7.2 复数的四则运算-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第二册）

试卷第=page66页，共=sectionpages88页7.2复数的四则运算【考点梳理】考点一复数加法与减法的运算法则1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.2.对任意z1，z2，z3∈C，有(1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).考点二复数加减法的几何意义如图，设复数z1，z2对应向量分别为eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))与复数z1＋z2对应，向量eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))与复数z1－z2对应.考点三复数乘法的运算法则和运算律1.复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2.复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝z2z1结合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3考点四复数除法的法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，则eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).【题型归纳】题型一：复数加减法的代数运算1．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）设复数满足，则（

）A． B． C．4 D．52．（2022·高一）已知为虚数单位，计算下列各式．(1)；(2)；(3)；(4)．3．（2021·高一）已知复数，，．（1）求实数的值；（2）若，，求的取值范围．题型二：复数加减法的几何意义4．（2022春·北京西城·高一北京市第十三中学校考阶段练习）已知复数z满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．5．（2021春·高一课时练习）如图，设向量，，所对应的复数为z1，z2，z3，那么（）A．z1－z2－z3＝0B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0D．z1＋z2－z3＝06．（2022·全国·高一专题练习）设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（

）A． B． C． D．题型三：复数代数形式的乘法除法运算7．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）已知下列命题：(1)“为实数”的充要条件是“”；(2)若，则；(3)；(4).在复数集中，上述命题正确的个数是(

)A．1 B．2 C．3 D．48．（2023·高一课时练习）计算．(1)；(2)；(3).9．（2022秋·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期中）已知复数，，其中为非零实数．(1)若是实数，求的值；(2)若，复数为纯虚数，求实数的值；题型四：复数范围内因式分解和乘方10．（2022春·福建福州·高一统考期中）多项式在复数集中因式分解的结果是（

）A． B．C． D．11．（2023·高一课时练习）已知集合，则下列复数：①；②；③；④，其中属于集合M的为（

）．A．①②； B．①③； C．①④； D．①③④．12．（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）已知复数，那么（

）A． B． C． D．题型五：复数范围内解方程13．（2022春·广西南宁·高一校联考期末）已知复数，是关于x的方程的两个根，则（

）A．9 B．81 C． D．8214．（2022春·山东菏泽·高一统考期中）已知复数（i为虚数单位），若z是关于x的方程的一个虚根，则实数m＝（

）A．2 B．－2 C．1 D．－115．（2022春·河南·高一校）已知是方程在复数范围内的两个根，则（

）A． B． C．2 D．3题型六：共轭复数问题16．（2022秋·山东临沂·高一校考阶段练习）已知z=，(i是虚数单位)的共轭复数为，则在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限17．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知是虚数单位，复数，下列说法正确的是（

）A．的虚部为 B．的共轭复数对应的点在第三象限C．的实部为1 D．的共轭复数的模为118．（2022·高一单元测试）已知复数，且，则（

）A． B． C．， D．，题型七：复数的综合运算19．（2023·高一课时练习）已知复数，，其中i是虚数单位，．(1)若，是实系数一元二次方程的两个虚根，求m，n的值；(2)求的值域．20．（2022春·浙江金华·高一统考期中）已知复数是虚数单位.(1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；(2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值.21．（2022春·上海普陀·高一校考期末）已知复数(是虚数单位)，且为纯虚数(是的共轭复数).(1)求实数的值及复数的模；(2)若复数在复平面内所对应的点在第二象限，求实数的取值范围.【双基达标】一、单选题22．（2023·高一课时练习）在复数范围内，有下列命题：①的平方根只有i；②i是1的平方根；③若复数是某一元二次方程的根，则一定是方程的另一个根；④若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数．上述命题中真命题的个数为（

）A．3 B．2 C．0 D．123．（2023·全国·高一专题练习）在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（

）．A．第一象限； B．第二象限； C．第三象限； D．第四象限．24．（2023·高一课时练习）复数与（a，b，c，）的积是纯虚数，则（

）A．且 B．或C．且 D．或25．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（

）A．2 B． C． D．26．（2022·高一课时练习）非零复数、在复平面内分别对应向量、（为坐标原点），若，则（

）A．、、三点共线 B．是直角三角形C．是等边三角形 D．以上都不对27．（2022春·广东潮州·高一饶平县第二中学校考期中）设复数满足，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限28．（2022·高一课时练习）已知复数满足则（

）A． B． C． D．29．（2023·高一课时练习）设复数是方程的一个根．(1)求；(2)设（其中i是虚数单位，），若的共轭复数满足，求．30．（2023·高一课时练习）复数，其中为虚数单位．(1)求及；(2)若，求实数，的值．【高分突破】一、单选题31．（2022春·福建福州·高一校考期末）已知，且，i为虚数单位，则的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．832．（2022·全国·高一假期作业）若，则集合中的元素个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．无数个33．（2022·全国·高一假期作业）如果关于x的方程的一个根是i，那么下列关于复数a的说法中正确的是（

）A．a一定是实数 B．a可能是实数，也可能是虚数C．a一定是纯虚数 D．a一定是虚数，但不是纯虚数34．（2022·高一课时练习）若复数，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限35．（2022·江苏·高一开学考试）设复数z的模长为1，在复平面对应的点位于第一象限，且满足，则（

）A． B． C． D．36．（2022·高一单元测试）已知，且，，则（

）A．1 B． C． D．2二、多选题37．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）以下四种说法正确的是（

）A．=iB．复数的虚部为C．若z=，则复平面内对应的点位于第二象限D．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数38．（2022春·吉林长春·高一校考期中）若复数（为虚数单位），则下列结论正确的是（

）A． B．的虚部为C．为纯虚数 D．39．（2022·高一单元测试）下列关于复数的四个命题正确的是（

）A．若，则B．若，则的共轭复数的虚部为1C．若，则的最大值为3D．若复数，满足，，，则40．（2022春·河南周口·高一校考阶段练习）已知i为虚数单位，以下四种说法中正确的是（

）A．是纯虚数 B．若，则复平面内对应的点位于第四象限C．若，则 D．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线41．（2022·全国·高一假期作业）已知复数z满足，则下列关于复数z的结论正确的是（）A．B．复数z的共轭复数为＝﹣1﹣iC．复平面内表示复数z的点位于第二象限D．复数z是方程x2+2x+3＝0的一个根42．（2022·高一单元测试）已知（，是虚数单位），，定义：，则下列结论正确的是（

）A．对任意，都有B．若是z的共轭复数，则恒成立C．若，则D．对任意，则恒成立三、填空题43．（2023·高一课时练习）在复数范围内因式分解：______．44．（2023·高一课时练习）以下4个式子：①；②；③；④，正确的是______（写出正确编号）．45．（2023·高一单元测试）已知复数满足，且为实数，则______．46．（2023·高一课时练习）已知关于的实系数方程有一个模为1的虚根，则实数的值为______．47．（2023·高一课时练习）设有下面四个命题：是为纯虚数的充要条件；：设复数，，则在复平面内对应的点位于第四象限；：复数的共轭复数；：设是虚数，是实数，则．其中真命题的个数为______．四、解答题48．（2022春·上海青浦·高一上海市朱家角中学校考期末）已知关于的一元二次方程的两根为、．(1)若为虚数，求的取值范围；(2)若，求的值．49．（2022春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）已知复数为虚数单位．(1)若是关于的实系数方程的一个复数根，求的值；(2)若为实数，求的值．50．（2022春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）已知复数，设复数分别对应复平面上的点.定义复数.(1)若，求；(2)当点在线段上运动时，求的最大值.51．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）设复数和，其中是虚数单位，．(1)若，求的取值范围；(2)若，且和为某实系数一元二次方程的两根，求实数所有取值的集合．52．（2022春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知复数，，其中为虚数单位，．(1)当、是实系数一元二次方程的两个虚根时，求实数、的值．(2)求的值域．【答案详解】1．B【分析】由复数的加减运算求出复数z，根据模的计算求得答案.【详解】，，故选:B.2．(1)；(2)；(3)；(4).【分析】根据复数的运算法则运算即得.【详解】（1）；（2）；（3）；（4）．3．（1）；（2）.【分析】（1）由已知求得，再由虚部为求解实数的值；（2）数形结合求解的取值范围.【详解】（1）因为，，所以．又因为，所以，解得或．又因为，所以．（2）由（1）知，设，由，所以，得，而，∴，∴，故．∴，∵，∴，故．4．B【分析】设复数z在复平面内对应的点为Z，由复数的几何意义可知点的轨迹为轴，则问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值，从而即可求解.【详解】解：设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，所以在复平面内点的轨迹为轴，又表示点到点的距离，所以问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值，所以的最小值为2，故选：B.5．D【分析】由向量，结合向量减法运算得，再由复数的几何意义即可求解.【详解】由题图可知，，，∴z1＋z2－z3＝0.故选：D【点睛】本题考查复数与复平面的对应关系，向量的线性运算，属于中档题6．A【分析】先把复数化为三角形式，再根据题中的条件求出复数，利用复数相等的条件得到和的值，求出.【详解】因为，所以，设，，，则，，即，，，故.故选：A.【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的综合运算，较难.解答时要注意将、化为三角形式然后再计算.7．B【分析】利用复数和它的共轭复数的关系，以及复数的运算法则判断正误.【详解】对于(1)，设()，则，为实数等价于，也等价于，所以“为实数”的充要条件是“”，(1)正确；对于(2)，由可得，所以或，当时，易得；当时，设，则，所以，，所以，综上所述，若，则，故(2)正确；对于(3)，当，时，，，不能比较大小，(3)错误；对于(4)，当，时，，，故(4)错误.故选：B.8．(1)(2)(3)【分析】根据复数四则运算法则计算即可.【详解】（1）原式.（2）原式.（3），，，原式.9．(1)；(2)；【分析】（1）运用复数乘法及若为实数则，计算可得结果.（2）运用共轭复数及复数除法及若为纯虚数则，计算可得结果.【详解】（1）∵为实数，∴，又∵为非零实数，∴．（2）∵，∴，∴为纯虚数，∴∴m的值为2.10．A【分析】首先求出方程的复数根，即可得解；【详解】解：对于方程，因为，所以有两个虚根，即，，所以；故选：A11．C【分析】根据复数的运算法则即可求解．【详解】①；②；③④故选：C12．D【分析】先计算，再根据复数的运算法则计算代数式的值.【详解】由题，则，所以.故选：D.13．C【分析】利用求根公式和复数的模求解.【详解】解：因为复数，是关于x的方程的两个根，所以，所以或．故选：C14．A【分析】将代入到，根据复数相等的条件可得结果.【详解】依题意可得，即，所以.故选：A.15．A【分析】求出即得解.【详解】解：方程在复数范围内的两个根为，不妨设，，所以.故选：A16．D【分析】先利用复数的除法运算化简复数z，再得到共轭复数和其对应的点的坐标，判断所在的象限即可.【详解】因为z==2+i，所以z的共轭复数为=2﹣i，则在复平面上对应的点为(2，﹣1)，位于第四象限.故选：D.17．D【分析】首先求出复数，从而根据实部虚部的概念即可直接判断AC选项，然后求出的共轭复数为，结合模长公式以及复数在复平面所对应点的特征即可判断BD选项.【详解】因为，所以，所以的虚部为，故A错误；的共轭复数为，其对应的点是，在第一象限，故B错误；的实部为，故C错误；的共轭复数为，则模长为，故D正确，故选：D.18．A【分析】利用共轭复数的概念以及复数的四则运算进行计算.【详解】∵，∴，，∴解得.故B，C，D错误.故选：A.19．(1)，(2)【分析】（1）利用题给条件求得，再利用根与系数关系即可求得m，n的值；（2）先求得的表达式，再利用三角函数性质即可求得的值域．【详解】（1），是实系数一元二次方程的两个虚根，则，解之得则，，则，（2），，则，由，可得则的值域为．20．(1)(2)【分析】（1）求出，由其对应点的坐标列不等式求解；（2）也是方程的根，根据韦达定理先求得，再求得．【详解】（1）由已知得到，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以，解得，所以（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以是方程的另一个根，所以，所以，所以，所以，所以.21．(1)(2)【分析】（1）根据复数的乘法运算算出，然后可得答案；（2）对进行运算化简，然后可得答案.【详解】（1）由题意得为纯虚数，所以，所以；（2），因为在复平面内所对应的点在第二象限，所以，所以.22．D【分析】对于①②，根据平方根的定义即可判断；对于③，举反例即可排除；对于④，利用平方根的定义与复数相等的性质求得的平方根，从而得以判断.【详解】对于①，的平方根有两个，分别为和，故①错误；对于②，1的平方根是和1，故②错误；对于③，令，则是方程的一个根，但方程的另一个根是，并非，实际上，只有实系数方程的虚根才是共轭复数，故③错误；对于④，设的平方根为，则，即，故，解得或，所以的平方根为或，显然z的平方根是虚数，故④正确；综上：①②③错误，④正确，故真命题的个数为.故选：D.23．D【分析】根据复数的除法运算化简复数，再得其共轭复数，即可判断其所在象限位置.【详解】解：，所以其共轭复数为，它在复平面所对应的点坐标为，位于第四象限.故选：D.24．C【分析】先利用复数乘法化简，再利用纯虚数定义即可得到选项.【详解】又复数与（a，b，c，）的积是纯虚数，则，故选：C25．C【分析】利用二次方程的韦达定理及完全平方公式即可得解.【详解】因为方程有两个虚根和，所以，则，又由求根公式知两虚根为，，所以，则，解得，满足要求，所以.故选：C.26．B【分析】设，根据，可得，从而可将复数用表示，再判断各个选项即可.【详解】解：设，则，故，因为，所以，所以，所以或，故或，当时，，当时，，所以，所以是直角三角形，故、、三点不共线且不是等边三角形.故选：B.27．D【分析】先利用复数的运算得到，利用题意可得到，则，即可得到答案【详解】因为，所以可得，解得，所以，对应点为，位于第四象限，故选：D28．C【分析】根据式子进行变形,求出即可.【详解】解：由，得,故选：C．29．(1)或；(2).【分析】（1）利用实系数一元二次方程的求根公式解得；（2）根据复数的乘法运算及复数的模的运算可得，进而即得.【详解】（1）因为，所以，所以，所以或；（2）由，可得，当时，，所以，解得，当时，，当时，.30．(1)，(2)【分析】（1）首先根据复数的运算求解出复数，进而根据复数的模长公式求解；（2）首先将代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数，的值.【详解】（1）∵，∴．（2）由（1）可知，由，得：，即，∴，解得31．B【分析】设，由可知z对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而表示圆上的点到的距离，由此可确定的最大值．【详解】解：∵，故设，，∴，∴，故复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，∵表示圆上的点到点的距离，∴的最大值是，故选：B．32．C【分析】根据复数的运算法则，化简得到，进而得到答案.【详解】根据复数的运算法则，可得，所以，则，，，，，…，所以集合中只有3个元素．故选：C33．D【分析】根据i是方程的根，代入求解.【详解】解：因为i是方程的根，所以．故选：D34．A【分析】由复数的乘方运算化简复数z，再判断对应点所在的象限即可.【详解】，故复数在复平面内对应的点为，位于第一象限．故选：A35．C【分析】设，且，利用得，模长为1得，求出后可得.【详解】设，因为在复平面对应的点位于第一象限，所以，由得，因为复数z的模长为1，所以，解得，所以，.故选：C.36．B【分析】设，则，再由可得，从而可求出.【详解】设，则，，因为，所以，因为，所以，所以，所以，故选：B.37．ABD【分析】利用复数的乘方运算计算判断A，C；利用复数的意义判断B；利用复数的几何意义判断D作答.【详解】对于A，，A正确；对于B，复数的虚部为，B正确；对于C，，则，复平面内对应的点在y轴负半轴上，C不正确；对于D，复平面内，实轴上的点对应的复数是实数，D正确.故选：ABD38．ACD【分析】由的幂运算的周期性可求得；根据复数模长、虚部定义、乘方运算和共轭复数定义依次判断各个选项即可.【详解】；对于A，，A正确；对于B，由虚部定义知：的虚部为，B错误；对于C，为纯虚数，C正确；对于D，由共轭复数定义知：，D正确.故选：ACD.39．ACD【分析】根据复数模、共轭复数的积运算即可判断A，由复数除法的运算及共轭复数、虚部的概念判断B，根据复数模的几何意义及圆的性质判断C，利用复数的加减运算、模的运算求解可判断D.【详解】设，对A，，，故正确；对B，，所以，，其虚部为，故错误；对C，由的几何意义，知复数对应的动点到定点的距离为1，即动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，表示动点到定点的距离，由圆的性质知，，故正确；对D，设，因为，，所以，又，所以，所以，所以，故正确.故选：ACD40．CD【分析】A.由是实数判断；B.化简，再利用复数的几何意义判断；C.由判断；D.令，由求解判断.【详解】是实数，故A错误；因为，所以，所以复平面内对应的点位于第三象限，故B错误，若，则，故，故C正确，令，则，所以，化简得，所以，所以z在复平面内对应的点的轨迹为直线，故D正确，故选：CD41．ABC【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个选项得答案．【详解】由，得．；，复平面内表示复数的点的坐标为，位于第二象限；，复数不是方程的一个根．故选：ABC．42．BD【分析】利用共轭复数及复数的减法法则，结合新定义逐一计算即可求解.【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，，则，则，故B正确；对于C，若，则错误，如，满足,但，故C错误；对于D，设，则，，，由，，得恒成立，故D正确．故选：BD．43．或【分析】将式子变形，构造出平方差形式在因式分解.【详解】因为，所以①，②，故答案为：或.44．①③④【分析】根据复数的乘法和除法运算，分别证明等式.【详解】设，，，所以，，所以，故①正确；因为，当时，所以，当时，不成立，故②错误；设，，，不同时为0，，所以，，所以，故③正确；，所以，，所以，故④正确.故答案为：①③④45．或或．【分析】设复数，根据实数共轭的性质可得，化简得，进而分类讨论即可代入求解.【详解】设化简得解得或将代入可得，（1）当时，即则有，此时（2）当时，则，故有则有或综上所述故或或．故答案为：或或．46．【分析】根据实系数一元二次方程有虚根的性质，结合判别式、根与系数关系、复数与其共轭复数乘积的关系，可以求出结果.【详解】因为关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，所以方程的判别式小于零，即或，由已知两根是互为共轭的虚根，设为，而由题意可知：，由根与系数的关系可