第4课（B培优）数学归纳法（解析版）-【名校冲刺】2021-2022学年高二数学同步精讲教案（数列篇）（沪教版2020选择性必修第一册）

第4课：数学归纳法教学目标1、掌握数学归纳法证明的一般步骤；2、能应用归纳——猜想——论证的解题思路，解决相应的数学问题重点1、数学归纳法证明的一般步骤；2、数学归纳法证明的应用难点1、数学归纳法证明的一般步骤；2、数学归纳法证明的应用（一）数学归纳法知识梳理归纳法：由特殊到一般的推理方法，叫做归纳法；备注：归纳法可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律，这种归纳得到的结论需要证明！2、数学归纳法：一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：（1）(归纳奠基)证明当取第一个值(为正整数)时，命题成立；（2）(归纳递推)假设(为正整数)时命题成立，证明当时命题也成立.那么，命题对于从开始的所有正整数都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.备注：①注意命题中取满足题意中最小的第一个值，不一定是1.=2\*GB3②应用数学归纳法要运用“归纳假设”，没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法.=3\*GB3③由k到k+1的证明，实际问题中由k到k+1的变化规律是数学归纳法的难点，突破难点的关键是掌握由k到k+1的推论方法，在运用归纳假设时，应分析P(k)与P(k+1)的差异与联系。利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发；或从P(k+1)从分离出P(k)，再进行局部调整；也可考虑寻求二者的“结合点”，以便顺利过渡.例题精讲【例1】用数学归纳法证明对任意，（，）的自然数都成立，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【难度】★★【答案】C【解析】当时，，，，不等式不成立；当时，，，，不等式不成立；当时，，，，不等式成立；当时，，，，不等式成立，所以满足题意的的最小值为3．故选：C．【例2】以下四个命题，其中满足“假设当（，）时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（）A．B．C．凸n边形的内角和为D．凸n边形的对角线条数【难度】★★★【答案】B【解析】对于命题C，凸n边形的内角和为，假设当时命题成立，即，当时，有，故当时命题也成立，当时内角和为，命题成立，故满足条件；对于命题D，凸n边形的对角线条数，假设当时命题成立，即，当时有，故不满足条件．故选：B.【例3】用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有，在验证正确后，归纳假设应写成（）A．假设时命题成立B．假设时命题成立C．假设时命题成立D．假设时命题成立【难度】★★【答案】C【解析】解：因为要证明的是对任意正偶数n均有等式成立，所以在验证正确后，归纳假设应写成：假设时命题成立．故选：C．【例4】k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N*)（）A．f(k)+k-1 B．f(k)+k+1 C．f(k)+k D．f(k)+k-2【难度】★★★【答案】A【解析】过棱柱不相邻两条侧棱的截面为棱柱的对角面，k棱柱有f(k)个对角面，(k＋1)棱柱可视为在原k棱柱基础上新增一条棱得到的，k棱柱的原对角面仍是对角面，与新增棱不相邻的原k棱柱的棱有k-2条，其中的每一条棱与新增棱构成一个对角面，这样就新增k-2个对角面，而与新增棱相邻的两条原k棱柱的棱构成的原侧面，现在也为对角面，则总共增加(k-2)+1=k-1个对角面，于是得f(k＋1)=f(k)+k-1，所以(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为f(k)+k-1.故选：A【例5】用数学归纳法证明等式，从到左端需要增乘的代数式为（）A．B．C．D．【难度】★★【答案】B【解析】当时，左端为当时，左端为因为所以从到左端需要增乘的代数式为，故选：B.【例6】用数学归纳法证明“”，推证当等式也成立时，只需证明等式____________成立即可．【难度】★★★【答案】【解析】假设时成立，即成立，当时，，故只需证明“”成立即可．故答案为：.【例7】设，用数学归纳法证明．【难度】★★【答案】详见解析.【解析】当时，左边=，右边=，等式成立；假设当时，等式成立；即成立，则时，左边=，=右边，所以时，等式成立，综上：，成立.【例8】已知，且平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，证明这些直线的交点的个数为．【难度】★★★【答案】证明见解析.【解析】证明：当时，两条直线的交点只有1个，又，所以时，命题成立；假设且时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数，那么，当时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为，因为任意两条直线不平行，所以直线l与其他k条直线的交点个数为k，又任意三条不过同一点，所以上面k个交点两两不同，且与平面内其他的个交点也两两不同，从而k+1条直线共有个交点，即，所以当时，命题成立.综上，原命题成立.巩固训练1、满足1×2＋2×3＋3×4n×(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数n等于（）A．1 B．1或2 C．1，2，3 D．1，2，3，4【答案】C【解析】当时，左边，右边，等式成立；当时，左边，右边，等式成立；当时，左边，右边，等式成立，当时，左边，右边，等式不成立.故选：C2、现有命题“，，用数学归纳法去探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（）A．不能用数学归纳法判断此命题的真假B．此命题一定为真命题C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题D．存在一个很大的常数，当时，此命题为假命题【答案】B【解析】①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立；②假设时，等式成立，即，则当时，，即当时，等式成立．综上，对任意，等式恒成立，故选：B．3、已知f(n)＝1＋＋(n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是______.【答案】2k【解析】观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)＝1＋＋＋…＋，而f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋.因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项.故答案为：2k4、证明：不等式，恒成立.【答案】见解析【解析】解：当时，成立假设时，不等式成立那么时，，，即时，该不等式也成立综上：不等式，恒成立.声明：试（二）数学归纳法的应用知识梳理归纳——猜想——论证“归纳、猜想、证明”就是运用“检验有限个的值，寻找一般的规律，先考虑一些特例，进行归纳，形成猜想，然后再去证明所得猜想的结论正确与否”的解题方法．备注：理解一个完整的思维过程，往往是既要发现结论，又要证明结论的正确性．这就需要掌握运用由特殊到一般的思维方法，也就是通过观察、归纳，提出猜想，探求结论，且运用严密的逻辑推理，即数学归纳法证明结论（猜想）的正确．领会“归纳、猜想、证明”的思想方法，非常有助于提高观察分析能力．例题精讲【例9】将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行从左向右的第3个数为________.【难度】★★★【答案】【解析】由排列的规律可知：第n-1行结束时排了个数，所以第n行从左向右的第3个数为.故答案为：【例10】给出下列各式：①，②，③，④，……，根据以上信息，猜想一般规律，并加以证明.【难度】★★★【答案】，证明见解析.【解析】解：根据题意，分析所给的等式可得：，可化为，可化为，可化为；猜想一般规律为：证明：我们熟知正弦的二倍角公式为：，据此可得当n为偶数时，则有原式注意到以下这些角互补，即.同理可得当n为奇数时结论也成立.【例11】是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)都成立，并证明你的结论.【难度】★★★【答案】存在，证明见解析.【解析】将n＝1，2，3分别代入等式得方程组：，解得a1＝6，a2＝9，a3＝12，设等差数列{an}的公差为d，则d＝3，从而an＝3n＋3.故存在一个等差数列an＝3n＋3，使得当n＝1，2，3时，等式成立.下面用数学归纳法证明结论成立.①当n＝1时，结论显然成立.②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，即a1＋2a2＋3a3＋…＋kak＝k(k＋1)(k＋2).那么当n＝k＋1时，a1＋2a2＋3a3＋…＋kak＋(k＋1)ak＋1＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)[3(k＋1)＋3]＝(k＋1)(k2＋2k＋3k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]所以当n＝k＋1时结论也成立.由①②知存在一个等差数列an＝3n＋3，使得对任何自然数n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)都成立.【例12】设f（n）＝1+，由f（1）＝1＞，f（3）＞1，f（7）＞，f（15）＞2，…（1）你能得到怎样的结论？并证明；（2）是否存在正数T，使对任意的正整数n，有f（n）＜T成立？并说明理由．【难度】★★★【答案】（1）f（2n﹣1）＞；证明见解析；（2）不存在；答案见解析．【解析】（1）由f（1）＝1＞，f（3）＞1，f（7）＞，f（15）＞2，可得f（2n﹣1）＞．证明如下：①当n＝1时，结论显然成立．②假设当n＝k时成立，即．当n＝k+1时，左边＝右边，即当n＝k+1时，结论也成立．由①②知，f（2n﹣1）＞；（2）由（1）可知f（2n﹣1）＞，所以不存在正数T，使对任意的正整数n，有f（n）＜T成立．【例13】如图，、、、是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．（1）写出、、；（2）猜想点的横坐标关于的表达式，并用数学归纳法证明．【难度】★★★【答案】（1），，；（2）猜想：，证明见解析．【解析】（1）设，则依题意，可得，，代入，得，即，所以，，．（2）由（1）可猜想：．下面用数学归纳法证明：（ⅰ）当时，猜想显然成立；（ⅱ）假设当时猜想成立，即有，则当时，由得，即，解得（不符合题意，舍去），即当时，猜想成立．由（ⅰ）（ⅱ）知猜想成立，即．【例14】已知数列满足，且，．（1）求的通项公式；（2）设，求使不等式对一切且均成立的最大整数．【难度】★★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，；当时，.猜想：当，下面利用数学归纳法证明：，.假设当时，猜想成立，即，那么，，由数学归纳法可知，对任意的，；（2）由（1）可得，因为不等式对一切且恒成立，可得，令，则，，所以，数列为单调递增数列，，所以，，因此，整数的最大值为.【例15】个正数排成行列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数的等比数列.已知，，.（1）设，求数列的通项公式；（2）设，求证：()；（3）设，请用数学归纳法证明：.【难度】★★★【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】解：（1）由题意，数列是等差数列，设首项为，公差为，由，得解得，.故数列的通项公式为.（2）由（1）可得，再由已知，得，解得，由题意舍去..由指数函数的性质，有().（3）(i)当时，，等式成立.(ii)假设当时等式成立，即，当时，，等式成立.根据(i)和(ii)可以断定，对任何的都成立.巩固训练1、考察下列各式2＝2×13×4＝4×1×34×5×6＝8×1×3×55×6×7×8＝16×1×3×5×7你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？【答案】猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5·…·(2n－1)，证明见解析【解析】由题意得，2＝2×1，3×4＝4×1×3，4×5×6＝8×1×3×5，5×6×7×8＝16×1×3×5×7，…猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5·…·(2n－1)，下面利用数学归纳法进行证明：证明：(1)当n＝1时，显然成立；(2)假设当n＝k时等式成立，即(k＋1)(k＋2)(k＋3)…2k＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么当n＝k＋1时，(k＋1＋1)(k＋1＋2)(k＋1＋3)·…·2(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)·…·2k·(2k＋1)·2＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·[2(k＋1)－1]所以当n＝k＋1时等式成立．根据(1)(2)可知对任意正整数等式均成立，故得证.2、已知数列的通项公式，，试求，，的值，由此猜想的计算公式，并用数学归纳法加以证明.【答案】，，，猜想，证明见解析.【解析】，，，推测下面用数学归纳法证明：①当时，；∴等式成立.②假设时等式成立：即则当时，有，即当时，等式也成立，由①､②知对任意正整数n，都成立.3、是否存在常数a，b，c，使等式N+都成立，并证明你的结论.【答案】见解析【解析】令n=1得①，令n=2得②，令n=3得③，解①、②、③得a=3，b=11，c=10，记原式的左边为Sn，用数学归纳法证明猜想下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．（1）当n＝1时，由上述知，（*）成立．（2）假设n＝k（k≥1）时，（*）成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2（3k2+11k+10），那么当n＝k+1时，1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2（3k2+5k+12k+24）[3（k+1）2+11（k+1）+10]，由此可知，当n＝k+1时，（*）式也成立．综上所述，当a＝3，b＝11，c＝10时题设的等式对于一切正整数n都成立．4、已知数列满足：.（1）写出数列的前6项的值；（2）猜想数列与的单调性，选择一种情形证明你的结论.【答案】（1），，，，，；（2）证明见解析．【解析】（1）∵，∴，∴，，，，，（2）由（1）结论：是递增数列，是递减数列．由，得，由知数列是正项数列，①证是递增数列，即证对一切正整数恒成立，（i）显然，即时，不等式成立，（ii）假设时，不等式成立，即，∴，则，，即，易知函数在上是增函数，∴，∴，∵，∴，即，∴时，不等式成立，综合（i）（ii）可知对一切正整数，成立，即是递增数列．②证是递减数列，即证对一切正整数恒成立，（i）显然，即时，不等式成立，（ii）假设时，不等式成立，即，∴，则，，（舍去），易知函数在上是增函数，∴，∴，∵，∴，即，∴时，不等式成立，综合（i）（ii）可知对一切正整数，成立，即是递减数列．5、相传在古印度圣庙上，有一种被称为汉诺塔的游戏．该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号，，），在杆自下而上、由大到小按顺序放置64个金盘，如图所示．游戏的目标：把杆上的金盘全部移到杆上，并仍保持原有顺序叠好．操作规则：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上．记将个直径不同的盘子从杆移动到杆所需要的最少次数为·（1）试写出，，，的值．（2）由（1）猜想数列的通项公式，并加以证明．【答案】（1），，，；（2）猜想：，，证明见解析．【解析】（1）由题意，得，，，．（2）猜想：，，证明如下：①当时，成立．②假设当时猜想成立，即，即将个直径不同的盘子从杆移动到杆最少需要次．则当时，分三步进行：第一步，将上面个盘子从杆移动到B杆；第二步，将第个盘子从杆移动到杆；第三步，将上面个盘子从杆移动到杆．则最少需要次，即，即时，猜想也成立．综上，．实战演练实战演练一、填空题1、用数学归纳法证明：，这里等于_____．【答案】3【解析】解：当时，；当时，；当时，，所以等于3.故答案为:3.2、在中，三边分别为，其中c为斜边，利用数学归纳法证明：，首先验证_________.【答案】2【解析】由于要证明的是，所以首先验证时，.另外，若，则有，不满足.故答案为：3、已知函数，对于，定义，则的解析式为________.【答案】【解析】解：函数对于，定义，．，，由此可以猜想以下用数学归纳法证明：当时，，显然成立；假设时成立，即，则时，也成立，故，故答案为：．4、用数学归纳法证明的过程中，由到时，右边应增加的因式是____________.【答案】【解析】当时,右式为，当时,右式为，则右边应增加的因式是，故答案为：5、已知对一切正整数都成立，则的值为__________【答案】66、设数列是集合且中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，，将数列中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则的值为________【答案】【解析】如果用表示，则，利用归纳推理得：，则，故答案为：324二、选择题7、某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，则可得当时命题也成立，若已知当时命题不成立，则下列说法正确的是（）A．当时，命题不成立B．当时，命题可能成立C．当时，命题不成立D．当时，命题成立，但若当时命题成立，则对任意，命题都成立【答案】A【解析】如果当时命题成立，则当时命题也成立，与题设矛盾，即当时，命题不成立，A正确；如果当时命题成立，则当时命题成立，继续推导可得当时命题成立，与题设矛盾，B不正确；当时，该命题可能成立也可能不成立，如果当时命题成立，则当时命题也成立，继续推导可得对任意，命题都成立，C不正确，D不正确.故选：A8、用数学归纳法证明：时第一步需要证明（）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：用数学归纳法证明，第一步应验证不等式为：.故选：C.9、对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：（1）当n＝