（江苏专用）高考数学二轮复习 回扣5 不等式试题 理-人教版高三数学试题

回扣5不等式1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间).解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ＞0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小.2.一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ<0.))(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))3.分式不等式eq\f(fx,gx)＞0(<0)⇔f(x)g(x)＞0(<0)；eq\f(fx,gx)≥0(≤0)⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0≤0，,gx≠0.))4.基本不等式(1)eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时取等号.(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.5.线性规划(1)可行域的确定，“线定界，点定域”.(2)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.(3)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个.1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错.2.解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a＞0，a<0进行讨论.3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把eq\f(fx,gx)≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝eq\r(x2＋2)＋eq\f(1,\r(x2＋2))的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y＝x＋eq\f(3,x)(x<0)时应先转化为正数再求解.5.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解.6.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如eq\f(y－2,x＋2)是指已知区域内的点(x，y)与点(－2，2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1,1)的距离的平方等.1.函数y＝eq\r(3－2x－x2)的定义域是________.答案[－3,1]解析由3－2x－x2≥0，得x2＋2x－3≤0，解得x∈[－3,1].2.若不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)≥0的解集为空集，则实数k的取值范围是____________.答案(－3,0]解析由题意可知，2kx2＋kx－eq\f(3,8)＜0恒成立，当k＝0时成立，当k≠0时需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＜0，,Δ＜0，))代入求得－3＜k＜0，所以实数k的取值范围是(－3,0].3.二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,3)或x＞\f(1,2)))))，则关于x的不等式cx2－bx＋a＞0的解集为________.答案{x|－3＜x＜－2}解析由已知，－eq\f(b,a)＝eq\f(5,6)，eq\f(c,a)＝eq\f(1,6)，且a＜0，则b＝－eq\f(5,6)a，c＝eq\f(1,6)a，故不等式cx2－bx＋a＞0可化为x2＋5x＋6＜0，解得－3＜x＜－2.4.若x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,y≥x＋1，))则x－2y的最大值为________.答案－2解析令z＝x－2y，则y＝eq\f(1,2)x－eq\f(z,2).当在y轴上截距最小时，z最大.即过点(0,1)时，z取最大值，z＝0－2×1＝－2.5.要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是20元/m2，侧面造价是10元/m2，则该容器的最低总造价是________元.答案160解析由题意知，体积V＝4m3，高h＝1m，所以底面积S＝4m2，设底面矩形的一条边长是xm，则另一条边长是eq\f(4,x)m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(8,x)))≥80＋20eq\r(2x·\f(8,x))＝160，当且仅当2x＝eq\f(8,x)，即x＝2时取得等号.6.设P是函数y＝eq\r(x)(x＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________.答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))解析因为y′＝eq\f(1,2\r(x))(x＋1)＋eq\r(x)＝eq\f(3x＋1,2\r(x))＝eq\f(3,2)eq\r(x)＋eq\f(1,2\r(x))(x＞0)≥2eq\r(\f(3\r(x),2)·\f(1,2\r(x)))＝eq\r(3)，当且仅当x＝eq\f(1,3)时取等，所以k＝tanθ≥eq\r(3)，又θ∈[0，π)，所以θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).7.若不等式eq\f(t,t2＋9)≤a≤eq\f(t＋2,t2)在t∈(0,2]上恒成立，则a的取值范围是______________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,13)，1))解析∵eq\f(t,t2＋9)＝eq\f(1,t＋\f(9,t))，而t＋eq\f(9,t)在区间(0,2]上单调递减，∴t＋eq\f(9,t)≥2＋eq\f(9,2)＝eq\f(13,2)，eq\f(t,t2＋9)＝eq\f(1,t＋\f(9,t))≤eq\f(2,13)(当且仅当t＝2时等号成立)，又eq\f(t＋2,t2)＝eq\f(1,t)＋eq\f(2,t2)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)＋\f(1,4)))2－eq\f(1,8)，∵eq\f(1,t)≥eq\f(1,2)，∴2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)＋\f(1,4)))2－eq\f(1,8)≥1(当且仅当t＝2时等号成立)，故a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,13)，1)).8.若a，b均为非负实数，且a＋b＝1，则eq\f(1,a＋2b)＋eq\f(4,2a＋b)的最小值为________.答案3解析方法一令a＋2b＝s,2a＋b＝t，则eq\f(1,a＋2b)＋eq\f(4,2a＋b)＝eq\f(1,s)＋eq\f(4,t).由题意知，s≥0，t≥0，且s＋t＝3(a＋b)＝3，所以eq\f(1,s)＋eq\f(4,t)＝eq\f(s＋t,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,s)＋\f(4,t)))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(t,s)＋\f(4s,t)))≥eq\f(1,3)×9＝3，当且仅当s＝1，t＝2时等号成立.所以eq\f(1,a＋2b)＋eq\f(4,2a＋b)的最小值为3.方法二因为a＋b＝1，所以eq\f(1,a＋2b)＋eq\f(4,2a＋b)＝eq\f(1,1＋b)＋eq\f(4,1＋a)，令1＋b＝s，a＋1＝t，则eq\f(1,1＋b)＋eq\f(4,1＋a)＝eq\f(1,s)＋eq\f(4,t)，由题意知，s≥1，t≥1，且s＋t＝3，所以eq\f(1,s)＋eq\f(4,t)＝eq\f(s＋t,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,s)＋\f(4,t)))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(t,s)＋\f(4s,t)))≥eq\f(1,3)×9＝3，当且仅当s＝1，t＝2时等号成立.所以eq\f(1,a＋2b)＋eq\f(4,2a＋b)的最小值为3.9.解关于x的不等式eq\f(x2＋ax－2,x－1)≤x＋1.解原不等式可化为eq\f(x2＋ax－2,x－1)－(x＋1)≤0，即eq\f(ax－1,x－1)≤0，当a＝0时，有eq\f(－1,x－1)≤0，所以x＞1，当a≠0时，①当a＜0时，有eq\f(x－\f(1,a),x－1)≥0，且eq\f(1,a)＜1，所以x≤eq\f(1,a)或x＞1；②当0＜a＜1时，有eq\f(x－\f(1,a),x－1)≤0，且eq\f(1,a)＞1，所以1＜x≤eq\f(1,a)；③当a＝1时，有eq\f(x－1,x－1)≤0，所以x∈∅，④当a＞1时，有eq\f(x－\f(1,a),x－1)≤0，且eq\f(1,a)＜1，所以eq\f(1,a)≤x＜1，综上，当a＜0时，原不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,a)))∪(1，＋∞)，当a＝0时，原不等式的解集为(1，＋∞)，当0＜a＜1时，原不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(1,a)))，当a＝1时，原不等式的解集为∅，当a＞1时，原不等式的解集为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1)).10.如图，有一块平行四边形绿地ABCD，经测量BC＝2百米，CD＝1百米，∠BCD＝120°，拟过线段BC上一点E设计一条直路EF(点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度)，将绿地分为面积之比为1∶3的左右两部分，分别种植不同的花卉，设EC＝x百米，EF＝y百米.(1)当点F与点D重合时，试确定点E的位置；(2)试求x的值，使直路EF的长度y最短.解(1)∵S▱ABCD＝2×eq\f(1,2)×1×2sin120°＝eq\r(3)(平方百米)，当点F与点D重合时，由已知S△CDE＝eq\f(1,4)S▱ABCD＝eq\f(\r(3),4)(平方百米)，又∵S△CDE＝eq\f(1,2)CE·CD·sin120°＝eq\f(\r(3),4)x＝eq\f(\r(3),4)，∴x＝1，∴E是BC的中点.(2)①当点F在CD上，即1≤x≤2时，利用面积关系可得CF＝eq\f(1,x)百米，再由余弦定理可得y＝eq\r(x2＋\f(1,x2)＋1)≥eq\r(3)，当且仅当x＝1时取等号.②当点F在DA上时，即0≤x＜1时，利用面积关系可得DF＝(1－x)百米.(i)当CE＜DF时，过E作EG∥CD交DA于点G，在△EGF中，EG＝1百米，GF＝(1－2x)百米，∠EGF＝60°，利用余弦定理得y＝eq\r(4x2－2x＋1).(ii)同理当CE≥DF时，过E作EG∥CD交DA于点G，在△