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文档简介

第03讲等比数列(4个知识点+方法练+创新练+成果练)【目录】【新知讲解】知识点1.等比数列的概念知识点2.等比数列的前n项和公式知识点3.等比数列的前n项和及其应用知识点4.等比数列前n项和的综合应用【方法练】【创新练】【成果练】【知识导图】【新知讲解】知识点1.等比数列的概念等比数列的概念1.定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0).2.递推公式形式的定义:eq\f(an,an-1)=q(n∈N*且n>1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(an+1,an)=q,n∈N*)).等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,此时,G2=ab.等比数列的通项公式若等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则an=a1qn-1(n∈N*).等比数列通项公式的推广和变形等比数列{an}的公比为q,则an=a1qn-1①=amqn-m②=eq\f(a1,q)·qn.③其中当②中m=1时,即化为①.当③中q>0且q≠1时,y=eq\f(a1,q)·qx为指数型函数.等比数列的常用性质设数列{an}为等比数列,则:(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an.(2)若m,p,n成等差数列,则am,ap,an成等比数列.(3)在等比数列{an}中,连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列.(4)若{an}是等比数列,公比为q,则数列{λan}(λ≠0),eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an))),{aeq\o\al(2,n)}都是等比数列,且公比分别是q,eq\f(1,q),q2.(5)若{an},{bn}是项数相同的等比数列,公比分别是p和q,那么{anbn}与eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也都是等比数列,公比分别为pq和eq\f(p,q).例一、单选题1.(2022上·福建泉州·高二统考期末)已知数列为等比数列,若,则数列的公比为(

)A. B. C.2 D.4【答案】B【分析】根据给定条件,利用等比数列通项列式计算作答.【详解】设等比数列的公比为,由,得,而,解得,所以数列的公比为.故选:B例二、多选题2.(2020上·海南海口·高三校考阶段练习)已知数列满足,,设,则下列结论正确的是()A.B.是首项为1,公比为2的等比数列C.D.【答案】BD【分析】A.根据递推公式求解出的值;B.将递推公式变形为结合的值进行判断;C.根据以及的值计算出结果;D.先求解出的通项公式,然后根据求解出的通项公式.【详解】A.因为,,所以,所以,故错误;B.因为,所以,所以,所以,且,所以是首项为,公比为的等比数列,故正确;C.因为,,所以,故错误;D.因为,所以,所以,故正确;故选:BD.【点睛】方法点睛:证明数列为等比数列的常用方法:(1)定义法:证明为非零常数;(2)等比中项法:证明或;(3)通项公式法或前项和公式法:根据公式的形式进行判断.例三、填空题3.(2021上·广西桂林·高二校考期中)已知是2和4的等差中项,正数是和的等比中项,则等于.【答案】12【分析】根据等差中项以及等比中项的概念求得,即可得答案.【详解】因为是2和4的等差中项,故,正数是和的等比中项,故,所以,故答案为:12例三、解答题4.(2023上·湖北·高二期末)已知数列的首项,且满足(1)求证:数列为等比数列;(2)证明:数列中的任意三项均不能构成等差数列.【分析】(1)根据已知有,由等比数列定义判断即可;(2)设数列的通项为,假设,,为数列中的任意三项能构成等差数列,应用等差中项列方程,根据两侧奇偶性得到矛盾,即可证.【详解】(1)由,得,可得,由可得,故,故,所以数列是首项为,公比为的等比数列.(2)设数列的通项为,则,设,,为数列中的任意三项,易得,若这三项若能构成等差数列,只能是,所以,此式的左边为偶数,右边为奇数,所以数列中的任意三项均不能构成等差数列.5.(2024上·上海·高二校考期末)已知数列中,,其前项和为,且.(1)若是等比数列,,求通项公式;(2)若,求;(3)若是等差数列,对任意的且.都有,求其公差的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)由题意求出公比和,即可得到结果;(2)根据题意,由条件可得,再由等差数列的求和公式,结合分组求和法,代入计算,即可得到结果;(3)由题意可得对任意的且成立,即对任意的且成立,分分别求解,即可得到结果.【详解】(1)因为是等比数列,,,所以数列的公比,所以,即,解得,,所以.(2)因为,则,两式相减可得,又,则,,,当为奇数时,数列是以3为首项,3为公差的等差数列,当为偶数时,数列是以1为首项,3为公差的等差数列,则(3)因为是等差数列,所以公差,则,所以,对任意的且成立,即对任意的且成立,所以对任意的且成立,当时,,当时,恒成立,又因为,所以,综上所述,.知识点2.等比数列的前n项和公式等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式Sn=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11-qn,1-q)q≠1,,na1q=1))Sn=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1-anq,1-q)q≠1,,na1q=1))例一、单选题1.(2021·高二课时练习)已知等比数列的前项和,则(

)A.1 B. C. D.【答案】C【分析】根据题意,由公式求出、、的值,由等比数列的定义分析可得答案.【详解】解:根据题意,等比数列的前项和,则,,,则有,解得,故选:.【点睛】本题考查等比数列的前项和公式,涉及等比数列的定义,属于基础题.例二、多选题2.(2023下·广东佛山·高二校联考阶段练习)在一次《数列》的公开课时,有位教师引导学生构造新数列:在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的数列,再把所得数列按照此方法不断构造出新的数列.下面我们将数列1,2进行构造,第1次得到数列;第2次得到数列;第次得到数列记,数列的前项为,则(

)A. B.C. D.【答案】AC【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果,寻找规律,再进行推理运算即可.【详解】由题意可知,第1次得到数列1,3,2,此时第2次得到数列1,4,3,5,2,此时第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2,此时第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,此时第次得到数列1,,2此时,故A项正确;结合A项中列出的数列可得:用等比数列求和可得则又所以,则,故B项错误;由B项分析可知,故C项正确.,故D项错误.故选:AC.例三、填空题3.在数1和100之间插入n个实数,使得这个数构成递增的等比数列,将这个数的乘积记作,再令.则数列的通项公式为.【答案】,【分析】记这个数构成递增的等比数列为,则由,,可得到,将化简后代入即可得出答案.【详解】记由个数构成递增的等比数列为,则,,则,即所以,即故答案为:,.例四、解答题4.(2023上·甘肃白银·高三校考阶段练习)已知等比数列的前n项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据等比数列的通项公式及前项和公式进行计算即可;(2)利用错位相减法求解即可.【详解】(1))设等比数列的公比为,因为,所以,则,解得,所以数列的通项公式.(2)所以,则,两式相减,得则.5.(2023上·黑龙江牡丹江·高二校考期末)已知为数列的前项和,且,若,,是的前项和,求.【答案】【分析】首先利用公式,化简等式,得到,再得到,两式相减后,可判断数列是等差数列,求得数列的通项公式,再利用裂项相消法求和.【详解】因为,①所以,,②①②相减得,所以,③所以,④④③得,,所以所以,所以为等差数列,因为,所以,又,所以数列的公差,所以,,所以.知识点3.等比数列的前n项和及其应用1.数列{an}为公比不为-1的等比数列(或公比为-1,且n不是偶数),Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍构成等比数列.2.若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+qnSm(n,m∈N*).3.若{an}是公比为q的等比数列,S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,则:①在其前2n项中,eq\f(S偶,S奇)=q;②在其前2n+1项中,S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1=eq\f(a1+a2n+1q,1--q)=eq\f(a1+a2n+2,1+q)(q≠-1).例一、单选题1.(2023上·湖南永州·高二统考期末)如图,瑞典数学家科赫在年通过构造图形描述雪花形状.其作法是:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边.反复进行这一过程,就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为,则图④中图形的面积为(

)A. B. C. D.答案:1.A【分析】设图①、②、③、④中正三角形的边长分别为、、、,图形面积依次记为、、、,图形分别记为、、、,图形的边数分别记为、、、,易得,,,利用累加法可求得的值.【详解】设图①、②、③、④中正三角形的边长分别为、、、,图形面积依次记为、、、,图形分别记为、、、,图形的边数分别记为、、、,观察图形可知,且,,且,由题意可知,数列是首项为,公比为的等比数列,则,数列是首项为公比为的等比数列,,由图可知,图形是在图形的每条边上生成一个小三角形(去掉底边),共增加了个边长为的正三角形,所以,,由累加法可得.故选:A.例二、多选题2.(2021·高二课时练习)(多选)将个数排成n行n列的一个数阵,如图:该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中).已知,,记这个数的和为S,则(

)A. B.C. D.答案:ACD【分析】根据等差数列等比数列的通项公式计算判断AB,分别按行、列由等差等比数列计算可判断C,采用分组求和的方法计算可判断D.【详解】由,,得,所以或(舍去),故A正确;,故B错误;,故C正确;故D正确.故选:ACD.例三、填空题3.(2022下·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期末)已知等比数列,首项,公比为,前项和为;则.答案:【分析】根据等比数列求和公式直接计算即可.【详解】由已知得,故答案为:.4.(2023·贵州毕节·校考模拟预测)已知数列为等比数列,其前项和为,若,则,.答案:【分析】根据对数运算法则和等比数列的性质得到,结合真数大于0,求出和.【详解】,故,由真数大于0可得,,即,又,故,所以,又,所以,即.故答案为:,例四、解答题5.(2021下·高一课时练习)化简i+2i2+3i3+…+100i100.答案:50-50i.【分析】利用错位相减法、等比数列求和公式以及复数的四则运算求解.【详解】设S=i+2i2+3i3+…+100i100,①所以iS=i2+2i3+…+99i100+100i101,②由①-②得(1-i)S=i+i2+i3+…+i100-100i101==0-100i=-100i.所以S=.所以i+2i2+3i3+…+100i100=50-50i.知识点4.等比数列前n项和的综合应用等比数列前n项和在几何中的应用及等比数列前n项和的实际应用1.解应用问题的核心是建立数学模型.2.一般步骤:审题、抓住数量关系、建立数学模型.3.注意问题是求什么(n,an,Sn).注意:(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性:设数列,判断数列,解题完毕要作答.(2)在归纳或求通项公式时,一定要将项数n计算准确.(3)在数列类型不易分辨时,要注意归纳递推关系.(4)在近似计算时,要注意应用对数方法,且要看清题中对近似程度的要求.例一、单选题1.在各项均为正数的等比数列中,,成等差数列,是数列的前项的和,则()A.1008 B.2016 C.2032 D.4032【答案】B【分析】设等比数列的公比为,根据等差中项的性质,结合基本量的方法可得,再根据等比数列的前项的和公式求解即可【详解】设等比数列的公比为,因为成等差数列所以,故,因为,解得.所以,故选:B例二、多选题2.(2023下·高二课时练习)下列结论不正确的是(

)A.若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数,则这个数列是等差数列B.等差数列的前项和公式是常数项为的二次函数.C.等比数列的前项和为,则、、仍成等比数列D.如果数列的前项和为,则对,都有【答案】BC【解析】根据等差数列的定义可判断A选项的正误;取可判断B选项的正误;取,为偶数可判断C选项的正误;利用与的关系可判断D选项的正误.【详解】对于A选项,根据等差数列的定义可知A选项正确;对于B选项,对任意,,则数列为等差数列,且该数列的前项和,B选项错误;对于C选项,若等比数列的公比,且当为正偶数时,则,所以,,此时,、、不成等比数列,C选项错误;对于D选项,对任意的,,可得,D选项正确.故选:BC.例三、填空题3.(2022上·高二单元测试)已知数列满足,设,为数列前n项和,若(为常数),则最小值为.【答案】【分析】由前项和与通项的关系可求得,再利用错位相减法即可求得.【详解】时,,因为①所以②得:,即(),不符合,所以,,所以③④得:.化简得:,因为,所以的最小值是.故答案为:.4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为里,后三天一共走里.【答案】19242【分析】题意为这六天中每天走的路程是公比为的等比数列,共6项,项的和为378,求数列的首项和后3项的和.【详解】由题可知这六天中每天走的路程是公比为的等比数列,设第一天走里,则,解得,即该人第一天走的路程是192里;后三天共走了(里).故答案为:192;42.【点睛】本题考查数学文化、等比数列的概念及其求和.理解题意,并掌握等比数列求和公式是解题关键.例四、解答题5.(2024·四川自贡·统考一模)已知数列的前顶和为.且.(1)求数列的通项公式;(2)在数列中,,求数列的前项和.【答案】(1)(2),【分析】(1)利用求通项公式;(2)转化为等差数列、等比数列,分组求和.【详解】(1)当时,可得:;当时,,,两式相减,得:,即,所以:.(2)当时,;当时,,所以,所以:,时,,上式也成立.所以:,【方法练】一、单选题1.(2021·高二课时练习)已知数列为等比数列,,,且第项至第项的和为112,则的值为(

)A.11 B.12 C.13 D.14【答案】B【分析】根据等比数列的求和公式建立方程,解之可得答案.【详解】解:由已知,得,即,则,解得,所以,故选:B.2.(2023·山西·统考二模)已知等比数列的前项和,满足,则(

)A.16 B.32 C.81 D.243【答案】A【分析】根据,作差得到等比数列的公比为,再求出,最后根据等比数列的通项公式计算可得.【详解】等比数列的前项和为,且,∴,∴,∴,故等比数列的公比为.在中,令,可得,∴,则.故选:A.二、多选题3.(2023·福建·统考一模)记正项等比数列的前n项和为,则下列数列为等比数列的有(

)A. B. C. D.【答案】AB【分析】根据等比数列的定义和前n项公式和逐项分析判断.【详解】由题意可得:等比数列的首项,公比,即,对A:,且,即为等比数列,A正确;对B:,且,即为等比数列,B正确;∵,则有:对C:,均不为定值,即不是等比数列,C错误;对D:,均不为定值,即不是等比数列,D错误;故选:AB.4.(2021上·江苏苏州·高二统考期中)已知等比数列的各项均为正数,其前项和为,若,且存在两项,,使得,则(

)A. B. C. D.【答案】BD【分析】先由求出公比,再由,求出和的关系式,然后结合等比数列的定义和求和公式逐项判断即可.【详解】解:设等比数列的公比为,且因为,即化简得:解得:或(舍去)对A,因为,所以,故A错误;对B,,故B正确;对C,因为,即,化简得:,又解得,当,时,,故C错误;对D,由C知,,故D正确.故选:BD.三、填空题5.(2022上·湖南郴州·高二统考期末)各项均为正数的等比数列的前n项和为,满足,,则.【答案】【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式,即可得到答案.【详解】由题意各项均为正数的等比数列得:,故答案为:6.(2022上·广西柳州·高三校联考阶段练习)已知正项等比数列,其前项和为,满足,.若不等式对一切正整数恒成立,则实数的取值范围为.【答案】【分析】根据题意,求出等比数列的通项公式,进而得到该等比数列的前项和,把不等式整理成,根据,分离参数,可得对一切正整数成立,然后研究的最小值,即可得到答案.【详解】因为,,设等比数列公比为,可得,所以.不等式化为,所以对一切正整数成立,,当且仅当,即时等号成立,所以.故答案为:四、解答题7.(2023上·河北沧州·高三校联考阶段练习)已知数列是公比为2的等比数列,数列是等差数列,.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1),.(2)【分析】(1)根据等差、等比数列公式法求出通项;(2)利用等比数列前项和公式以及裂项相消法求出结果.【详解】(1)设数列的公差为,则解得所以,.(2),则.8.(2023·全国·模拟预测)对于数列,,的前n项和,在学习完“错位相减法”后,善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”,也可以使用“裂项相消法”求解,以下是她的思考过程:①为什么可以裂项相消?是因为此数列的第n,n+1项有一定关系,即第n项的后一部分与第n+1项的前一部分和为零②不妨将,也转化成第n,n+1项有一定关系的数列,因为系数不确定,所以运用待定系数法可得,通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数③将数列,表示成形式,然后运用“裂项相消法”即可!聪明的小周将这一方法告诉了老师,老师赞扬了她的创新意识,但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握.(1)(巩固基础)请你帮助小周同学,用“错位相减法”求的前n项和;(2)(创新意识)请你参考小周同学的思考过程,运用“裂项相消法”求的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)直接根据错位相减法的解题步骤求解求的前n项和即可;(2)根据裂项法,设,结合已知比较系数求得,再代入,即可求得.【详解】(1)因为所以①则②所以①②得:所以;(2)因为,设,比较系数得:,得,所以,所以【创新练】一、单选题1.(2023·全国·统考高考真题)设等比数列的各项均为正数,前n项和,若,,则(

)A. B. C.15 D.40【答案】C【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.【详解】由题知,即,即,即.由题知,所以.所以.故选:C.2.(2020上·江苏徐州·高二徐州市第一中学校考期中)已知等比数列的项和,则(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】由与的关系可求得,进而可判断出数列也为等比数列,确定该数列的首项和公比,利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列的项和.当时,;当时,.由于数列为等比数列,则满足,所以,,解得,,则,,且,所以,数列为等比数列,且首项为,公比为,因此,.故选:D.【点睛】方法点睛:求数列通项公式常用的七种方法:(1)公式法:根据等差数列或等比数列的通项公式或进行求解;(2)前项和法:根据进行求解;(3)与的关系式法:由与的关系式,类比出与的关系式,然后两式作差,最后检验出是否满足用上面的方法求出的通项;(4)累加法:当数列中有,即第项与第项的差是个有规律的数列,就可以利用这种方法;(5)累乘法:当数列中有,即第项与第项的商是个有规律的数列,就可以利用这种方法;(6)构造法:①一次函数法:在数列中,(、均为常数,且,).一般化方法:设,得到,,可得出数列是以的等比数列,可求出;②取倒数法:这种方法适用于(、、为常数,),两边取倒数后,得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于的式子;⑦(、为常数且不为零,)型的数列求通项,方法是在等式的两边同时除以,得到一个型的数列,再利用⑥中的方法求解即可.二、多选题3.(2023上·江苏南通·高二海安高级中学校考期中)已知数列的前n项和为,则以下命题正确的有(

).A.若数列为等差数列,则为等比数列B.若数列为等差数列,恒成立,则是严格增数列C.若数列为等比数列,则恒成立D.若数列为等差数列,,,则的最大值在n为8或9时取到【答案】ACD【分析】用定义法判断数列为等比数列,利用等差数列,等比数列的性质解题.【详解】选项A:若为等差数列,设公差为,则为常数,则为等比数列;选项B:若数列为等差数列,设公差为,首项为,则,当时,恒成立,数列为常数列,则不是严格增数列;选项C:若数列为等比数列,设首项为,公比为,时,为常数列,,所以,,时,,所以若数列为等比数列,则恒成立;选项D:若数列为等差数列,,,可得,又等差数列性质有,,由可知,所以的最大值在n为8或9时取到.故选:ACD4.(2023·辽宁大连·校联考模拟预测)若正整数m,n只有1为公约数,则称m,n互素,欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数k,且与k互素的正整数的个数,例如:,,,.下列说法正确的是(

)A. B.数列为递增数列C. D.数列的前n项和为,则【答案】ACD【分析】根据欧拉函数的定义可判断ABC,求出可判断D.【详解】与互素的正整数有,所以,故A正确;因为,所以数列不为递增数列,故B错误;与互素的正整数有,共有个,所以,因为,所以,所以,两式相减得,所以,故D正确,故选:ACD三、填空题5.(2023·湖南岳阳·统考二模)定义是与实数的距离最近的整数(当为两相邻整数的算术平均值时,取较大整数),如,令函数,数列的通项公式为,其前项和为,则;.【答案】3【分析】根据数列新定义可知,数列重新分组可得,,且满足第组有个数,且每组中所有数之和为,即可求解.【详解】因为所以;根据,当时,,则,,当时,,则,,当时,,则,,当时,,则,,以此类推,将重新分组如下,,第组有个数,且每组中所有数之和为,设在第组中,则,可得解得,所以,故答案为:3;.6.(2023·四川成都·校联考模拟预测)已知各项均为正数的等比数列的前项和为,,,则.【答案】【分析】设等比数列的公比为q,则,显然,根据题意求出,的值,再根据等比数列的通项公式求解即可.【详解】解:设等比数列的公比为q,则,显然,因为,,所以,即,解得,所以.故答案为:四、解答题7.(2024上·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校联考期末)已知是各项均为正数的等比数列,其前项和为,,,,成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据等差数列可得,再由等比数列的基本公式计算可得公比的值,从而得数列的通项公式;(2)根据裂项相消法直接求数列的前项和即可.【详解】(1)设等比数列的公差为,则,由,,成等差数列可得,即,又,所以,即,解得或(舍),所以;(2)由(1)可得,所以,所以.8.在数列中,,其前项和为,且.(1)求;(2)设,数列满足,数列的前项和为,求使成立的最小正整数的值.【答案】(1);(2)【分析】(1)由题意结合通项公式与前项和之间的关系可得数列的通项公式为,再利用有(2)结合(1)中的结论有:,据此分组求和结合裂项求和可得,据此可得关于的不等式,求解不等式可得满足题意的最小正整数n的值为2015.【详解】(1)解:由,得,∴,由,得,两式作差得,即,故,∴,故,∴数列是首项为,公比为2的等比数列.∴,(2)解:,∴,即,∴,∴,∴,即,解得,∴使成立的最小正整数的值为.【成果练】一、单选题1.(2022下·北京·高二北京八中校考期中)已知数列的前项和(是不为0的实数),那么(

)A.一定是等差数列 B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列 D.以上均不正确【答案】C【分析】根据得到,再分和两种情况讨论,即可得解;【详解】解:因为①,当时;当时,②,①②得,即因为,当时为等差数列,当时,表示以为首项,为公比的等比数列;故选:C2.设是由正数组成的等比数列,公比,且,那么(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】根据等比数列的性质,设,,,则A,B,C成等比数列,然后利用等比中项的性质可求得答案【详解】设,,,则A,B,C成等比数列,公比为,且,由条件得,所以,所以,所以.故选:B3.(2022下·四川成都·高一统考期末)等比数列的各项均为正数,且,则(

)A.12 B.10 C.8 D.6【答案】A【分析】根据等比数列的下标和性质即可求解.【详解】解:根据等比数列的下标和性质,可得,,故选:A.二、多选题4.(2023上·江苏宿迁·高二校考期中)设等比数列的公比为,其前项和为,前项积为,并满足条件,,,下列结论正确的是(

)A. B.若,则最大为4048.C.是数列中的最大值 D.【答案】AD【分析】根据题意,联立方程组和,可得,所以从到的每一项都大于,从开始后面所有的项的值都小于且大于.再分析每一个选项即可求解.【详解】因为是公比为的等比数列,由,得,所以,由,,且,显然不成立,得,从而,,同时数列是一个递减的正项等比数列,即在等比数列中,从到的每一项都大于,从开始后面所有的项的值都小于且大于.对于A:因为数列是一个递减的正项等比数列,成立等价于,故A正确;对于B:在等比数列中,从到的每一项都大于,从开始后面所有的项的值都小于且大于.,且,若,则最大时,故B不正确;对于C:接上面,,是数列中的最大值,故C不正确;对于D,接上面,,故D正确.故选:AD.三、填空题5.(2021·高二课时练习)已知四个实数成等差数列,五个实数成等比数列,则【答案】【分析】根据等差数列的性质求出公差,由等比数列的性质可得,进而可得结果.【详解】设数列的公差为,由题意易得,由成等比数列得,且和的符号相同,解得,所以,故答案为:.【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质,属于基础题.6.(2022上·河南平顶山·高二统考期末)在正项等比数列中,,,则的公比为.【答案】3【分析】由题设知等比数列公比,根据已知条件及等比数列通项公式列方程求公比即可.【详解】由题设,等比数列公比,且,所以,可得或(舍),故的公比为3.故答案为:37.(2023上·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习)设是等比数列,且,则.【答案】4【分析】由等比数列的性质求得,再代入中即可得出结果.【详解】设等比数列的公比为,,,.故答案为:4.四

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