第2课（A基础）等比数列（原卷版）-【名校冲刺】2021-2022学年高二数学同步精讲教案（数列篇）（沪教版2020选择性必修第一册）

第2课：等比数列教学目标1、理解等比数列的概念；2、理解公比的概念并会求公比，掌握等比中项的概念并会求等比中项；3、掌握等比数列通项公式及其求法，并会判断数列是否是等比数列；4、熟练掌握等比数列前n项和公式以及相关运用；5、会求无穷等比数列前n项和的极限；6、等比数列综合运用.重点1、理解等比数列的概念；2、理解公比的概念并会求公比，掌握等比中项的概念并会求等比中项；3、掌握等比数列通项公式及其求法，并会判断数列是否是等比数列；4、熟练掌握等比数列前n项和公式以及相关运用；5、会求无穷等比数列前n项和的极限；6、等比数列综合运用.难点等比数列综合运用.（一）等比数列及其通项公式知识梳理1、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列叫做等比数列，而这个表示每一项与其前一项的比的常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示.数学语言：或.注：公比时，数列是常数列.2、等比中项根据等比数列的定义，有,从而，即或（同号），在这两种情形下，成等比数列，此时叫做与的等比中项。【注释】【注释】①如果三个数成等比数列，那么等比中项的平方必等于其前后两项的积；②同号的两个数才有等比中项，且它们的等比中项有两个；③是与的等比中项，，成等比数列.3、通项公式，，为正整数4、等比数列的判定方法（1）定义法：（为正整数，是常数）或是等比数列。（2）中项法：(为正整数)且是等比数列。（3）通项公式法：是等比数列。例题精讲【例1】有下列4个说法：①等比数列的某一项可以为0；②等比数列的公比取值范围是；③若，则，，成等比数列；④若一个常数列是等比数列，则这个数列的公比是1．其中正确说法的个数为A．0 B．1 C．2 D．3【例2】如果，，，，成等比数列，那么A．， B．， C．， D．，【例3】在等比数列中．（1）已知，，求；（2）在等比数列中，，，则____________．（3），，则____________．（4）等比数列中，，，则公比____________．（5）设是正项等比数列，且，，则的通项公式为____________．【例4】若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设是公比为的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第____________组．（写出所有符合要求的组号）①与；②与；③与；④与．（其中为大于1的整数，为的前项和．【例5】已知数列的通项公式，判断它是否为等比数列．（1）；（2）；（3）；（4）．【例6】已知数列、都是项数相同的等比数列，判断下列数列是等比数列是____________．①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．巩固训练 1、如果数列是等比数列，且，，则数列是（）A．等比数列 B．等差数列C．不是等差也不是等比数列 D．不能确定是等差或等比数列2、等比数列中，，，，则（）A．3 B．4 C．5 D．63、若等比数列满足，则其公比为（）A． B． C． D．4、已知等比数列中，，，则该数列的通项____________．5、在各项均为正数的等比数列中，若，则的值为（）A．6 B．5 C．-6 D．-5、已知中，三内角依次成等差数列，三边依次成等比数列，则是（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形7、若是等比数列，下列结论中不正确的是A．一定是等比数列 B．一定是等比数列 C．一定是等比数列 D．一定是等比数列（二）等比数列前n项和知识梳理1、等比数列的前项和公式前项和公式：或。注：若，则前项和可假设为：2、无穷等比数列的前项和的极限以为首项的无穷等比数列，当公比时，有例题精讲【例7】（1）已知各项均为正数的等比数列中，，，其前项和为，则____________．（2）已知正项等比数列的前项和为，且，则____________．（3）已知等比数列的前项和为，且，，则____________．（4）是等比数列的前项和，若，则____________．【例8】（1）已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，则____________．（2）等比数列的通项公式为，且存在，则实数的取值范围是____________．（3）循环小数化为最简分数，则____________.（4）如图，已知正的边长是1，面积是，取各边的中点、、，的面积为，再取各边的中点、、的面积为，以此类推…，求所有三角形的面积和.巩固训练 1、无穷等比数列的通项公式为，则其所有项的和为__________．2、在无穷等比数列中，若，则的取值范围是________.3、将无限循环小数化为分数，则所得最简分数为____________.4、如图，由编号，，…，，…（且）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为，则所有圆柱的体积的和为_______________（结果保留）．（三）等比数列综合知识梳理1、等比数列的性质:（1）若是等比数列，且，则，特别地，当时，.（2）数列为等比数列，则数列（为非零常数）为等比数列.（3）数列为等比数列，每隔（正整数）项取出一项仍为等比数列.（4）如果是各项均为正数的等比数列，则数列是等差数列.（5）若为等比数列，则数列成等比数列.（6）当时，，则为递增数列，，则为递减数列.当时，，则为递减数列，，则为递增数列.当时，则为常数列；当时，该数列为摆动数列.在等比数列中，当项数为时，若是公比为的等比数列，则2、等差与等比的互变关系：（1）成等差数列成等比数列；（2）成等差数列成等差数列；（3）成等比数列（）成等差数列；（4）成等比数列成等比数列；例题精讲【例9】“”是“，，，成等比数列”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例10】已知等比数列的公比，其前项的和为，则与的大小关系是A． B． C． D．【例11】设无穷等比数列，则“”是“为递减数列”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【例12】已知数列，均为正项等比数列，，分别为数列，的前项积，且，则的值为____________．【例13】已知正项等比数列满足：，，若存在两项，使得，则的最小值为A． B． C． D．【例14】已知等差数列，其前项的和为，则下列结论不正确的是A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C．若，，则 D．若，，则【15】设数列为等差数列，其前项和为，数列为等比数列．已知，，．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和．巩固训练 1、数列是正项等比数列，是等差数列，且，则有（）A． B．C． D．与大小不确定2、在正项等比数列中，和为方程的两根，则()A．16 B．32 C．64 D．2563、已知数列的首项，且，其中，，，下列叙述正确的是（）A．若是等差数列，则一定有 B．若是等比数列，则一定有C．若不是等差数列，则一定有 D．若不是等比数列，则一定有4、已知数列的前项的乘积为，若，则当最大时，正整数___________．5、已知数列，，且对于任意的都有，则实数的取值范围是______.6、已知等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.实战演练实战演练一．填空题（共6小题）1、已知等比数列的公比且则________.2、在等比数列的值为____________.3、已知数列的各项均为正数，且，则__________.4、在递增等比数列中，是其前项和，若，，则_________.5、若首项为1、公比为的无穷等比数列的各项和为，表示该数列的前项和，则的值为_____________．6、设数列的前项和为，且满足，则使，成立的的最大值为____________．二．选择题（共4小题） 7、等比数列的各项都为正数，且，等于（）A． B． C． D．8、若是一个等比数列的前项和，，，则等于（）A． B． C． D．9、关于数列,给出下列命题：①数列满足,则数列为公比为2的等比数列；②“,的等比中项为”是“”的充分不必要条件：③数列是公比为的等比数列,则其前项和；④等比数列的前项和为,则，，成等比数列,其中假命题的序号是（）A．② B．②④ C．①②④ D．①③④10、对于正三角形，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样的过程称为一次“镂空操作“，设是一个边长为1的正三角形，第一次“镂空操作”后得到图1，对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图2，对剩下的小三角形重