2023年上海市高考数学考前20天复习-08 解析几何小题综合教师版

08解析几何小题综合

一、填空题

1.（2023•上海•统考模拟预测）双曲线Y-'=]的焦点为_________.

4

【答案】旧后,0）

【分析】根据双曲线的方程求4,b,c,进而可得焦点坐标，注意焦点所在的位置.

【详解】由题意可得：a=l,b=2,c=4J^=5且双曲线的焦点在X轴上，

故双曲线/-f=ι的焦点为（土石,0）.

故答案为：（±6,0）.

22

2.（2023•上海嘉定•统考二模）双曲线上-X=I的离心率为.

97

【答案】I4

【分析】由双曲线的性质求解.

【详解】双曲线《一¢=1的离心率为e=£=妤Z=±

97ɑ√93

4

故答案为：—

3.（2023•上海浦东新•统考二模）双曲线C：£-£=l的右焦点产到其一条渐近线的距

24

离为.

【答案】2

【分析】求出右焦点和渐近线方程，由点到直线距离公式求出答案.

【详解】C<-]=l的右焦点为F（苑0）,渐近线方程为y=±√∑r,

不妨取y=√∑x,则右焦点尸到其一条渐近线的距离为"=Mζgq=2.

√l+2

故答案为：2

4.（2023•上海静安•统考二模）已知41,2）,B（6,-l）两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，

则椭圆的标准方程为.

【答案】ll+∏^1

^2~3

【分析】讨论焦点在X轴和在y轴上两种情况，设出椭圆的标准方程，再利用条件建立

方程组，求出。力，即可得到结果.

22

【详解】当焦点在X轴上一时，设椭圆的标准方程为三+与=l(α>b>O),

ab

I

，+-

a2-π

2

得

解

11一-

又因(百,-在椭圆上,所以■-=

A(l,2),81)3»32

+-

一-

2

4

此时，a<b,故舍弃.

当焦点在V轴上时，设椭圆的标准方程为与+1=1(">人>0)，

a-b~

41

-+=

2π

«2-

又因B(G,-1)在椭圆上，所以<2=

A(l,2),1⅛33

/+F=

的标准方程为亘+亘=L

7T

Z+^i-ι1

故答案为：π+ττ-.

ɪτ

5.(2023•上海青浦•统考二模)过点P(l,-3)与直线x+√5y+l=O垂直的直线方程为

【答案】√3x-y-3-√3=()

【分析】设所求直线方程为&-y+c=O,将点P的坐标代入所求直线方程，求出C的

值，即可得出所求直线的方程.

【详解】设所求直线方程为√Ir-y+c=O,将点P的坐标代入所求直线方程可得

ʌ/ɜ+3+c=0,

解得C=-3-右,

故所求直线方程为百x-y-3-百=0.

故答案为：y∣3x—y—3—∖∣3-0.

6.(2023•上海崇明•上海市崇明中学校考模拟预测)若抛物线V=2px的焦点恰好是椭

圆上+上=1的右焦点，贝1」。=.

51

【答案】4

【分析】由题意可得当=2,求解即可得出答案.

【详解】抛物线V=2px的焦点为

椭圆片+]∙=1的右焦点为：（2,0）,

所以5=2,解得：p=4.

故答案为：4.

7.（2023•上海静安•统考一模）若直线x+2y+3=0与直线2x+my+10=0平行，则这两

条直线间的距离是.

【答案】^∕f√5

【分析】运用两宜线平行求得，〃的值，再运用两平行线间的距离公式可求得结果.

【详解】由直线x+2y+3=0与直线2x+，致+10=0平行，

可知加一2x2=0,即〃2=4,

故直线2x+ay+10=。为2x+4y+10=0,

直线x+2y+3=0变形得2x+4y+6=0,

610

故这两条直线间的距离为d=I~∣=竺，

√22+425

故答案为：野.

8.（2023•上海普陀•统考二模）设斗鸟为双曲线「:£-4=1（。>0）左、右焦点，且「的

a~9

离心率为石，若点M在「的右支上,直线耳”与「的左支相交于点N,且周=IMNI,

则恒NI=.

【答案】3

【分析】根据双曲线的离心率公式求出。，再根据双曲线的定义即可得解.

【详解】由「的离心率为逐，

得/ʌFJ=B解得.=|，

由点M在「的右支上,得IM制-1M闾=2α=3,

又因IMEI=IMZV∣,

所以IglTMKI=I峥|—|M?V|=3,即帆N∣=3.

故答案为：3.

9.（2023•上海崇明•上海市崇明中学校考模拟预测）记双曲线C：W-1=l（a>0,b>0）的

a-b-

离心率为e,若直线y=2x与C无公共点，则，的取值范围为.

【答案】（1,石］

【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线y=±2χ中0<々42即可求得e的取值范围.

aa

【详解】C：U=l（a>0力>0）,所以C的渐近线方程为y=±%

结合渐近线的特点，只需0<±≤2,即与≤4,

aa

可满足条件“直线V=2x与C无公共点”.

所以e=£=Jl+ʒ≤Jl+4=ʌ/ʒ»

aNa~

又因为e>l,所以l<e≤√5.

故答案为：（1,√5］

22

10.（2023•上海奉贤•统考二模）设圆/+y2-2x-4y+4=0与双曲线「-马=1的一条

ab

渐近线相切，则该双曲线的渐近线方程为.

3

【答案】犬

4

【分析】由题可知渐近线到圆心距离等于圆半径，据此可得答案.

【详解】设双曲线渐近线方程为：>=丘，

X2+y2-2x-4y+4=0=>（x-l）2+（γ-2）2=1,则圆心坐标为（1,2）,半径为］.

|2-攵|3

因圆与渐近线相切，则圆心到切线距离等于半径，即」/I=I=Z=:.

“2+14

33

则双曲线的•条渐近线方程为y=Jχ,另一条渐近线方程为了二-；工

44

3

故答案为：y=?-X

4

11.（2023•上海闵行•统考二模）已知抛物线C∣:∕=8x,圆C2:点

M的坐标为（4,0）,P、Q分别为G、C2上的动点，且满足IPM=IP0,则点P的横坐

标的取值范围是.

'715'

【答案】ɔv

OZ_

【分析】求出圆G的圆心、半径，设出点P的坐标，利用圆的性质得出

∣PC2∣-1≤∣PQ∣≤∣PC2∣+1,结合已知建立不等式，求解作答.

【详解】圆c”(χ-2)2+y2=l的圆心G(2,0),半径r=l,设点气，，S),有./=8,

依题意，I尸GlT≤∣?Q∣≤∣PC2∖+∖,当且仅当R。,G三点共线时取等号，而IPMl=IPQI,

2222

即有IPGIT≤∣?M∣≤∣PGI+1，于是√(∕-2)+?-1≤√(r-4)+?≤y∕(t-2)+s+1,

即J(f一2)2+8—I≤J(f一4)2+8≤J(f—2)2+8/+1，整理得r+1≤J产+16≤,+3，解得

7//5

-≤r≤-,

62

715

所以点P的横坐标的取值范围是

62

故答案为：

62

12.(2023•上海徐汇•统考二模)已知双曲线£一卫=1(。＞0力＞0)的左焦点为Z7(TO),

a~h

3

过尸且与X轴垂直的直线与双曲线交于A、8两点，。为坐标原点，一AoB的面积为a，

则尸到双曲线的渐近线距离为.

【答案】@/!石

22

【分析】取x=-c,解得y=±以，根据面积得到匕且=3,解得渐近线方程，再根据

aa2

点到直线的距离公式计算得到答案.

【详解】取X=-C,则＜-W=l,解得y=±Q,故％∙=∙Lχ竺Ixc=5=3,

Crba2aa2

即k≤=3,解得〃或a=—2(舍)，b=B,

a222

不妨取渐近线方程为y=Gx,即Gr-y=0,尸到渐近线的距离为上里=立.

√l+32

故答案为：曲

2

13.(2023•上海•统考模拟预测)己知椭圆5+3=G>0)与双曲线*∙-V=l(α>0)有

公共的焦点，尸为右焦点，。为坐标原点，双曲线的一条渐近线交椭圆于尸点，且点P

在第一象限，若OPLFP,则椭圆的离心率等于.

【答案】B

2

【分析】ɑ)联立直线方程OP和口，求得点尸的坐标，然后将点尸代入椭圆方程

工+[=1仅>0),化简整理，即可求得本题答案.

【详解】设椭圆的右焦点为F(c,0),依题意可得¢2=4-/=/+1,

双曲线∕∙-y2=l(α>0)的一条渐近线为y=?,

因为QP_LFP,所以尸P:y=rz(x-c),

+1,即

a,解得,P乂点P在椭圆匕

tz2+Γ«2+1

γ=-a(%-c)

即4,2+I)?(“2+1J/

4b2

BPfo6-2⅛4-ll⅛2+12=0,ep⅛6-⅛4-(⅛4+ll⅛2-12)=0,

ap⅛4(⅛2-l)-(⅛2-l)(⅛2+12)=0,BP(⅛2-l)(⅛4-⅛2-12)=0,

Ep(⅛2-l)(⅛2+3)(⅛2-4)=0,解得＞=1或从=4(舍去)，

所以椭圆方程为=+y2=l,则c=G,所以椭圆的离心率e=3.

42

故答案为：2

14.(2023•上海黄浦•统考一模)已知曲线C∕y=√i=？与曲线G:y=√Ξ二/，长度为

1的线段AB的两端点4B分别在曲线C、C2上沿顺时针方向运动，若点A从点(-1,0)

开始运动，点B到达点(3,0)时停止运动，则线段AB所扫过的区域的面积为.

【答案】T3TT《3开

OO

【分析】根据己知条件知，曲线G与曲线g是两个半圆，分别求出起点、终点处时A、

8的坐标，可得线段AB扫过的面积，进而通过三角形面积公式及扇形面积公式计算可

得结果.

【详解】设A、4分别为A、8点的起点，A2、区分别为A、8点运动的终点，则图中

阴影部分即为线段A8扫过的面积.如图所示，

则A(-1,O),β,(√2,0),设BIa,%),A2(x2,J2),

曲线CI方程：y=JI-X2z≠>X2+y2=l(y≥0)>

曲线G方程：y=√2-X2=>X2+y2=：2(y≥0)>

,即：βl(-i,ɪ),

9=√2正

2骂

22Γ

J2+(Λ⅛-√2)=1Π

心

巨

1ΛI(—,22

斗=2

记SG为圆元2+V=I的面积，Sq为圆f+V=2的面积，SA%为。4与A。、A片围

成的面积，S2F为A2尸与反尸、人4围成的面积，Sl为上半圆环的面积，S为线段A8

扫过的面积.

l

WJ5.=∣(5c,-Sc,)=i(2π-π)=lπ,

2^22

因为A4=1,OA=1,o耳=O,所以442+042=0叶，所以。A1J.44,所以

ZA1OB1=45°,

所以SAM=S。皿一S△佻4=1Sq-gxlxl=：_；

又因为&与=1,OA2=IfOB2=√2,所以所以N4O5L45°,

1π

,听以^ABF=S△佻%

222-81

3π

所以S=S]-S^DB∖-SABF~

I28)T

故答案为：

O

22

15.(2023•上海长宁•统考二模)已知小鸟是双曲线「:二■一与=l(α>0∕>0)的左、右

Crb~

焦点，/是『的一条渐近线，以人为圆心的圆与/相切于点P,若双曲线「的离心率为2,

则SinNP斗耳=.

【答案】叵

14

【分析】以居为圆心的圆与/相切于点P,P用，/,所以由点到直线的距离求出IP6|=。，

√31‰2-Pξ2

由余弦定理可得COSNPEK,求出PF,再由余弦定理求出COSNP百巴,

2一8√3Λ22

即可求出sinNPEE的值.

【详解】设双曲线n*∙-g=l(a>O,b>O)的一条渐近线为/:6Xf=。,

则F(Go)到直线l：bx-ay=O的距离为=b,

2f

因为以K为圆心的圆与/相切于点P,PF2-Ll,所以归周=b,

又因为双曲线r的离心率为2,所以£=2,则C=2α,b=岛，

a

在RtPgO中，COSNPF述上=巫=立,

c2a2

“DLLZL也bλ+Ac2-PF;19/-Pk

在；PF2F1,cosZPF,F∖=+=---------——J=——=L,

24bc8√3Ω2

解得：Pk=7/,

PF2÷4C2-b25∖∣7

由余弦定理可得：CoSNPKE=C—=T-，

2PFc2c14

_____________国

所以SinN尸耳片=JI-CoS2/尸耳κ二昔.

故答案为：叵.

14

16.(2023•上海普陀•统考二模)设x、yeR,若向量”,人c满足。=(3),力=(2,y),

c=(l,D,且向量α-6与C互相平行，则∣α∣+2g∣的最小值为______.

【答案】3√5

［分析］由向量平行的坐标表示可得X+y=3,在坐标系中a=OA=(x,l),

2⅛=C>D=(4,6-2X),将。按向量a平移至C,根据C轨迹为直线2x+y-15=0,将问

题化为卜1+2忸Ho4∣+∣A4最小，数形结合法求原点到直线距离即可得结果.

【详解】由α-6=(x-2,l-y),又向量α-方与C互相平行，

所以x-2=l-y,故x+y=3,

令α=0A=(x,l),b=OB=(2,3-x),则2b=0。=(4,6-2x),

所以A(X,1),以4,6-2x),将〃按向量d平移至C(4+x,7-2x),

所以C是直线2x+y-15=0上的动点，如下图示，

所以26=OO=AC,故∣H+2W=∣OA∣+∣AC∣,

由图知：要使IaI+21bI最小，只需O,A,C三点共线且O到直线2x+y-15=0距离最短,

故I0I+21/71最小值为原点到直线2x+y-15=O的距离，最小值为d=上雪=3&,

√22+l2

此时题设中的42,)=1.

故答案为：3石

【点睛】关键点点睛：找到26=0。的O,并将其平移至C使%=OO=AC,即有

向+2W=IOAl+∣AC∣,问题化为求点到直线距离.

二、单选题

17.(2023•上海黄浦•统考一模)在平面直角坐标系XOy中，“机＜0”是“方程Y+H√=1

表示的曲线是双曲线''的()条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不

必要

【答案】C

【分析】由双曲线方程的特征计算得，”的范围，再由集合的包含关系可得结果.

【详解】•••/+叫2=[表示双曲线，

m<0.

'∙m<O^,x2+my1=1表示双曲线的充要条件.

故选：C.

18.(2023•上海黄浦•统考二模)若直线(α-l)x+y-l=O与直线3x—冲+2=0垂直，则

实数〃的值为()

A.ɪB.-C.-D.-

2244

【答案】B

【分析】根据两条直线垂直的条件列出等量关系式，求得•的值.

【详解】直线伍-l)x+y-l=O与直线3x—αy+2=O垂直，

3

则3(α-l)+lx(-a)=0,解得

2

故选：B.

19.(2023•上海奉贤•统考二模)“〃=2”是“直线y=-Ox+2与y=Nχ-l垂直”的

4

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不

必要条件

【答案】A

【详解】试题分析：两直线垂直，所以-α∙==TM=±2,所以是充分不必要条件.

4

考点：充要条件.

20.(2023•上海•统考模拟预测)已知点P(CoSaSin。)在直线0r-y+3=O上.则当。变化

时，实数4的范围为()

A.[-2√2,2λ^]B.(-∞,-2√2]θ[2√2,+∞)

C.[—3,引D.(~∞,-3][3,-bɔo)

【答案】B

【分析】由题可得Sine-acoSe=JFT∕sin(e-e)=3,然后利用三角函数的性质可得

√iT7≥3-即得•

【详解】•••点P(CoSasin。)在直线以-y+3=0上，

.,.acosd-Sine+3=0,

.**Sine-αcos6=Ji+4?sin(6-e)=3，其中tan。=。，

Vsin(^-^)≤1,

,∙∖∣l+a2≥3，即/≥8,

解得a<-2√2或4≥2√2.

故选：B.

->2

21.(2023•上海闵行•上海市七宝中学校考模拟预测)己知椭圆W+4=l(α>%>0)的左

ah^

右焦点分别为耳,尸2,椭圆存在一点尸，若NKP乙=120,则椭圆的离心率取值范围为

B∙i)

D∙骤

【答案】C

【分析】设IPlI=4,IP舄1=4,根据椭圆的定义和余弦定理得4。2-4/=楂，再根据

基本不等式和离心率公式可得结果.

【详解】设I尸耳1=4，∣Pgl=4,则4+4=2。,

在△耳尸心中，cosl20=yi,

2化

所以4+万一牝?=-rlr2,

2

所以(4+W)?-2rlr2-4c=-rlr2,

所以4∕-4c∙2=/，

因为2α=∕j+4≥2λ∕^^,当且仅当4=4=α时，取等号,

所以饪≤/,

所以4α2-4c2≤.2,所以3∕44C2,

所以∙4≥3,所以e=又0<e<l,

a24a2

所以走≤e<l.

2

故选：C

22.(2023•上海松江•统考二模)已知直线∕∣：办+)+1=0与直线4"+&y-2=0,则“"/夕，

是"α=l''的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】由〃〃2,求得。=±1，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由题意，直线∕∣：ar+y+l=0,直线4:x+ay-2=0,

因为//〃2，可得αxα=lxl,a≠-2,B∣J=1,解得4=±l,

所以“I川J是Ua=1”的必要非充分条件.

故选：B.

23.(2023•上海•统考模拟预测)双曲线T的焦点仕c∙,()),圆

C√x-c)2+y2=r2(r>0,c>0),则()

A.存在J使对于任意r，C与T至少有一个公共点

B.存在c,使对于任意厂，C与T至多有两个公共点

C.对于任意，I存在c,使C与r至少有两个公共点

D.对于任意广，存在J使C与T至多有一个公共点

【答案】C

【分析】联立方程可得c2χ2-2∕cχ+α4-α2户=0,构建“χ)=C2"—勿26+“4-42,2,

根据二次函数讨论/(x)在[c-r,c+r]上的零点分布，并结合对称性分析C与7的交点

个数.

-)2

【详解】设双曲线方程为：--^-=l(a>b>0),

,2

三一21=1

联立方程从一,消去得2∕cχ+∕-∕∕=o,

(X-Cy+y2=r2

由圆C:(X-C)?+y2=/可知：X的取值范围为小一"+",

222422

构建/'(X)=cx-2acx+a-ar9x∈[c-r,c+r],

则/(x)的对称轴X=—<c<c+r

cf

且/(c-r)=Z?2[(r-Cy-6Z2^j,∕f—--cτr2^<O,∕(c+r)=⅛2^r2+2c,r+Z?2)>O,

/(r)<°h2

当Va2即c-α<r≤2■时/(x)有且只有一个零点与£(。-3+一)，

c-r≥—c

/(c-r)=0

当,2即F=""时/(x)有且只有一个零点XO=C-a.

c-r≥a—

/(c-r)>O

当,cr即0<rvc-α时/(x)无零点.

c-r≥—

/(c-r)>O

当，“2即r>c+α时/(x)有且只有两个零点陶,xe(c—r,c+r).

c-r<—l

/(c-r)=O

当(a2即r=c+α时/(x)有且只有两个零点∙⅛=c+α,x∣∈(c-r,c+r)°

c-r<—

f(c-r)<O

当｛cr即2<r<c+α时有且只有一个零点与e(c-r,c+∕∙)∙

c-r<—c

、c

注意到当r=c-α,C与T的交点坐标为(c-a,0),当r=c+α时，C与T的交点坐标有

(c+α,0),即会出现交点在对称轴匕结合C与T的对称性可得：

当O<r<c-a时，使C与T没有公共点；

当r=c-α时，使C与T有且仅有一个公共点；

当c-α<r<c+α时，使C与T有两个公共点；

当r=c+α时，使C与f有三个公共点：

当r>c+α时，使C与T有四个公共点.

对A：存在J使对于任意r