第1课（B培优）等差数列（解析版）-【名校冲刺】2021-2022学年高二数学同步精讲教案（数列篇）（沪教版2020选择性必修第一册）

第1课：等差数列教学目标1、理解等差数列的概念，能结合其定义证明数列是等差数列；2、掌握等差数列的通项公式和求和公式，能求通项和求和；3、会利用等差数列的性质简化一些求和求通项问题。重点1、等差数列中函数的思想2、熟练运用等差数列的通项公式和求和公式。难点1、数列中函数的思想2、等差数列性质的应用（一）等差数列及其通项公式知识梳理1、等差数列的定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示2、等差中项:如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项3、等差数列的判定方法:①定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列②等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列4、等差数列的通项公式:如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为该公式整理后是关于n的一次函数5、等差数列的常用性质:①等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有；②对于等差数列，若，则；例题精讲【例1】（1）在等差数列中，，，则________．【难度】★★【答案】【解析】因为，所以，即，设等差数列的公差为，又，所以，故，所以。（2）已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为（）A．－6 B．6 C．0 D．10【难度】★★【答案】B【解析】由于{an}，{bn}都是等差数列，所以{an－bn}也是等差数列，而a1－b1＝6，a20－b20＝6，所以{an－bn}是常数列，故a10－b10＝6.故选：B.（3）已知，，且，，成等差数列，则有最小值_____【难度】★★★【答案】【解析】因为，，成等差数列，所以，即所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故答案为：.【例2】在数列中，，是1与的等差中项，求证：数列是等差数列，并求的通项公式；【难度】★★★【答案】证明见解析，．【解析】由题意知是1与的等差中项，可得，可得，则，可得，又由，可得，所以数列是首项和公差均为1的等差数列，可得，解得，即的通项公式．【例3】已知等差数列为5，8，11，…和等差数列为3，7，11，…各有100项，问同属于数列和的数有几个？【难度】★★★【答案】25【解析】由已知得，，则，即．由n是正整数得k是3的倍数，又，于是，则，6，9，…，75，∴共有25个正整数同时属于数列和．【例4】在等差数列中，，则（）A．8 B．12 C．16 D．20【难度】★★【答案】B【解析】由题意，数列为等差数列，结合等差数列的性质得，，则，所以.故选：B.巩固训练1、数列为等差数列，，又已知，，求数列的通项公式．【答案】或【解析】由题意可得：，，即，因为数列为等差数列，所以，可得，故可设，，所以，整理可得：，即，即，解得：或，当时，，当时，，，综上所述：或.2、杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．某校数学兴趣小组模仿杨辉三角制作了如下数表．123456...35791113...81216202428.....................该数表的第一行是数列，第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和，则这个数表中第4行的第5个数为__________，各行的第一个数依次构成数列，则该数列的通项公式为__________．【答案】【解析】解：因为从第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和，所以第4行的第1个数为20，第2个数为28，第3个数为36，第4个数为44，第5个数为52，设各行的第一个数依次构成数列，观察可得，等式两边同除得则数列是公差为，首项为的等差数列，故，整理得故答案为：52；．3、等差数列的首项为，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意可知,,,,故选：D4、在四面体中，平面，三内角，A，成等差数列，，，则该四面体的外接球的表面积为___________.【答案】【解析】由题意，内角成等差数列，可得，因为，可得，即，在中，由余弦定理可得，即，解得，所以，所以，所以该四面体的外接球与该长方体的外接球是相同的，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得，解得，所以该四面体的外接球的表面积为.故答案为：5、已知正项数列满足，且对任意的正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式．【答案】证明见解析；．【解析】证明：由题知，得，所以是以为首项，公差为2的等差数列，即，当时，，当时，也符合题意，所以，又；所以.（二）等差数列的前n项和知识梳理1、前项的和与通项的关系：这个公式在求通项公式和证明时经常用到．2、等差数列的前n项和:=1\*GB3①=2\*GB3②对于公式=2\*GB3②整理后是关于n的没有常数项的二次函数3、若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列4、奇数项和与偶数项和的关系：设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质：前n项的和当n为偶数时，，其中d为公差；当n为奇数时，则，，，，例题精讲【例5】数列是公差不为零的等差数列，前项和为，满足，，则使得为数列中的项的所有正整数的值为________.【难度】★★★【答案】.【解析】设等差数列的公差为，由题意，得，解得，，，由题意得为数列中的项，则为偶数且，则为的正约数，所以，只能为，，解得。【例6】已知数列中，，，对任意正整数，，为的前项和，则_______.【难度】★★★【答案】【解析】当为奇数时，，即数列的奇数项成以为首项，为公差的等差数列；当为偶数时，，即数列的偶数项成以为首项，为公差的等差数列，所以.故答案为：。【例7】已知一个等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则第项为______。【难度】★★★【答案】29【解析】∵奇数项和，∵数列前项和∴，∴∴，又因为，所以===2，。【例8】（1）设是等差数列的前项和，若，则等于（）A． B． C． D．【难度】★★★【答案】C【解析】因为，，可得，所以，故选：C.【例9】（1）设为等差数列的前项和，若，，则________.【难度】★★★【答案】9【解析】在等差数列中，成等差数列，成公差为2的等差数列，即（2）设是任意等差数列，它的前项和、前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是（）A． B．C． D．【难度】★★★【答案】D【解析】设数列前3n项的和为R，则由等差数列的性质得X,Y-X,R-Y,Z-R成等差数列，所以2（Y-X）=X+R-Y,解之得R=3Y-3X,又因为2（R-Y）=Y-X+Z-R,把R=3Y-3X代入得，故选D.【例10】（1）数列满足，则_____，_____.【难度】★★★【答案】【解析】，，当时，，，两式相减得，所以，满足.综上所述.故答案为：；。【例11】正整数数列满足（p，q为常数），其中为数列的前n项和．(1)若，，求证：是等差数列；(2)若数列为等差数列，求p的值；【难度】★★★【答案】（1）证明见解析；（2）或；【解析】（1），时，，可得.时，，整理为：，∴，∴是等差数列.（2）设等差数列的公差为d，∴，.则，∴①.比较两边的系数可得：，当时，，解得，．此时，，由（1）可得：是等差数列.当时，．由①比较常数项可得：，则，，是等差数列.综上可得：或.巩固训练1、已知等差数列中，，前10项的和等于前5项的和，若，则（）A．10 B．9 C．8 D．2【答案】B【解析】设等差数列公差为,则由题意可知,代入有,解得.又,即,解得.故选：B2、已知等差数列的前项和满足：，则________。【答案】【解析】因为，，所以。3、记等差数列的前项和为，已知，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为是等差数列的前项，由等差数列前项和的性质可知：，，成等差数列，所以，即，解得：，故选：C.4、下列结论中正确的有（）A．若为等差数列，它的前项和为，则数列也是等差数列B．若为等差数列，它的前项和为，则数列，，，也是等差数列C．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则D．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则【答案】D【解析】对于A，，数列是等差数列，故A不正确；对于B，，，是等差数列，故错误；对于C，，，所以，故错误；对于D，，，所以，故正确；故选：D.5、等差数列、的前项和分别为和，若，则________．【答案】【解析】因为等差数列、的前项和分别为和，则，所以，.故答案为：.6、已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的个数是________。【答案】4【解析】数列和均为等差数列，，.由题知，则.验证知，当时，为整数，即使得为整数的正整数的个数是4。7、已知数列有，是它的前项和，且．（1）求证：数列为等差数列.（2）求的前项和.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）当时，所以，，两式对应相减得，所以又n=2时，，所以，所以，所以数列为等差数列.（2）当为偶数时，当为奇数时，综上：。（三）等差数列函数性质知识梳理1、等差数列通项公式：，其中当时，常函数；当时，一次函数；2、等差数列前n项和：，其中当时，常数项为0的二次函数；3、等差数列的单调性：设数列是公差为d的等差数列，当时，是单调递增的，当时，是单调递减的，若d=0,则数列为常数列；4、等差数列的最值：若是等差数列，求前n项和的最值时，（1）若>0,d>0,且满足，前n项和最大；（2）若<0,d>0，且满足，前n项和最小；例题精讲【例11】在等差数列中，，其前项和为，若，则＝_______。【难度】★★★【答案】4036【解析】设等差数列的前项和为，则，所以是等差数列．因为，所以的公差为，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以。【例13】已知等差数列的前n项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值.【难度】★★★【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题，因为等差数列，，所以又，所以，解得所以（2）由（1）可得：可得当时，取最大值为625。【例14】（1）等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（）A． B． C． D．【难度】★★★【答案】B【解析】∵等差数列中，，∴，即．又，∴的前项和的最小值为．故选：B（2）已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（）A．为递增数列 B．当且仅当时，有最大值C．不等式的解集为 D．不等式的解集为无限集【难度】★★★【答案】C【解析】由，知，即设等差数列的首项，公差，∴，解得，对于A，由，知为递减数列，故A错误；对于B，由，知当或时，有最大值，故B错误；对于C，由等差数列求和公式知，即，解得，即，故C正确；对于D，由等差数列求通项公式知，解得，故D错误；故选：C巩固训练1、设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，则m＝________.【答案】4【解析】因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以数列是等差数列，所以＋＝，即＋＝0，解得m＝4.故答案为：42、设为等差数列的前项和，.若，则（）A．的最大值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最小值是【答案】D【解析】由得：，整理可得：，等差数列为递增数列，又，，，当且时，；当且时，；有最小值，最小值为.故选：D.3、已知为等差数列，其前项和，若，，则下列不正确的是（）A．公差 B．C． D．当且仅当时【答案】D【解析】由，得，即.因，所以，且，故选项AB正确；因，且，故时，最大，即，故选项C正确；由，得，即，故D错.故选：D.4、已知等差数列的公差不等于，其前项和为，若，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，或，当时，因为公差，所以，所以，解得，所以，又，结合等差数列前项和公式所具有的二次函数的性质，可得的最小值为.当时，因为公差，所以或，若，则，解得，由于，故无最小值，若，则，解得，由于，故无最小值.综上所述，的最小值为.故选：C.（四）等差数列的简单应用例题精讲【例15】如图所示，四边形是平行四边形，过点的直线与射线、分别相交于点、，若，．（1）把用表示出来（即求的解析式）；（2）设数列的首项，前项和满足：，求数列通项公式．【难度】★★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1），，，，，，，，．（2），，，，数列是首项为，公差为的等差数列，，即，当时，；经检验，当时不成立，．【例16】某市抗洪指挥部接到最新雨情通报，未来城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加髙加固拦洪坝．经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用台某型号翻斗车，每辆翻斗车需要平均工作．而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调．若抽调的翻斗车每隔才有一辆到达施工现场投入工作，要在内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车（）A．辆 B．辆 C．辆 D．辆【难度】★★★【答案】C【解析】总工作量为：，由题意可知：每调来一辆车，工作时间依次递减，则每辆车的工作时间成等差数列，设第辆车的工作时间为，则，等差数列的公差，辆车的工作总时长，，，共需辆车完成工程，至少还需要抽调辆车.故选：C.巩固训练1、设等差数列{an}的公差为2，前10项和为490，等差数列{bn}的公差为4，前10项和为240.以ak，bk为邻边的矩形内的最大圆的面积记为Sk，若k≤18，则Sk=（）A．π(2k+1)2 B．π(2k+3)2 C．π(k+1)2 D．π(k+18)2【答案】A【解析】因公差为2的等差数列{an}前10项和为490，则，解得a1=40，于是得an=40+2(n-1)=2n+38，又公差为4的等差数列{bn}前10项和为240，则，解得b1=6，于是得bn=6+4(n-1)=4n+2，而当k≤18时，ak-bk=(2k+38)-(4k+2)=36-2k≥0，即2k＋38≥4k＋2，因此，以ak和bk为邻边的矩形内的最大圆的半径为2k+1，则该最大圆的面积Sk=π(2k+1)2，所以Sk=π(2k+1)2.故选：A2、7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大（只有1天）后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件．（1）求7月几日该款服装销售最多，最多售出几件．（2）按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行．求该款服装在社会上流行几天．【答案】（1）7月13日该款服装销售最多，最多售出39件；（2）11天．【解析】（1）设7月日售出的服装件数为，最多售出件．由题意知，解得，∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件．（2）设是数列的前项和，由（1）及题意知，∴．∵，∴当时，由，得，当时，日销售量连续下降，由，得，∴该款服装在社会上流行11天（从7月12日到7月22日）．实战演练实战演练一、填空题1、已知为等差数列的前项和，若，则___________.【答案】【解析】由，得，所以.故答案为：.2、有两个等差数列，，满足，则=____________；【答案】【解析】设等差数列，的公差分别为、，则，则有，①又由于，②观察①、②，可在①中取，则，故.3、已知为等差数列，，，则_____。【答案】2004、等差数列共项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，则_______.【答案】29【解析】因为等差数列共项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，记奇数项之和为，偶数项之和为，则.故答案为：.5、已知等差数列的通项公式为，当且仅当时，数列的前n项和最大.则当时，___________.【答案】【解析】解：由题意可知，，解得，又，则，所以，.由，得，解得或(舍)，故故答案为：20.6、设数列{}为等差数列，其前n项和为，已知，若对任意n∈N*，都有成立，则k的值为______.【答案】20【解析】对任意n∈N*，都有成立，即Sk为Sn的最大值．因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝31，故公差d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝41－2n，当Sn取得最大值时，对任意n∈N*满足解得n＝20.即满足对任意n∈N*，都有成立的k的值为20.故答案为：20二、选择题7、数列，3，，，，…，则9是这个数列的第（）A．12项B．13项