．－1【答案】B【解析】令2x＋1=1，解得：x=0∴f(1)=3×0+2=2故选：B7．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得的始终是匀速增长，开始时，的增长比较快，但中间有一段时间停止增长，在最后一段时间里，的增长又较快，但的值没有超过的值，结合所给的图象可知，B选项适合，故选B．8．已知当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是()A.0<α<1 B.α<0C.α<1 D.α>1【答案】C【解析】由幂函数的图象特征知α<1.9．下列函数中，在区间上是增函数且是偶函数的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】A.是偶函数,并且在区间时增函数，满足条件；B.不是偶函数,并且在上是减函数，不满足条件；C.是奇函数,并且在区间上时减函数，不满足条件；D.是偶函数，在区间上是减函数，不满足条件；故选A.10．下列哪一组函数相等（）A.与 B.与C.与 D.与【答案】D【解析】选项：定义域为；定义域为：两函数不相等选项：定义域为；定义域为：两函数不相等选项：定义域为；定义域为：两函数不相等选项：与定义域均为，且两函数相等本题正确选项：11．函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（）A．a>1 B．0<a<1 C．a<0 D．a<1【答案】A【解析】解：因为函数的定义域为R，所以的解为R，即函数的图像与x轴没有交点，，当时，函数与x轴有交点，故不成立；，当时，要使函数的图像与x轴没有交点，则，解得，故本题选A。12．已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立，则满足的的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，恒成立，所以恒成立，即函数在上单调递增，又因为函数的图象关于直线对称，所以在上单调递减，若要满足，即，解得，故选A．二、填