（江苏专用）高考数学一轮复习 加练半小时 专题8 立体几何 第61练 表面积与体积 理（含解析）-人教版高三数学试题

第61练表面积与体积[基础保分练]1．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于eq\f(4,3)π，则该圆锥的体积为________．2．已知正六棱柱的高为8，侧面积为144，则它的外接球的表面积为________．3.如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为________．4．(2019·江苏常州期中)底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为________．5．直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为eq\f(32π,3)，则该三棱柱体积的最大值为________．6.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短为50cm，最长为80cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.7．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．8．(2019·江苏省如东中学调研)在正四棱锥S—ABCD中，点O是底面中心，SO＝2，侧棱SA＝2eq\r(3)，则该棱锥的体积为________．9.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.10．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝2，AC＝BC＝1，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为________．[能力提升练]1．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的高为6，AB＝4，点D为棱BB1的中点，则四棱锥C—A1ABD的表面积是________．2．在四面体A－BCD中，AB＝AC＝AD＝BC＝BD＝2，若四面体A－BCD的外接球的体积V＝eq\f(8\r(2),3)π，则CD＝________.3．(2018·江苏泰州中学月考)如图所示的图形是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降________cm.4.如图，在四面体A－BCD中，AD⊥AB，平面ABD⊥平面ABC，AC＝BC，且AD＋BC＝4，若BD与平面ABC所成角的正切值为eq\f(1,2)，则四面体A－BCD的体积的最大值为________．5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，线段EF，GH分别在AB，CC1上移动，且EF＋GH＝eq\f(1,2)，则三棱锥F－HGE的体积最大值为________．6．已知三棱锥P－ABC满足PA⊥底面ABC，△ABC是边长为4eq\r(3)的等边三角形，D是线段AB上一点，且AD＝3BD，球O为三棱锥P－ABC的外接球，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为34π，则球O的表面积为________．

答案精析基础保分练1.eq\f(4\r(5),81)π2.100π3.eq\f(\r(3),12)4.eq\f(4,7)5.4eq\r(2)6．2600π解析将相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形，由题意得所求侧面展开图的面积为S＝eq\f(1,2)×(50＋80)×(2π×20)＝2600πcm2.7.eq\f(5π,3)解析如图，过点D作BC的垂线，垂足为H.则由旋转体的定义可知，该梯形绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥．其中圆柱的底面半径R＝AB＝1，高h1＝BC＝2，其体积V1＝πR2h1＝π×12×2＝2π；圆锥的底面半径r＝DH＝1，高h2＝1，其体积V2＝eq\f(1,3)πr2h2＝eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(π,3).故所求几何体的体积为V＝V1－V2＝2π－eq\f(π,3)＝eq\f(5π,3).8.eq\f(32,3)解析∵在正四棱锥S－ABCD中，侧棱SA＝2eq\r(3)，高SO＝2，∴底面中心到顶点的距离AO＝eq\r(SA2－SO2)＝2eq\r(2)，因此，底面正方形的边长AB＝4，底面积S＝AB2＝16，该棱锥的体积为V＝eq\f(1,3)SABCD·SO＝eq\f(1,3)×16×2＝eq\f(32,3).9．4解析设球的半径为rcm，依等体积法知，eq\f(4,3)πr3·3＋πr2·8＝πr2·6r，∴2r＝8，r＝4.10．6π解析因为PA⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以三棱锥的外接球等同于以AC，BC，PA为长、宽、高的长方体的外接球，且PA＝2，AC＝BC＝1，所以长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即2R＝eq\r(12＋12＋22)，解得R＝eq\f(\r(6),2)，所以三棱锥的外接球的表面积为S＝4πR2＝6π.能力提升练1．2eq\r(39)＋4eq\r(3)＋362.2eq\r(2)3．0.6解析因为圆锥形铅锤的体积为eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2×20＝60π(cm3)．设水面下降的高度为xcm，则小圆柱的体积为π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,2)))2×x＝100πx(cm3)．所以60π＝100πx，解得x＝0.6.则铅锤取出后，杯中水面下降了0.6cm.4.eq\f(256\r(5),375)解析设AD＝x(0<x<4)，则AC＝BC＝4－x.因为AD⊥AB，平面ABD⊥平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，AD⊂平面ABD，所以AD⊥平面ABC，三棱锥D－ABC的高为AD＝x.又BD与平面ABC所成角的正切值为eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,2)，故AB＝2x.在△ABC中，AB边上的高为eq\r(4－x2－x2)＝eq\r(16－8x)＝2eq\r(2)×eq\r(2－x)(0<x<2)，故VD－ABC＝eq\f(1,3)×x×eq\f(1,2)×2x×2eq\r(2)×eq\r(2－x)＝eq\f(2\r(2),3)×eq\r(2x4－x5)，令g(x)＝2x4－x5,0<x<2，g′(x)＝8x3－5x4＝x3(8－5x)，当0<x<eq\f(8,5)时，g′(x)>0，当eq\f(8,5)<x<2时，g′(x)<0，所以g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(8,5)))上为增函数，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，2))上为减函数，故在x∈(0,2)上，x＝eq\f(8,5)时，g(x)取得最大值，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)))＝eq\f(2×84,55)，此时体积最大，VA－BCD＝VD－ABC＝eq\f(2\r(2),3)×eq\r(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5))))＝eq\f(256\r(5),375).5.eq\f(1,48)解析连结CE，CF，C1E，C1F，HE，HF，GE，GF，设EF＝m，GH＝n(m>0，n>0)，则m＋n＝eq\f(1,2).因为S△HGE∶S△C1CE＝n∶2，所以V三棱锥F－HGE∶V三棱锥F－C1CE＝n∶2.又因为V三棱锥F－C1CE＝V三棱锥C1－CEF＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×2×m＝eq\f(2,3)m，所以V三棱锥F－HGE＝eq\f(1,3)mn.因为m＋n＝eq\f(1,2)，所以m·n≤eq\f(m＋n2,4)＝eq\f(1,16)，故V三棱锥F－HGE≤eq\f(1,48)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当m＝n＝\f(1,4)时“＝”成立)).6．100π解析将三棱锥P－ABC补成正三棱柱，且三棱锥和该正三棱柱的外接球都是球O，记三角形ABC的中心为O1，设球的半径为R，PA＝2x，则球心O到平面ABC的距离为x，即OO1＝x，连结O1C，则O1C＝4，∴R2＝x2＋16，在三角形ABC中，取AB的中点为E，连结O1D，O1E，则O1E＝eq\f(1,2)O1C＝2，DE＝eq\f(1,4)