2023届老高考数学练习题：第一单元 集合与常用逻辑用语

第一单元集合与常用逻辑用语

1.1集合

1.已知A={x∣χ2=l},集合8={x∣∕nx=l},若B=A,则机的取值个数为（）

A.OB.1C.2D.3

答案：D

解析：由题意知，集合A={-"},

由于二1,

.・・当相=O时，β=0,满足B=A;

当机≠0时，8=由于5qA,所以L=I或，=-1,

[inJtnm

：.m=l^itn=-∖,

.∙."7=0或1或一1.

即机的取值个数为3,

故选：D.

2.（2021・赤峰二中三模（理））己知集合Q=k∣2χ2-7x≤0,x∈N},且PaQ,则满足条件

的集合尸的个数是（）

A.8B.9C.15D.16

答案D

解析Q=N2χ2-7x≤0,xeN}={xθ≤x≤g,xeN},

所以Q={0,l,2,3},又PUQ,则满足题意的集合P的个数为24=16,

故选：D.

3.（2021•西安市高三二模）集《,4={布＜-1或x≥3},8={x∣0r+l≤θ}若8cA,则实数4

的取值范围是（）

AUb∙Ha]

D.Γ-∣,θL(O,l)

C.（→x,-l）u[0,+∞）

答案A

解析B^A,

.∙∙①当8=0时，即以+L,0无解，此时α=0,满足题意.

②当时，即0r+L,0有解，当。>0时，可得X,-L

a

a>0

要使BuA,则需要1,解得0<α<l.

——<-1

.a

当α<0时，可得X...-L

a

a<0

要使8GA,则需要{1,解得γ,,α<θ,

.a

综上，实数。的取值范围是

故选：A.

6.(2020年全国高考新课标In)已知集合A=(α,y)∣x,y∈N,y≥x},B={(x,y)∣x+y=8},则AB

中元素的个数为()

A.2B.3C.4D.6

答案C

解析由题意，AB中的元素满足{，一,且x,yeN”,

[x+γ=8

由x+y=8≥2x,得χ≤4,

所以满足x+V=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),

故4B中元素的个数为4.

故选：C.

7.(2021•汕头市高三模拟)已知集合8={0,l,2},C={-1,0,1},非空集合A满足4q5,AαC,

则符合条件的集合4的个数为()

A.3B.4C.7D.8

答案A

解析根据题意，得AU(BC),即求BCC的非空子集个数，

BCC={0,l},{0,1}的非空子集个数是22-1=3,

所以集合A的个数是3.

故选:A.

8.设集合A={-1,O,1},B={-l,3,5},C={0,2,4},贝IJ(AC8)DC=()

A.{-l}B.{-l,l,3,5}C.{0,l,2,4}D.{-l,0,2,4)

答案C

解析A={-l,0,l},B={-l,3,5},C={0,2,4),

.∙.AcB={-1},.∙.(ACB)UC={-1,0,2,4}.

故选：D.

9.(2022届辽宁营口•高三开学考试(理))如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集,

C.(MCP)Cq,.SD.(MCP)DaS

答案C

解析由图知，阴影部分在集合M中，在集合尸中，但不在集合S中，

故阴影部分所表示的集合是(MCP)CaS.

故选：C.

10.(2021.浙江学军中学高三模拟)设A={l,4,2x},8=卜,/},若8占4,则X=()

A.0B.0或2C.0或-2D.0或±2

答案C

解析当Y=4时，得x=±2,

若x=2,则2尤=4不满足集合中的元素的互异性，所以xw2；

若x=-2,则4={1,4,Y},β={L4},满足题意,

当χ2=2X时，X=O或2(舍去)，X=O满足题意,

/.X=OBJC-2,

故选：C.

H.（2022•河北省廊坊市高三考学考试）由实数x,-x,∣x∣,G^,（G^）1-MF所组成的集合,

最多可含有（）个元素

A.2B.3C.4D.5

答案B

解析由题意，当XHo时所含元素最多，

此时演-苍|了|,",（47）2,-潺分别可化为卬T,

所以由实数X,-X,∣X∣,G^,（G^）［7∕F所组成的集合，最多可含有3个元素.

故选：B

12.（2021.浙江高三模拟）某国近日开展了大规模COWO-19核酸检测，并将数据整理如图

所示，其中集合S表示（）

A.无症状感染者B.发病者C.未感染者D.轻症感染者

答案A

解析由图可知，集合S是集合A与集合B的交集，所以集合S表示：感染未发病者，即无

症状感染者，

13.（2021•江苏省如皋中学月考）对于有限数列{%},定义集合

S(⅛)=J.L=-^^-^^,l≤i<i<<1；≤lθk,

v12其中ZeZ且1≤&≤10,若%=〃,

则S(3)的所有元素之和为.

答案660

解析S⑶=HS=气+.+人a≤t,<∕2<∕3≤10.

={s卜=i1k⅛j≤∕1<i2<ii<10},

则S（3）中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值,

1,2,,10每个被选出的次数是相同的,

若i(l≤i≤10)被选中，则共有C；种选法，即1,2,,10每个被选出的次数为C；,

9x810x(1+10)

则S(3)的所有元素之和为C](l+2++10)_W-x・2:660.

-3-3-

故答案为:660.

14.(2020•山东高三月考)设集合4={(町,/,?)|町∈{-2,0,2},ie{l,2,3}},则集合A中满

足条件：“24|町|+|制+网≤5”的元素个数为.

答案18.

解析对于2≤网+帆I+帆I≤5分以下几种情况:

①|闻+|叫+∣g∣=2,此时集合A的元素含有一个2,或-2,两个0,2或-2从三个位置选

一个有3种选法，剩下的位置都填0,这种情况有3x2=6种；

②帆|+|吗|+|网1=4,此时集合A中元素含有两个2一个0；或两个-2,一个0；或一个2,

一个-2,一个0.

若是两个2或-2,一个0时，从三个位置任选一个填0,剩下的两个位置都填2或-2,这

种情况有3x2=6种;

若是一个2,一个-2,一个0时，对这三个数全排列即得到3χ2χl=6种；

集合4中满足条件"2≤M∣+μ⅞∣+网≤5"的元素个数为6+6+6=18.

故答案为：18

15.(2021•北京高三开学考试)记正方体ABCO-ABCR的八个顶点组成的集合为S.若集合

MQS,满足WX,,XQ,3Xk,XleM使得直线XiXj±XkXt,则称M是S的“保垂

直”子集.

给出下列三个结论：

①集合{AaC,Cj是S的“保垂直”子集；

②集合S的含有6个元素的子集一定是“保垂直”子集；

③若M是S的“保垂直”子集，且M中含有5个元素，则M中一定有4个点共面.

其中所有正确结论的序号是.

答案②

解析对于①，当取体对角线AG时，找不到与之垂直的直线，①错误;

对于②，当8个点任取6个点时，如图

当"集合中的6个点是由上底面四个点和下底面两个点；或者由上底面两个点和下底面四

个点构成时，必有四点共面，根据正方体的性质，符合M是S的“保垂直”子集；

当M集合中的6个点是由上底面三个点和下底面三个点构成时,如M={B,C,A£,A，旦},

则存在四点共面，根据正方体的性质，符合是的“保垂直”子集；

B,A,Λ1,4MS

如取存在取存在取存在

M={8,C,AC∣,A,R},8,ABCLA1Q,B,C8C_LG9,CA

符合〃是的“保垂直”子集，所以②正确；

AClfiD1,S

对于③，举反例即可，如M={B,C,2C∣,4},③错误.

故答案为：②.

16.（2021♦浙江高三期末）已知非空集合AuR,设集合S={x+y∣XGA,ywA,x≠y},

分别用同、间、表示集合、、中元素的个数，则下

T={x-y∣χeΛ,y∈Ax>y}∙ITlAST

列说法不事项的是（）

A.若国=4,则∣S∣+∣T∣≥8B.若IH=4,则∣S∣+∣T∣≤12

C.若∣A∣=5,则网+1Tl可能为18D.若同=5,则同+『|不可能为19

答案D

解析己知S={x+y∣xeAyeA,x≠y},T={x-y∣xeA,yeA,x>y}.

又|山、|S|、ITl表示集合A、S、T中元素的个数，将问题转化为排列组合问题，

对于AB,∣A∣=4,∣S∣≤C=6,m≤C=6,则∣S∣+∣T∣≤12,故B正确；

但若考虑重复情况，即A由相邻元素构成，例A={l,2,3,4},则S={3,4,5,6,7},T={1,2,3},

即（同+|刀）疝n=8,故A正确；

对于CD,国=5,∣S∣≤C=10,m≤C=10,则∣S∣+∣Tl≤20,故D错误;

但若考虑重复情况，即A由相邻元素构成，例A={l,2,3,4,5},则S={3,4,5,6,7,8,9},

T={1,2,3,4},即（∣S∣+p%ιι=l即故间+闭可能为18,故C正确;

故选：D

17.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴金德提出了“戴

金德分割”才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割,是指将有理

数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足MDN=Q,MCN=0,M中的每一个

元素都小于N中的每一个元素，则称（Λ∕,N）为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割

（M,N）,下列选项中一定不成立的是（）

A.”没有最大元素，N有一个最小元素

B.M没有最大元素，N也没有最小元素

C.M有一个最大元素，N有一个最小元素

D.M有一个最大元素，N没有最小元素

答案C

解析：若M={XGQ,X<0},N={xeβ,x>0};则M没有最大元素，N有一个最小元素0；

故A正确；

若M={xeQ,x<忘},N={xeQ,x≥√Σ};则M没有最大元素，N也没有最小元素；故

B正确；

若M={xeQ,x≤0},N={x∈β,x>0};M有一个最大元素，N没有最小元素，故D正确；

M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，故C不正确.

故选：C

18.（2021•百校联盟联考）已知集合A={2α-l,a2,0},B={∖-a,aS,9},且AnB={9},

则a=（）

A.±3,5B.3,5C.-3D.5

答案C

解析易知。2=9或2〃-1=9,.∙.α=±3或α=5.

当α=3时，则1-“=”一5=—2,不满足集合中元素的互异性，舍去.

当“=5时，则AC8={9,0},与题设条件AnB={9}矛盾，舍去.

当α=-3时，4={-7,9,0},8={4,—8,9},满足AC∣8={9},故。=一3.

19.(湖南省长郡中学2021届高三模拟)已知集合A={(x,y)∣x+y=8,x,y∈N*},B=

((χ,y)∣y>X+1}>则anB中元素的个数为()

A.2B.3C.4D.5

答案B

解析依题意4={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1)},其中满足y>x+1的有

(1,7),(2,6),(3,5),

所以ACB={(1,7),(2,6),(3,5)},有3个元素.

故选：B

20.(2021徐州一中兴化中学第二次适应性考试)集合4={x∣i<2x<2),B=(x∖x2-5x+

6≥0},则4B间的关系是()

A,AuB=RB.BQAC.AΓ∖B=0D.ADB=B

答案D

解析A={χ∣-3<X<1},B={x∖x≥3,或%≤2,},则/QB,所以4UB=B

故选：D.

21.(2021•八省联考)已知M,N均为R的子集，且CRMaN,则MU(CRN)=()

A.0B.MC.ND.R

答案B

解析方法一：如图所示易知答案为B.

方法二：特值法.

不妨设CRM=(1,2),N=(0,3),则MU(CRN)=M.

22.(2021辽宁•高三质量监测)设集合A={xI2<X<3},B={xIα<%<5},若/UB=

{xI2<x<5},贝IJa的取值范围是()

[2,3)B.匕,5)

C.(•-8,2]D.(—8,5]

【答案】A

【解析】因为4={xI2<X<3],B={x∖a<X<5],且4UB={%[2<x<5},

所以2≤α<3.

故选：A

23.已知集合A={x∣-1SE3},集合B={x∣l-mSEl+”?}.若B匚4则山的取值范围是()

A.(-8,2]B.l-ɪ,3JC.L-3,IJD.[O,2J

【答案】A

解析：当机<0时，1-〃>1+机，所以此时8=0,满足BUA,

当吟0时，要满足8UA,只需解得3区2,

综上，〃，的取值范围为，“W2,

故选:A.

24.已知(CR4)CB=0,则下面选项中一定成立的是()

A.A∏B=AB.A∩B=B

C.AUB=BD.AUB=R

【答案】B

【解析】对于A选项，由/CB=4得/ɑB,不妨设A={x∖x>1],B={x∖x>0},则(CRA)∩

B={%∣0<%≤1}≠0,故不满足，故A选项错误；

对于B选项，由/口8=3得3匚4显然(CRA)CiB=0,满足，故B选项正确；

对于C选项，由4UB=B得4uB,由A选项知其不满足，故C选项错误；

对于D选项，由4UB=R,不妨设A={x∣x≤1},B={x∣x>0},显然(CR4)C8=

{%∣x>l}≠0,故不满足，故D选项错误.

方法二由维恩图得到B£4,AOB=B

故选：B.

2

25.(2021・广东高三模拟)已知集合4={1,a,b},B={a,a9ab},若A=3,贝IJa202】+型20=

()

A.-1B.OC.1D.2

【答案】A

【解析】因为A=B,

若＜J2=1,解得α=±1,

当α=l时，不满足互异性，舍去，

当a=-l时，A={],-I,b},B={∖,-1,-b],因为A=B,

所以b=-b,解得b=0,

所以α202i+人2。2。=-1.

若ab=l,贝必=，，

所以A==(a2,a,1},

若α=α2,解得。=0或1,都不满足题意，舍去，

若;=。2,解得。=],不满足互异性，舍去，

故选：A

26.(2021•河南高三模拟)已知集合2={x∖x2+x-6≤0},B={x∖l-x≤2m},且AnB=

(x∣-1≤X≤2},则Jn=()

3

A.-B.0C.-1D.1

2

【答案】D

【解析】因为A={久|%2+x—6≤0}={x|—3≤%≤2},B={x∖x≥1—2m},且4nB=

{x∣-l≤%≤2},

所以1—2?H=-1,解得m=1.

故选：D.

27.已知集合A=3履-l＞0},B={x∣(x+2)(x-6)≤0},若A∩5=(2,6],则CRA=()

A.(-8,-2]B.(-8,2)

C.(-∞,2]D.(-∞,-2)

【答案】C

【解析】解：∙∙∙B=[-2,6],AHB=(2,6],且A={刈尢＞1},

・・A=(2,~ι^co),

JCRA=(-co,2].

故选：C.

28.(2021•常州一模)已知集合A=[X∣X2+2ax—3α2=0},B={x∣x2—3x>0},若AUB,

则实数”的取值范围为()

A.{0}B.{-1,3}

C.(-∞.0)U(3,+∞)D.(-∞,-1)U(3,+∞)

【答案】D

解析由已知得，4={x∣(x+3α)(x-α)}={α,-3α},B={x∣x<0或r>3}由AUB,若a

>0,则一3α<0/α>3,所以α>3

若a<0,则一3a>3,即a<—\

若α=0时，可得集合4={0},此时不满足A£B；

故a的范围(-8,-1)U(3,+8)

故选：D

29.(2021・湖北高三联考)已知非空集合A,2满足以下两个条件:⑴AUB={1,2,3,4).

ACB=0；(2)A的元素个数不是A中的元素，8的元素个数不是B中的元素.则有序集合

对(4B)的个数为()

A.ɪB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】4中元素个数不能为0,否则B={1,2,3.4}有4个元素，不合题意，

4中元素个数不能为2,否则48中有一个含有元素2,且集合中元素个数为2,不合题意，

A中元素个数只能是1或3,因此有A={3},B={1,2,4}或4={1,2,4},B={3}.共2对.故

选：B.

30.(2021•江苏扬州模拟改编)下列说法不正确的有()

A.设M={m,2},N-{m+2,2m},且M=M则实数m=0；

B.若。是{x∣M≤α,α∈R}的真子集，则实数α≥0；

C.集合P={x∣∕-3x+2=0},Q={x∣mx-1=0},若P?Q,则实数m6{1,1};

D.设集合A={x∣α∕-3%+2=0}至多有一个元素，贝∣Jα∈{0}U{α∣α≥目；

【答案】C

【解析】对于A,因为M=N,故{巾2驾A2(无解舍去)或QT]篝，故巾=0,故A

正确.

对于B因为0是"I/≤a,a∈/?}的真子集,故{%∣∕≤见。e对为非空集合，

故Q≥0,故B正确.

对于C,P={l,2},若Tn=O,则Q=0,满足。qP；

若τn≠O,则Q={'b又QqP,故A=I或£=2即Tn=I或Zn=%

综上，血=0或瓶=1或血=%故C错误.

对于D,因为A至多有一个元素，故α=0或1y,ɑ≠ζθ/Α,

所以α∈{0}U{a∣α2'},故D正确.故选：D

31.(2021•武汉高三)集合A∣,A2满足AllJA2=A,则称(4,A?)为集合A的一种分拆，并

规定：当且仅当Al=A2时，(A1,4)与(4,4)是集合A的同一种分拆.若集合A有三个元

素，则集合4的不同分拆种数是.

【答案】27

【解析】不妨令A={l,2,3},∙.∙A∣UA2=A,

当4=0时，A2-{1,2,3))

当Aι={l}时,A2可为{2,3},{1,2,3}共2种，

同理4={2},{3}时，同各有两种,

当4={1,2}时，4可为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}共4种，

同理4尸{1,3},{2,3}时,A2各有4种,

当4={1,2,3}时，A2可为4的子集,共8种,

故共有1+2x3+4x3+8=27种不同的分拆.

32.(2021•江苏高三模拟)对于有限数列{即},定义集合S(k)={s卜=…:+叫,1≤&<

i2<-<ik≤10).,其中AeZ且l≤k≤10,若α71=n,则S(3)的所有元素之和为

【答案】660

【解析】S(3)=[s∖s=中广，1≤i1<i2<i3≤10)=[s∖s=l<i1<i2<

i3≤10).

则S(3)中的每个元素就是从1,2,…,10中挑选3个出来求平均值，

1,2,…,10每个被选出的次数是相同的，

若i(l≤i≤10)被选中，则共有CI种选法，即L2,…,10每个被选出的次数为量，

.,、9X8、,IoX(I+10)

则S(3)的所有元素之和为寻(ι+2+→ιo)==660∙

33

故答案为：660.

32.(2021•沈阳市・辽宁实验中学高三模拟)已知集合M={xI-4<X<2},∕V={xI≤0),

则MnCRN=()

A.Γ-2,1)B.(—4,—2)U(1,2)

C.C-4,—2)U(1,2)D.(―∞,—4]∪[2,+∞)

【答案】C

【解析】:N={xI翳≤θ}=-2,1,.'.CRN=(-∞,-2)U(I,+8)又

M={x∣-4<x<2},

.∙.MCCRN=6-4,-2；U(1,2)

故选：C

33.(2021•湖南高三二模)己知M,N是R的子集，且MaN,则(CRA)ClM=()

A.MB.NC.0D.R

【答案】C

【解析】M,N是R的子集，旦MUN,如图所示，CRN表示Venn图中的阴影部分，

故可知，(CRN)∩M=0

L2命题及其关系、充分条件与必要条件

∖.sina=SinB是a=S的条件

答案：必要不充分

2.(2021.浙江期末)若集合4={x∣x>2},B={x∖bx>1},其中b为实数.

(I)若4是B的充要条件，则b=；

(2)若4是B的充分不必要条件，则b的取值范围是：

(3)若4是B的必要不充分条件，则b的取值范围是：

【答案】Tb>∖0≤b<^

(1)由已知可得4=8,则工=2是方程"=1的解，且有6>0,解得b=：；

(2)集合A是集合B的真子集，若不等式bx>1依题意有b>OHx>轴巧<2故b的取值

范围b>I

(3)集合B是集合A的真子集当B=。时b=O成立，B≠0有b>0且X>**>2则0<

b<∖,所以0≤b<^

3.(2021.广西贵港市模拟)给出下列四个命题：

JT1

①“若6=∙∣+2&万(AeZ),贝I]CoSe=M，的逆命题；

②“若数列｛叫是等比数列，则W=的否命题；

③“若c2Y,则关于X的方程V-4X-C=O有实根”的逆命题；

④“若AB=A,则8=的逆否命题.

其中假命题是.

【答案】①②④

TT11

【解析】①“若e=q+2Z;T(ZeZ),则COSe=I”的逆命题为“若COSe=B,则

rrIjrjr

Θ=—+1kπ(^k∈Zj,';而COSe=万时，。=耳+24;T或。=—§+2%乃(&eZ),故命题①是假命

题；

②“若数列｛%｝是等比数列，则d=q%''的否命题是“若数列｛4｝不是等比数列，则W≠44'';

取4,=。，可知②是假命题；

③“若eNT,则关于X的方程f-4X-C=O有实根”的逆命题是“若关于X的方程

Y—4x—c=0有实根，贝！Jc≥T”;

由A=16+4c≥0,得c≥-4,故命题③是真命题；

④若A8=A,则A£8,所以“若48=A,则B=A”是假命题；

因为原命题与它的逆否命题等价，可知④是假命题：

故假命题是①②④，故答案为：①②④.

4.(2021•嘉峪关高三三模)已知机，〃是不同的直线，a,夕是不同的平面，则〃_La的一

个充分条件是()

A.akβ,nuβB.a∕∕β,nYβC.a，/3,n//βD.mlIa,n±m

【答案】B

【解析】对于A,由α∙L6，nuβ,可得〃与α可能平行，可能垂直，可能相交不垂直，

所以A错误，

对于B,由C可得〃，ɑ,所以B正确，

对于C,由aJ_尸，n∕∕β,可得w与α可能平行，可能垂直，可能相交不垂直，”可能在α

内，所以C错误，

对于D,由W3,n±m,可得"与α可能平行，可能垂直，可能相交不垂直，所以D错误，

故选：B

5.已知P是/■的充分不必要条件，9是r的充分条件，S是r的必要条件，q是S的必要条

件.现有下列命题：

(I)S是q的充要条件；(2)p是q的充分不必要条件；(3)r是q的必要不充分条件；(4)∙∏p是rs的

必要不充分条件；(5)r是S的充分不必要条件.

则正确命题的序号是

【答案】⑴⑵(4)

【解析】由题意知，soq,(1)正确；P=∕^ns=q,...p=<7,但q≠>p,(2)正

确；同理判断(3)(5)不正确，(4)正确.

6.(2021.武汉联考)设条件p:实数X满足炉―4℃+3/<0；条件q：实数X满足

炉+2x-8>0且力是F的必要不充分条件，则实数”的取值范围是

答案：a<一4或a=0或a≥2

解析：“「p是F的必要不充分条件”等价于于是“4是P的必要不充分条件”

解：∙.∙f是r的必要不充分条件；.4是P的必要不充分条件

设Q={x∣尤2+2x—8>θ}可解得:Q=(YO,-4)D(2,+∞)

设P={xIf—4"+3。2<0,),则集合P是集合Q的真子集

当a=O时，P为0符合题意

当a>。时可解得:P=(α,3α),则a22

当a<O时可解得:P=(3a,a)a<-4综上α≤一4或a=O或a≥2

答案:ɑ≤一4或a=O或a≥2

7.下列说法不正确的是()

A"若2x—3>0,则x<—1或x>3”的逆命题，否命题，逆否命题都是真命题

B“若a+b+c=3,则辟+6+走3”的逆否命题是真命题

C“若a,b都是偶数，贝b+b是偶数”的否命题一定为真命题

D"⑷>∣⅛∣,,⅞"α2>炉"等价

答案：C

解析：A逆命题：若x<—1或x>3,则x2—2x—3>0.否命题：若N-2%—3/0,则一1三烂3.

逆否命题：若一1人3,则Λ2—2χ-3W0∙这里，四种命题都是真命题；

B只需证明原命题为真，Vα+fe+c=3,Λ(α+⅛+c)2(1+1+1)≥(a+b+c)?=9.所以a2

+⅛2+c2≥3;

C否命题：若a,b不都是偶数，则α+b不是偶数，比如a,b都是奇数，α+b是偶数

D∣α∣>Ibl得到>∖b∖2^"a2>b2

故选：C.

8.(2021•河北高三一模)设a,b6R,贝仪a+例=∣l+i卜是"a=b=1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】解：+=∣l+z∣,.∙.yja2+b2=√12+12>即a?+b2=2,

Va2+&2=2≠>a=h=1,而Q=6=1=>a2+h2=2,ʌua2+b2=2"是"a=b=1"

的必要不充分条件，即''∣a+例=∣l+i∣”是“a=b=l”的必要不充分条件，故选B.

9.(2021•湖南模拟)若关于X的不等式IX—成立的充分条件是0令<4,则实数a的取值范

围是()

A.(—co,1]B.(—co,1)

C.(3,+∞)D.[3,+∞)

答案D

解析∣x—1∣<^z=>l—a<x<1÷a,因为不等式仅一1|<。成立的充分条件是0<x<4,所以(0,4)U(I

ʃl-a≤O

~a,l÷a）,所以∖l+α≥4解得0≥3.

10.（2021.广东高三一模）设a,。,y为三个不同的平面，若aJ.0,则“y〃夕是"a1，'的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为al£,y〃£,则a_Ly,

所以由al。，V〃/?可以得出a_Ly,

若aJLQ,a1y,贝IIy与S可能相交或平行，所以aJL/7,alγ,得不出y〃S，

所以若a1β,5T0∕0是"a1y”的充分不必要条件，

故选：A

11.（2021•湖南高三三模）设a,h,m为实数，给出下列三个条件:①a3>b3：②am?>bm2；

魅其中使a>b成立的充分不必要条件是（）

A.①B—C.③D.①②③

【答案】B

【解析】对于①，当a，>/时，a>b成立,而当a>6时，a3>庐成立，所以a?>b3^,a>b

的充要条件，所以①不合题意；

对于②，当。病>^病时，由不等式的性质可知a>》成立，而当a>A,m=0时，am2>bm2

不成立，所以am?>br∏2是a>∕,的充分不必要条件，所以②符合题意；

对于③，当a=-l,b=l时，工<J成立，而a>A>不成立，当a=l,b=-1时，a>b成立，

而不成立，所以工<：是a>A的既不充分也不必要条件，所以③不合题意，故选B

abab

12.（2021•宁夏银高三模拟）设直线∕∣:2x-my=l,∕2：（M-I）X-y=l,贝IJF=2"是“"E'

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若，i〃L，则；⅛=子≠L解得Tn=-I或2,•••“机=2”是=—1或2”的充分

不必要条件，.•.”加=2”是*〃/2”的充分不必要条件.

故选：A.

13.（2021•福建高三三模）在△ABC中，角AB,C的对边为α,b,c,则Z=B"成立的必要不

充分条件为()

A.SinA=COS(B-])B.acosA—bcosB=0

C.bcosA=acosBD.-^―=—^―=

CosACOSBcosC

【答案】B

【解析】4=8时，ABC均成立，D不一定成立，

A.SinA=cos(B-ɪ)=SinB,因为4,8是三角形内角，所以∕=B,A错误；

B.acosA-bcosB=0,则SiTIaCoSA=sinBcosB,sin2A=sin2Bf2A=2B或24+28=ττ,

即Z=B或4+B=MB正确;

C.ðeosA=acosB则SinBCoS4=SinAcosB,所以£。几/=£。九8,A=B,C错;

D∙点=Ξ⅛=氤时,由正弦定理得鬻=鬻竺£,即ternA=tanB=tanC,

cosC

A=B=C,D错.

故选：B.

14.（2021.辽宁高三模拟）下列说法氐触的是（）

A.等比数列｛α列,a2=4,α10=8,则o⅛=±4√Σ

B.抛物线y=—4/的焦点F（-i,o）

C.已知α,b为正实数，则"W≤2"是"αb≤16”的必要不充分条件

a+b

D.两个事件4、B,“4与B互斥”是“4与B相互对立”的充分不必要条件.

【答案】C

α

【解析】A.等比数列｛αn｝,a2=4,QIo=8,所以=α2ιo=32,则%=±4√2,又％=

4

α2Q>0»所以%=4Λ泛，故A错误；

B.抛物线y=—4/化成标准式得：%2=-ly,所以其焦点F（0,—总，故B错误；

C.Q+b≥2√ΞF,当且仅当Q=b时，等号成立，若αb≤16,可得急

ɪʌ/lð=2,即必要性成立;反之,例如Q=2,b=10,此时≤2,而αb=20,此时Qb>16,

2a+b

即充分性不成立，所以“3≤2"是"ab≤16”的必要不充分条件

D.两个事件4B,若4与B互斥，则4与B不一定相互对立，但若4与B相互对立，则A与B一定

互斥，故"A与B互斥”是“4与8相互对立”的必要不充分条件，故D错误.

故选：C

拓展延伸

15.(2021•湖北高三模拟)下列各函数中，满足“xi+x2=0”是“f(xi)+f(X2)=0”的充要条件是

()

①f(x)=tanx②f(x)=3x-3r

③f(x)=χ3④(X)=IOg3∣X∣

A①②B②③CΦ(3)D②④

答案B

解析因为f(x)=tanx是奇函数，所以x∣+x2=Onf(Xl)+f(X2)=0，但是f《)+f(斗)=0，此

时3+多°，因为f(x)=3jl7~x和f(x)=χ3均为单调递增的奇函数，所以''x∣+x2=0''是''f(x∣)

+f(x2)=O''的充要条件，由f(x)=log3∣x∣的图象易知不符合题意.

故选B

创新应用

16.(2021辽宁省锦州市黑山中学月考)设p:2≤X<4,q:实数X满足/—2ax-3α2<0(α>

θ)∙

(1)若“=卜，且p,q都为真命题，求X的取值范围；

(2)若P是q的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

,【解析】:(1)当α=l时,可得—2ax—3a2<0>可化为/—2x—3<0,解得—1<x<3,

又由命题∙p为真命题，则2≤X<4.

所以p,q都为真命题时，则X的取值范围是｛x∣2≤x<3｝∙

(2)由“2—2αx—3。2<0,(α>0),解得一α<x<3α,

因为p：2≤X<4,且P是q的充分不必要条件，

-CL<2

即集合｛x∣2≤%<4｝是｛x∣-α<x<3α｝的真子集，则满足3ɑ≥4,解得α≥所以实

.ɑ>0

数ɑ的取值范围是9+∞).

17.(2021•山东高三模拟)下列四个条件中，不能成为X>y的充分不必要条件的是()

A.女2>丫©2B.：<:<0

C.∣χ∣>IylD.Inx>Iny

【答案】C

【解析】对于A选项：若X*>yc2,则c?≠0,则%>y,反之%>y,当C=0时得不出％小>

yc2,所以Xe?>yc?是X>y的充分不必要条件，故4正确；

对于B选项：由:<：<0可得y<x<0,即能推出x>y；但x>y不能推出：<：<0因为

χyχy

%y的正负不确定)，所以Vo是％>y的充分不必要条件，故B正确；

对于C选项:由∣X∣>Iyl可得/>y2,则(X+y)(χ-y)>0,不能推出X>y；

由4>y也不能推出∣x∣>Iyl(如(X=I,y=-2)),所以IXl>Iyl是％>y的既不充分也不必

要条件，故C错误；

故选C

18.(2021•江苏高三模拟)已知随机变量f~N(〃《2),有下列四个命题：

甲：P(α<f<α+1)<P(α+l<f<α+2)

乙：P(ξ>α)=0.5

丙：P(f≤α)=0.5

T：P(f<α-l)>P(f>α+2)

如果只有一个假命题，则该命题为()

A.甲B.乙

C.丙D.T

【答案】A

【解析】由于乙、丙的真假性相同，所以乙、丙都是真命题，故α=%

根据正态分布的对称性可知：丁：P(f<"-l)>P(f>〃+2)为真命题，所以甲为假

命题.并且，P(μ<<<μ+1)>P(μ+1<^<μ+2).

所以假命题的是甲.

故选：A.

19.(2021•广西模拟)若命题P的否命题为r,命题/`的逆命题为s,P的逆命题为f,则S

是r的()

A.逆否命题B.逆命题C.否命题D.原命题

答案C

解析命题P的否命题为r,命题r的逆命题为s,贝人是P的逆否命题，

又P的逆命题为f,二SJ互为否命题.

故选：C.

20∙（2021∙陕西高三月考）下列四个结论：①设4,6为向量，若,因=同忖，则α//恒成立;

②命题“若X-SinX=0,贝IJX=O”的逆命题为“若x≠0,则X-SinX≠（Γ';③不等式

-ɪ-解集为{χ∣o<χ<ι};

其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.0个

答案B

解析①。力为向量，若卜必卜同忖，则α〃匕恒成立，正确；

②“若X-SinX=O,则X=O”的逆命题为“若X=O,则X-SinX=0”,错误；

③三>E，即』τ<0,可得O<x<l,故解集为{x∣0<x<l},正确；

故选：B

21.（2021•浙江）已知非零向量。也c,则““∙c=6∙c''是"α=Z√'的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

答案B

解析如图所示，OA=4,。8=6,。C=c,8A=ɑ-5，当Aβ_LOC时，α-5与2垂直，

Iα-∕>∙c-O,所以右.；：成立，此时4≠b,

•••[Z=Vt>•不是α=b的充分条件，

∕Γr>rrr

当α=/?时，ci—b=O>∙♦（。一。）,c=。'c=O,♦♦〃.c—成立,

；・“.（.=B.c是α=b的必要条件，

故选：B.

22.(2021・临川一中高三模拟)已知命题“*eR,/+χ+a≤o,命题qz∈3+00),则

是q的条件.

答案充分不必要

解析rrVXeR,X2+x+a>0>BP∆=l-4a<0,α>ɪ,

4

所以r=4,即力是4的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

；:2

23.设。,6,。£口证明：42+/7+c=α∕>+"c+bc的充要条件是α=6=c.

证明:⑴充分性:如果α=b=c,

那么(α-6f+s-c)2+(a-c)2=o,

cΓ+b^+C1-ab-ac-bc=O,:.a2+b'+c1=ab+ac+bc.

⑵必要性:如果/+b2+c2=ab+ac+bc,

那么ci1+b2+c2-ab-ac-bc-0,

.∖(a-b)2+S-c)2+(c-a)2=0,.∙.a-b=O,b-c=O,c-a=O,.,.a=b=c.

由⑴⑵知,ɑ?+b1+C1="+αc+Z>c的充要条件是α=i∙=c.

24..(2021•安徽高三开学考试)