第06讲 向量概念（四大题型）（解析版）

第06讲向量概念【题型归纳目录】【知识点梳理】知识点一：向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．知识点诠释：（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．知识点二：向量的表示法1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．2、向量的表示方法：（1）字母表示法：如等．（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 知识点诠释：（1）用字母表示向量便于向量运算；（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．知识点三：向量的有关概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）．知识点诠释：（1）向量的模．（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位的向量．知识点诠释：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．4、相等向量：长度相等且方向相同的向量．知识点诠释：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．知识点四：向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）．规定：与任一向量共线．知识点诠释：1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．【典型例题】题型一：向量的基本概念【例1】（2024·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数是（

）（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；（2）零向量没有方向；（3）向量的模一定是正数；（4）非零向量的单位向量是唯一的．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误，对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误，对于（3），零向量的模可能为0，不一点是正数，故（3）错误，对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误，故选：A．【变式1-1】（2024·新疆·高一校考期末）下列说法正确的是（

）A．身高是一个向量B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量C．有向线段由方向和长度两个要素确定D．有向线段和有向线段的长度相等【答案】D【解析】A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A错；B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错；C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错；D：有向线段和有向线段的长度相等，故D对.故选：D【变式1-2】（2024·高一课时练习）下列说法正确的是（

）A．质量、速度、位移、加速度、功都是向量．B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小．C．两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点相同．D．向量的模可以比较大小．【答案】D【解析】A.质量、功不是向量，故A错误；B.向量不能比较大小，故B错误；C.相等向量指方向相同，长度相等的向量，与起点和终点无关，故C错误；D.向量的模是数量，可以比较大小，故D正确.故选：D【变式1-3】（2024·山西阳泉·高一阳泉市第十一中学校校考期末）下列命题中真命题的个数是（

）（1）温度､速度､位移､功都是向量（2）零向量没有方向（3）向量的模一定是正数（4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量；（2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的；（3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数；（4）错误，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量.故选：A.题型二：向量的表示方法【例2】（2024·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．(1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）；(2)求的模．【解析】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为，又因为D点在B点的正北方，所以，又，所以，即D、C两点在坐标系中的坐标为，；即可作出、、如下图所示.（2）如图，作出向量，由题意可知，且，所以四边形是平行四边形，则，所以的模为【变式2-1】（2024·全国·高一随堂练习）用有向线段表示下列物体运动的速度．(1)向正东方向匀速行驶的汽车在2h内的位移是60km（用的比例尺）；(2)做自由落体运动的物体在1s末的速度（用1cm的长度表示速度2m/s）．【解析】（1），以为起点，向右作有向线段，它的长度是3cm，（2），时，，以为起点，向下作有向线段，长度为：【变式2-2】（2024·全国·高一随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量．(1)终点A在起点O正东方向3m处；(2)终点B在起点O正西方向3m处；(3)终点C在起点O东北方向4m处；(4)终点D在起点O西南方向2m处．【解析】（1）从向东作长度为3m的有向线段：（2）从向西作长度为3m的有向线段：（3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段：（4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段：【变式2-3】（2024·高一课时练习）在平面直角坐标系中，已知，与x轴的正方向所成的角为30°，与y轴的正方向所成的角为120°，试作出.【解析】如图，根据方位角及长度来确定.题型三：利用向量相等或共线进行证明【例3】（2024·高一课时练习）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.(1)写出与向量共线的向量；(2)求证：.【解析】（1）因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，，所以四边形为平行四边形，所以.所以与向量共线的向量为：，，.（2）证明：在平行四边形中，，.因为，分别是，的中点，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，，故.【变式3-1】（2024·高一课时练习）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，M，N分别为AD和BC的中点，以A，B，C，D，M，N为起点和终点作向量，回答下列问题：(1)在模为1的向量中，相等的向量有多少对？(2)在模为的向量中，相等的向量有多少对？【解析】（1）在模为1的向量中，相等的向量有:①，共有6对；②，共有6对；③，共有3对；④，共有3对；所以模为1的向量中，相等的向量共有18对.（2）在模为的向量中，相等的向量有:.共有4对.【变式3-2】（2024·高一课时练习）已知点，，，分别是平面四边形的边，，，的中点，求证：．【解析】证明：如图，连接AC，因为，分别是，的中点，所以为的中位线，所以，且，同理，因为，分别是，的中点，所以，且，所以，且，因为向量与方向相同，所以.【变式3-3】（2024·高一课时练习）在四边形中，已知，求证：四边形为平行四边形．【解析】证明：在四边形ABCD中，，所以，且所以四边形为平行四边形．题型四：向量知识在实际问题中的简单应用【例4】（2024·全国·高一随堂练习）如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：nmile）．

【解析】由题意，所以向量的长度为2nmile．【变式4-1】（2024·高一课时练习）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1．(1)试以为终点画一个有向线段，设该有向线段表示的向量为，使．(2)在图中画一个以为起点的有向线段，设该有向线段表示的向量为，且，并说出点的轨迹是什么？【解析】（1）如图，感觉向量相等的定义，与的方向相同，长度相等，即，即可得到向量；（2）如图，画出一个满足条件的向量，点的轨迹是以点为圆心，半径的圆.【变式4-2】（2024·高一课时练习）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．（1）试作出向量；（2）求．【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量即为所求．（2）根据题意，向量与方向相反，故向量，又，∴在中，，故为平行四边形，∴，则（海里）．【变式4-3】（2024·高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．【解析】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，向量如图所示，由已知可得，为正三角形，所以．又，，所以为等腰直角三角形，所以，．故向量的模为，方向为东南方向．【变式4-4】（2024·全国·高一专题练习）某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．（1）作出向量，，；（2）求的模．【解析】（1）作出向量，，；如图所示：（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝(米)，所以|米.【过关测试】一、单选题1．（2024·全国·高一假期作业）下列命题正确的是（

）A．零向量没有方向 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】C【解析】对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误；对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误；对于C项：因为，，所以可得：，故C项正确；对于D项：若，则不共线的，也有，，故D项错误.故选：C.2．（2024·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误；对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确；对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误；对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.故选：A3．（2024·全国·高一假期作业）下列命题不正确的是（

）A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线D．若，，则【答案】A【解析】A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；C选项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时才成立，故C正确；D选项，由向量相等的定义知D正确.故选：A4．（2024·高一校考课时练习）下列结论中，不正确的是（

）A．向量共线与向量∥意义是相同的B．若=，则∥C．若向量，满足，则=D．若向量=则向量=【答案】C【解析】选项A,由向量共线的定义可得向量共线与向量意义是相同的,故A正确;选项B,当向量,则一定有,故B正确;选项C,向量满足,但方向不定,故不一定有,故C错误;选项D,由向量和相反向量可得向量,故D正确.故选:C.5．（2024·高一课时练习）判断下列各命题的真假，其中假命题的个数为（

）（1）向量的长度与向量的长度相等；（2）、是两非零向量，且与平行，则与方向相同或相反；（3）如果表示两个向量的有向线段有共同的终点，则这两个向量一定是共线向量；（4）向量和向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；（5）为模为1的向量，则．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】对于（1），根据向量的模的概念，可知（1）正确；对于（2），根据平行向量的概念，可知（2）正确；对于（3），如图1，的终点都是点，但是不共线，故（3）错误；对于（4），如图2，正方形中，向量和向量是共线向量，但是点A、B、C、D不在同一条直线上，故（4）错误；对于（5），根据向量的概念，可知（5）错误.所以，（3）（4）（5）为假命题.故选：C.6．（2024·全国·高一随堂练习）已知四边形，下列说法正确的是（

）A．若，则四边形为平行四边形B．若，则四边形为矩形C．若，且，则四边形为矩形D．若，且，则四边形为梯形【答案】A【解析】A选项，若，则且，则四边形为平行四边形，正确；选项，如图，但是四边形不是矩形，错误；选项，若，且，则四边形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故错误．选项，若，且，则四边形可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误.故选：A7．（2024·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）下列命题：①若，则；②若，，则；③的充要条件是且；④若，，则；⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于①，因为，但、的方向不确定，则、不一定相等，①错；对于②，若，，则，②对；对于③，且或，所以，所以，“且”是“”的必要不充分条件，③错；对于④，取，则、不一定共线，④错；对于⑤，若、、、是不共线的四点，当时，则且，此时，四边形为平行四边形，当四边形为平行四边形时，由相等向量的定义可知，所以，若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，⑤对.故选：A.8．（2024·高一单元测试）如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（）

A． B．C． D．【答案】D【解析】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均错；因为，则，则，则，即，即，，则，，即为的中点，所以，，C错，D对.故选：D.二、多选题9．（2024·宁夏银川·高一校考阶段练习）在下列结论中，正确的结论为（

）A．且是的必要不充分条件B．且是的既不充分也不必要条件C．与方向相同且是的充要条件D．与方向相反或是的充分不必要条件【答案】ACD【解析】因为且，所以或，若，则与方向相同且，所以且是的必要不充分条件，故选项A正确，选项B错误；对于选项C，因为与方向相同且，所以，反之，若，则与方向相同且，所以与方向相同且是的充要条件，正确；对于选项D，若与方向相反或，则，若，则与方向不同或，即由得不到与方向相反或，所以与方向相反或是的充分不必要条件，正确.故选：ACD10．（2024·高一校考课时练习）下列说法中错误的是（

）A．若||=||，则=B．若≠，则||≠||C．零向量的长度为0D．若则【答案】AB【解析】因为向量既有大小又有方向,所以只有方向相同、大小(长度)相等的两个向量才相等,故A错误;两个向量不相等,但它们的模可以相等,故B错误;零向量的长度为0,故C正确;,则它们的相反向量也相等,故D正确.故选：AB.三、填空题11．（2024·全国·高一专题练习）给出下列命题：①若，则；②若单位向量的起点相同，则终点相同；③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是．【答案】③【解析】①考虑的情况；②根据单位向量的定义判断.③根据相等向量的定义判断.④共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，所在直线可能平行也可能重合.①错误．若，则①不成立；②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量与必须在同一直线上．故答案为：③12．（2024·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是（填序号）．【答案】②③④【解析】由零向量的定义可知，①正确；时，不知道两个向量的方向，不能得到或，②错误；两个向量共线，与模是否相等无关，③错误；当时，满足，，但不能得到，④错误.故答案为：②③④13．（2024·高一课时练习）给出下列四个条件：①；②；③与方向相反；④或，其中能使成立的条件是.【答案】①③④【解析】因为与为相等向量，所以，即①能够使成立；由于并没有确定与的方向，即②不一定能使成立；因为当与方向相反时，则，即③能够使成立；因为零向量与任意向量共线，所以或时，能够成立.故使成立