（江苏专用）高考数学二轮复习 专题五 解析几何 高考热点追踪（五）练习 文 苏教版-苏教版高三数学试题

高考热点追踪(五)1．(2019·苏州期末)双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1的渐近线方程为________．[解析]令x2－eq\f(y2,4)＝0，得y＝±2x，即为双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1的渐近线方程．[答案]y＝±2x2．(2019·南京、盐城模拟)椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1的一条准线方程为y＝m，则m＝________．[解析]焦点在y轴上，eq\f(m,\r(m－4))＝m，m＝5．[答案]53．(2019·太原调研)直线x－2y＋2＝0过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为________．[解析]直线x－2y＋2＝0与x轴的交点为(－2，0)，即为椭圆的左焦点，故c＝2．直线x－2y＋2＝0与y轴的交点为(0，1)，即为椭圆的顶点，故b＝1．故a2＝b2＋c2＝5，椭圆方程为eq\f(x2,5)＋y2＝1．[答案]eq\f(x2,5)＋y2＝14．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－4y2＝1(a＞0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于eq\f(\r(3),4)，抛物线E：y2＝2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点M到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．[解析]eq\f(x2,a2)－4y2＝1的右顶点坐标为(a，0)，一条渐近线为x－2ay＝0．由点到直线的距离公式得d＝eq\f(|a|,\r(1＋4a2))＝eq\f(\r(3),4)，解得a＝eq\f(\r(3),2)或a＝－eq\f(\r(3),2)(舍去)，故双曲线的方程为eq\f(4x2,3)－4y2＝1．因为c＝eq\r(\f(3,4)＋\f(1,4))＝1，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p＝2，x＝－1是抛物线的准线，因为点M到y轴的距离为d1，所以到准线的距离为d1＋1，设抛物线的焦点为F，则d1＋1＝|MF|，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|MF|＋d2－1，焦点到直线l的距离d3＝eq\f(|1－0＋4|,\r(2))＝eq\f(5,\r(2))＝eq\f(5\r(2),2)，而|MF|＋d2≥d3＝eq\f(5\r(2),2)，所以d1＋d2＝|MF|＋d2－1≥eq\f(5\r(2),2)－1．[答案]eq\f(5\r(2),2)－15．(2019·南京、盐城高三模拟)已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为________．[解析]连结OA，OP，在直角三角形OAP中，OP＝2OA＝2．又OP∈[OM－1，OM＋1]，即1≤OM≤3，所以1≤a2＋(a－4)2≤9，化简得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a2－8a＋7≤0,2a2－8a＋15≥0))，解得2－eq\f(\r(2),2)≤a≤2＋eq\f(\r(2),2)．[答案][2－eq\f(\r(2),2)，2＋eq\f(\r(2),2)]6．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线Γ：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线为l1，l2，直线l：eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1分别与l1，l2交于A，B，若线段AB中点横坐标为－c，则双曲线Γ的离心率为________．[解析]依题意l1，l2的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝0，,\f(x,c)＋\f(y,b)＝1，))消去y得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－\f(1,c2)))x2＋eq\f(2,c)x－1＝0，即eq\f(b2,a2c2)x2＋eq\f(2,c)x－1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(2a2c,b2)，因为线段AB中点横坐标为－c，所以x1＋x2＝－eq\f(2a2c,b2)＝－2c，所以a2＝b2，故双曲线Γ的离心率为eq\r(2)．[答案]eq\r(2)7．(2019·南京四校第一学期联考)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，若直线l：3x＋4y＋m＝0上存在点P，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则实数m的取值范围是________．[解析]圆C的圆心C(1，－2)，半径r＝2．连接PC，AC，则在Rt△PCA中，∠APC＝30°，AC＝2，所以PC＝4，这样就转化为直线l上存在点P，且点P到圆心C的距离为4，也就是直线l与以C为圆心，4为半径的圆有公共点，所以eq\f(|3×1＋4×（－2）＋m|,\r(32＋42))≤4，解得－15≤m≤25，因此实数m的取值范围是[－15，25]．[答案][－15，25]8．(2019·无锡市高三模拟)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，线段EF在直线l：y＝x＋1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))≤0，则线段EF长度的最大值是________．[解析]由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))≤0得∠APB≥90°，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，∠APB才是最大的角，不妨设切线为PM，PN，当∠APB≥90°时，∠MPN≥90°，sin∠MPC＝eq\f(2,PC)≥sin45°＝eq\f(\r(2),2)，所以PC≤2eq\r(2)．另当过点P，C的直线与直线l：y＝x＋1垂直时，PCmin＝eq\f(3\r(2),2)，以C为圆心，CP＝2eq\r(2)为半径作圆交直线l于E，F两点，这时的线段长即为线段EF长度的最大值，所以EFmax＝2eq\r(（2\r(2)）2－（\f(3\r(2),2)）2)＝eq\r(14)．[答案]eq\r(14)9．(2019·苏州高三模拟)已知经过点P(1，eq\f(3,2))的两个圆C1，C2都与直线l1：y＝eq\f(1,2)x，l2：y＝2x相切，则这两圆的圆心距C1C2等于________．[解析]设圆C经过点P(1，eq\f(3,2))，且与直线l1：y＝eq\f(1,2)x，l2：y＝2x均相切，圆心C(a，b)，由题意可知点C在第一象限，且在直线y＝2x的下方，在直线y＝eq\f(1,2)x的上方，点C到两直线的距离相等，即eq\f(|2a－b|,\r(5))＝eq\f(|2b－a|,\r(5))，化简得a＝b>0，且(eq\f(a,\r(5)))2＝(a－1)2＋(a－eq\f(3,2))2，化简整理得36a2－100a＋65＝0(*)，设C1(a1，a1)，C2(a2，a2)，则a1，a2是(*)的两个不相等的实数根，则a1＋a2＝eq\f(25,9)，a1a2＝eq\f(65,36)，则|C1C2|＝eq\r(2)|a1－a2|＝eq\r(2)eq\r(（a1＋a2）2－4a1a2)＝eq\r(2)×eq\r(\f(625,81)－\f(65,9))＝eq\f(4\r(5),9)．[答案]eq\f(4\r(5),9)10．(2019·南京、盐城高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别与抛物线交于A，B两点(A，B异于坐标原点O)．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是________．[解析]不妨设点A是渐近线y＝eq\f(b,a)x与抛物线的交点，则A(eq\f(p,2)，eq\f(bp,2a))在抛物线上，所以(eq\f(bp,2a))2＝2p×eq\f(p,2)，化简得eq\f(b,a)＝2，故双曲线的渐近线方程是y＝±eq\f(b,a)x＝±2x．[答案]y＝±2x11．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(八))在平面直角坐标系中，已知圆C：x2＋(y－4)2＝4，有一动点P在直线x－2y＝0上运动，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B．(1)求切线长PA的最小值；(2)试问：当点P运动时，弦AB所在的直线是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．[解](1)因为PA是圆C的一条切线，所以∠CAP＝90°，在Rt△CAP中，PA＝eq\r(PC2－AC2)＝eq\r(PC2－22)．因为PC的最小值为圆心C到直线x－2y＝0的距离d，且d＝eq\f(|－2×4|,\r(（－2）2＋12))＝eq\f(8\r(5),5)，所以切线长PA的最小值PAmin＝eq\r(d2－22)＝eq\f(2\r(55),5)．(2)设P(2b，b)，易知经过A，P，C三点的圆E以CP为直径，圆E的方程为(x－b)2＋(y－eq\f(b＋4,2))2＝eq\f(4b2＋（b－4）2,4)，即x2＋y2－2bx－(b＋4)y＋4b＝0①．又圆C：x2＋(y－4)2＝4，即x2＋y2－8y＋12＝0②．②－①，得圆E与圆C的相交弦AB所在直线的方程为2bx＋(b－4)y＋12－4b＝0，即(2x＋y－4)b－4y＋12＝0．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－4＝0,－4y＋12＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2),y＝3))．所以弦AB所在的直线恒过定点(eq\f(1,2)，3)．12．(2019·衡水中学调研)已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1和F2，且F1F2＝2，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在该椭圆上．(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为eq\f(12\r(2),7)，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．[解](1)由题意知c＝1，2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋22)＝4，所以a＝2，故椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．(2)①当直线l⊥x轴时，可取Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))，△AF2B的面积为3，不符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，显然Δ>0成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(8k2,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(4k2－12,3＋4k2)，可得AB＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\f(12（k2＋1）,3＋4k2)，又圆F2的半径r＝eq\f(2|k|,\r(1＋k2))，所以△AF2B的面积为eq\f(1,2)AB·r＝eq\f(12|k|\r(k2＋1),3＋4k2)＝eq\f(12\r(2),7)，代简得17k4＋k2－18＝0，得k＝±1，所以r＝eq\r(2)，圆的方程为(x－1)2＋y2＝2．13．(2019·南京期末)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E的离心率为eq\f(1,2)，椭圆E的一个焦点和抛物线y2＝－4x的焦点重合，过直线l：x＝4上一点M引椭圆E的两条切线，切点分别是A，B．(1)求椭圆E的方程；(2)若在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的点(x0，y0)处的切线方程是eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，求证：直线AB恒过定点C，并求出定点C的坐标．[解](1)设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，因为抛物线y2＝－4x的焦点是(－1，0)，所以c＝1．又eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a＝2，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(3)，所以所求椭圆E的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．(2)证明：设切点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l上一点M的坐标为(4，t)，则切线方程分别为eq\f(x1x,4)＋eq\f(y1y,3)＝1，eq\f(x2x,4)＋eq\f(y2y,3)＝1，又两切线均过点M，即x1＋eq\f(t,3)y1＝1，x2＋eq\f(t,3)y2＝1，即点A，B的坐标都适合方程x＋eq\f(t,3)y＝1，而两点确定唯一的一条直线，故直线AB的方程是x＋eq\f(t,3)y＝1，显然对任意实数t，点(1，0)都适合这个方程，故直线AB恒过定点C(1，0)．14．(2019·江苏四星级学校联考)定义：设在平面内给定一点O和常数k(k≠0)，对于平面内任意一点A，确定A′，使A′在直线OA上，若线段长度|OA|与|OA′|满足|OA|·|OA′|＝r2，则称这种变换是以O为反演中心，以r2为反演幂的反演变换，简称“反演”，称A′为A关于O(r)的反演点．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若△BF1F2是等边三角形，且椭圆经过点(2，3)．(1)求椭圆的方程；(