（江苏专用）高考数学一轮复习 加练半小时 专题8 立体几何 第60练 表面积与体积 文（含解析）-人教版高三数学试题

第60练表面积与体积[基础保分练]1.母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于eq\f(4,3)π，则该圆锥的体积为________.2.用平面α截球O所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为eq\r(2)，则此球的体积为________.3.如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为________.4.长方体ABCD－A1B1C1D1的同一顶点的三条棱长分别为3,4,5，则该长方体的外接球表面积为________.5.直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为eq\f(32π,3)，则该三棱柱体积的最大值为________.6.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短为50cm，最长为80cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.7.在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________.8.(2019·江苏省如东中学调研)在正四棱锥S—ABCD中，点O是底面中心，SO＝2，侧棱SA＝2eq\r(3)，则该棱锥的体积为________.9.棱长为a的正方体有一内切球，该球的表面积为________.10.已知圆柱M的底面半径与球O的半径相同，且圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比V圆柱∶V球＝________.[能力提升练]1.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的高为6，AB＝4，点D为棱BB1的中点，则四棱锥C—A1ABD的表面积是________.2.三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，PA＝eq\r(3)，则该三棱锥外接球的表面积为________.3.(2018·江苏泰州中学月考)如图所示的图形是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降________cm.4.菱形ABCD的边长为2，且∠BAD＝60°，将三角形ABD沿BD折起，得到三棱锥A－BCD，则三棱锥A－BCD体积的最大值为________.5.已知正四面体P－ABC的棱长为2，若M，N分别是PA，BC的中点，则三棱锥P－BMN的体积为________.6.已知三棱锥P－ABC满足PA⊥底面ABC，△ABC是边长为4eq\r(3)的等边三角形，D是线段AB上一点，且AD＝3BD，球O为三棱锥P－ABC的外接球，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为34π，则球O的表面积为________.答案精析基础保分练1.eq\f(4\r(5),81)π2.4eq\r(3)π解析如图，设平面α截球O所得圆的圆心为O1，则OO1＝eq\r(2)，O1A＝1，∴球的半径R＝OA＝eq\r(2＋1)＝eq\r(3)，∴球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.3.eq\f(\r(3),12)解析三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，易知三棱锥A－B1BC1的高为eq\f(\r(3),2)，底面积为eq\f(1,2)，故其体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).4.50π5.4eq\r(2)解析设三棱柱底面直角三角形的直角边为a，b，则棱柱的高h＝eq\r(a2＋b2)，设外接球的半径为r，则eq\f(4,3)πr3＝eq\f(32π,3)，解得r＝2，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，∴eq\r(2)h＝2r＝4.∴h＝2eq\r(2)，∴a2＋b2＝h2＝8≥2ab，∴ab≤4，当且仅当a＝b＝2时“＝”成立.∴三棱柱的体积V＝Sh＝eq\f(1,2)abh＝eq\r(2)ab≤4eq\r(2).6.2600π7.eq\f(5π,3)解析如图，过点D作BC的垂线，垂足为H.则由旋转体的定义可知，该梯形绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥.其中圆柱的底面半径R＝AB＝1，高h1＝BC＝2，其体积V1＝πR2h1＝π×12×2＝2π；圆锥的底面半径r＝DH＝1，高h2＝1，其体积V2＝eq\f(1,3)πr2h2＝eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(π,3).故所求几何体的体积为V＝V1－V2＝2π－eq\f(π,3)＝eq\f(5π,3).8.eq\f(32,3)解析∵在正四棱锥S－ABCD中，侧棱SA＝2eq\r(3)，高SO＝2，∴底面中心到顶点的距离AO＝eq\r(SA2－SO2)＝2eq\r(2)，因此，底面正方形的边长AB＝4，底面积S＝AB2＝16，该棱锥的体积为V＝eq\f(1,3)SABCD·SO＝eq\f(1,3)×16×2＝eq\f(32,3).9.πa210.eq\f(3,4)能力提升练1.2eq\r(39)＋4eq\r(3)＋36解析∵正三棱柱的高为6，AB＝4，∴四棱锥C－A1ABD的表面A1DC为等腰三角形，A1D＝CD＝5，A1C＝2eq\r(13)，D到A1C距离为eq\r(25－13)＝2eq\r(3)，∴＝eq\f(1,2)×2eq\r(13)×2eq\r(3)＝2eq\r(39)，＝＋S△BDC＋＋S△ABC＋＝eq\f(1,2)(6＋3)×4＋eq\f(1,2)×4×3＋eq\f(1,2)×6×4＋eq\f(\r(3),4)×16＋2eq\r(39)＝2eq\r(39)＋4eq\r(3)＋36.2.5π解析∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，由直角三角形的性质可得PB中点到四点距离相等，∴PB是三棱锥P－ABC的外接球直径.∵Rt△PBA中，AB＝eq\r(2)，PA＝eq\r(3)，∴PB＝eq\r(5)，可得外接球半径R＝eq\f(1,2)PB＝eq\f(\r(5),2)，∴外接球的表面积S＝4πR2＝5π.3.0.6解析因为圆锥形铅锤的体积为eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2×20＝60π(cm3).设水面下降的高度为xcm，则小圆柱的体积为π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,2)))2×x＝100πx(cm3).所以60π＝100πx，解得x＝0.6.则铅锤取出后，杯中水面下降了0.6cm.4.1解析由于三棱锥A－BCD底面积固定，所以高最高的时候取得体积的最大值，此时高为eq\f(1,2)AC.故体积的最大值为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×BD×eq\f(1,2)AC×eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,24)×2×2eq\r(3)×2eq\r(3)＝1.5.eq\f(\r(2),6)解析连结AN，作MD⊥PN，交PN于D，∵正四面体P－ABC的棱长为2，M，N分别是PA，BC的中点，∴AN⊥BC，PN⊥BC，MN⊥AP，且AN＝PN＝eq\r(3)，∵AN∩PN＝N，AN，PN⊂平面PNA，∴BC⊥平面PNA，∵MD⊂平面PNA，∴MD⊥BC，∵BC∩PN＝N，BC，PN⊂平面PBN，∴MD⊥平面PBN，MN＝eq\r(PN2－PM2)＝eq\r(2)，∵eq\f(1,2)PN·MD＝eq\f(1,2)PM·MN，∴MD＝eq\f(PM·MN,PN)＝eq\f(1×\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，∴三棱锥P－BMN的体积VP－BMN＝VM－PBN＝eq\f(1,3)×S△PBN×MD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),6).6.100π解析将三棱锥P－ABC补成正三棱柱，且三棱锥和该正三棱柱的外接球都是球O，记三角形ABC的中心为O1，设球的半径为R，PA＝2x，则球心O到平面ABC的距离为x，即OO1＝x，连结O1C，则O1C＝4，∴R2＝x2＋16，在三角形ABC中，取AB的中点为E，连结O1D，O1E，则O1E＝eq\f(1,2)O1C＝2，DE＝eq\f(1,