2023年高考数学二轮复习试题（全国通用）06 等差数列与等比数列 （试题版+解析版）

专题06等差数列与等比数列

一、核心先导

专题06等差数列与等比数列

二、考点再现

【考点1］等差数列

1、等差数列的判断方法：定义法4任］=d（d为常数）或--an^（n≥2）

2、等差数列的通项：%=4+（〃一l）d或4=4,〃+（〃—/n）d。

①当d≠0时，等差数列的通项公式q=4+5-l）d=M+q-d是关于〃的一次函数，且斜率为公差d；

3、等差数列的前n和：S11="（%+%）,Sn=nai+幽。

n22

n（n1｝

①前n和s,,=nay+~d=y√+（αl-ɪ）n是关于〃的二次函数且常数项为0.

4、等差中项：若α,Ab成等差数列，则A叫做。与b的等差中项，且A=巴心。

2

①当加+〃=〃+q时，则有a,”+。“=%,+4,特别地，当〃?+〃=2〃时，则有《“+%=24,.

5、若｛4｝是等差数列，S,,,S2“-S”,S3”-S2“，…也成等差数列.

【考点2】等比数列

1.等比数列的定义-------（证明或判断等比数列）4a=式4为常数），

nnm

2.等比数列的通项公式：%=atq-'或为=amq-。

3.等比数列的前〃和：

laaq

①当q=l时，Sll=nal；②当4Rl时，5n=-0='~''o

1一q1—q

4,等比中项：

⑴、若4,A,b成等比数列，那么A叫做。与6的等比中项，A2=ab»

⑵、当m+"=p+q时，则有arn∙a11=ap∙aq。

5、若｛α,｝是等比数列,S,,,S2,,-S“，S?,,-S?,,,…也成等比数列.

三、解法解密

等差数列与等比数列作为两种基本的数列，是高考中数列考查的重中之重,值得关注.考查的形式主

要有等差数列、等比数列的实际应用以及等差数列、等比数列与其他知识的综合.在复习中，要紧抓以下

几个方面：

方法L关注两种基本方法:研究等差数列、等比数列的基本方法就是“基本量法”及活用好它们的“对

称性”；

方法2.领悟等差数列、等比数列的两类本质：等差数列、等比数列是两类特殊数列,又是两类特殊的函

数,这种双重身份,注定它们必然是高考中的重点、难点,故而,学习中，要从“函数”及“数列”这两个方面

来认识它们；

方法3.两类数学思想:分类讨论思想以及函数与方程的思想是解决数列问题所经常使用的两类数学思

想

四、考点解密

题型一:等差数列与等比数列基本量的计算

例1.（1）、（2022.四川省遂宁市教育局模拟预测（文））若｛叫为等差数列，S,是数列｛叫的前”项和，

a4+aβ=14tS7=35,贝Ij%-4等于（）

A.7B.6C.5D.4

（2）、（2022•福建福州•高二期末）（多选题）已知等差数列｛atl｝的公差为d,前〃项和为Srt,a3=16,«5=12.则

()

A.d=-2B.4=20

C.4+4=28D.S〃取得最大值时，71=11

【变式训练『1】、（2022・四川・宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（文））已知等比数列｛4｝中，%=4,

4∣=9,则%=.

【变式训练『2】、（2021•云南•模拟预测（文））已知｛q｝为等差数列，S,,为其前〃项和.若q=-7,S,=-15,

则％=•

题型二:等差中项与等比中项的应用

例2.（1）、（2022•山东泰安•模拟预测）若等差数列｛q｝满足2线-%=6,则它的前13项和为（）

A.110B.78C.55D.45

（2）.（2022•河南焦作•一模（文））设｛4｝和也｝都是等差数列，前〃项和分别为S,,和7；,若％+%+/=6,

⅛l+⅛3+⅛9+⅛ll=12,则宁=（）

ʃn

【变式训练2-1】、（2022・安徽黄山•一模（文））在等比数列｛q｝中，你是方程d-13x+9=0的两

根，则1的值为（）

«7

A.√13B.3c.+ʌ/rɜD.±3

【变式训练2-2】、（2022.湖北.荆门市龙泉中学二模）正项等比数列｛q｝中，为吗，-生成等差数列，且存

在两项见“,a,,（〃?,〃€N.）使得Jqja“=4"∣,则,+3的最小值是（）

mn

A.2b∙7D.不存在

题型三:求数列的前n项和

%=3）+3,数列隼

例3.（1）、（2022•山西运城•模拟预测（文））已知数列｛α,,｝中，q=4

的前〃项和为S,,,则（）

33

AO<<B<S<C<S<2D2<S<3

222--

)222202222

（2）.（2022•安徽•合肥市第七中学高二期末）已知数歹U可｝的前〃项和R,=2"2-"+ι,则其通项公式凡=

【变式训练3-1】、（2022•四川绵阳•一模（理））已知等比数列｛%｝的各项均为正数，设5,是数列｛4｝的

前〃项和，且％=2,&=8,则§5=

【变式训练3-2】、（2022.河南.开封市东信学校模拟预测（理））已知数列｛«,｝满足

«1=2,4,,+∣-2=q,+2"("eN")则数列翻的前2022项的和为

题型四:判断或证明等差、等比数列

例4、(2022.吉林长春.模拟预测)已知数列｛%｝满足：4=2%+∣+("+1)=("+2)q+(〃+1)'.

⑴证明：数列I瑞才是等差数列;

/1(/7+2)

(2)设。求数列也｝的前”项和5”.

2"%,,

[变式训练4-1]ʌ(2022・河南•模拟预测(理))若数列｛可｝满足q=2,«„+|-2¾=3"，

⑴证明:｛4+∣-3q,｝是等比数列；

(2)设｛q｝的前n项和为S,,,求满足S11<2023的〃的最大值.

题型五:综合应用

例5.（1）、（2022•河南省叶县高级中学模拟预测（文））中国公民身份号码编排规定，女性公民的顺序

码为偶数，男性为奇数，反映了性别与数字之间的联系；数字简谱以1,2,3,4,5,6,7代表音阶中的7

个基本音阶，反映了音乐与数字之间的联系，同样我们可以对几何图形赋予新的含义，使几何图形与数字

之间建立联系.如图1,我们规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形，1个三角形对应1个正方形，在

图2中，第1行有1个正方形和1个三角形，第2行有2个正方形和1个三角形，则在第9行中的正方形

的个数为（）

…第1行

Λ:…第2行

图1图2

A.53B.55C.57D.59

（2）、（202卜全国•模拟预测）在流行病学中，基本传染数R。是指在没有外力介入，同时所有人都没有免

疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.以一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次

接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数4=3（注：对于凡＞1的传染病，要隔离感染

者，以控制传染源，切断传播途径），那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染（不含初始感染者）的

总人数为（注:初始感染者传染K）个人为第一轮传染,这几个人每人再传染&个人为第二轮传染……）

【变式训练51】、（2022•浙江宁波・一模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、

体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垛与相应立

体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3

I11

个，第三层放6个，第四层放K）个第〃层放个物体堆成的堆垛，则一+—++—=

4¾4。

【变式训练5-2］、（2021•河南郑州•三模（文））1967年,法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线

有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建

立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明

它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1,

线段AB的长度为1,在线段AB上取两个点C,D,使得AC=QB=gAB,以CQ为一边在线段AB的上方

做一个正三角形，然后去掉线段CZλ得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操作，得到图

3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：

λA_________I

ACDB4CDB

图1图2图3图4

记第〃个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为S,,,对任意的正整数"，都有S,,<4,则”的最

小值为.

五、分层训练

A组基础巩固

I.（2022.全国・安阳市第二中学模拟预测（理））我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图

所示，将1,2,3,…，9填入3x3的方格内，使得三行、三列、对角线的三个数之和都等于15,便得到一

个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1,2,3,…，"填入〃X”个方格中，使得每行、每列、每条对角

线上的数的和都相等，这个正方形叫作〃阶幻方.记〃阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为3，

如S3=45,那么10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为（）

洛书幻方

A.555B.IOIC.505D.IOIO

2∙（2022∙四川省遂宁市教育局模拟预测（理））设数列｛%｝是等差数列，是数列｛%｝的前〃项和，a4+ab=14,

S7=35,则S5等于（）

A.10B.15C.20D.25

3.（2022・四川绵阳•一模（理））已知5“是等差数列｛《,｝的前”项和，若品,=57,则3%-4-4=（）

A.2B.3C.4D.6

4.（2022.黑龙江.哈九中模拟预测（理））在等差数列｛《,｝中S”为前〃项和，a1=2a6-4,则S9=（）

A.28B.30C.32D.36

5.（2022•云南云南•模拟预测）设等差数列｛凡｝的前〃项和为S“，3%+2%=35,则S9=（）

A.56B.63C.67D.72

6.（2022•北京•北师大实验中学模拟预测）设等差数列｛%｝的前〃项和为S,,,若4=9,¾+¾=2,则当

取最大值〃等于（）

A.4B.5C.6D.7

7.（2022•山东淄博・三模）已知正项等比数列｛",』的前"项和为S“，且-q,S,S3成等差数列.若存在两项

%册（X〃eN*）使得JaMq=84,则’+?的最小值是（）

inn

C10C8

A.16B.2C.—D.

33

∈贝∣()

8.（2022・全国•模拟预测（文））在数列｛4｝中,^1=l,φ+l）（¾+,-¾)=1(∏N*),J4022=

4043-2021C4040C2020

A.------B.------C.------D.

2022202220212021

9.（2022•四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列｛%｝的前〃项和S,满足S.=Π(4H+1)(∕2∈N*),

若数列也｝满足a=4乎，则,+京+…+段］=（>

ATB.陋C,≡D.2021

2021202120228088

10.（2022・辽宁・模拟预测）如图是美丽的“勾股树'将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形

而得到如图①的第1代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2代“勾股树”，…，以此类推，记第〃

代“勾股树''中所有正方形的个数为凡，数列｛4｝的前〃项和为S“，若不等式S”>2022恒成立，则〃的最小

值为（）

11.（2022•河南•模拟预测（文））已知数列｛利｝的前"项和S〃满足5“="2,记数列的前〃项和为

Tn,"∈N*.则使得乃°的值为（）

19ŋ38C40

A.B.—D.——

393941

12.（2022・山东济南•模拟预测）设｛q｝是首项为1的等比数列，S“是其前〃项和，若%%-2%=0,则S5=

13.（2022∙四川省南充高级中学模拟预测（文））记S”为正项等比数列｛%｝的前"项和，若邑=14,q=2,

则富的值为

14.（2022•山东泰安•二模）已知数列｛6,｝是公差大于0的等差数列，4=2,且％+2,4,牝-4成等比

数列，贝∣J⅜,=.

15.（2022•新疆石河子一中模拟预测（理））等差数列｛%｝的公差为2,前〃项和为$“，若的,外,&构

成等比数列，则S,,=.

16.（2022・广东•模拟预测）已知数列｛q｝是首项为1的等差数列，其前"项和为S11,且2$9-3弟=54,记

b“=m+］）；“产］）,则数列也｝的前“项和Tn=.

17.（2022•陕西・西安中学模拟预测（文））在等差数列｛4｝中，α7=15,¾+⅛=18,若数列｛（T）"”,,｝的前

”项之和为S,,,则Sn）O=.

18.（2022•内蒙古・赤峰二中模拟预测（理））如图所示，是毕达哥拉斯（PythagoraS）的生长程序：正方

形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得

到1023个正方形.设初始正方形的边长为近，则最小正方形的边长为.

19.（2022•河南•模拟预测（理））已知数列｛（｝为等比数列，公比4>0,首项4=1,前三项和为7,

ala2Lan=1024,贝IJ〃=.

20.（2022・湖南益阳•模拟预测）在单调递增数列｛4｝中，己知4=1,q=2,且%1,⅛,外同成等比数

aa

歹U,2n，2n+∖，¾nt2成等差数列（〃GN*）,那么q00=.

21.（2022•上海交大附中模拟预测）已知各项均为正数的等比数列｛4｝,若4-%=24，则邑的值为

a3

22.（2022•黑龙江•哈九中三模（文））设函数"x）=2+lnlξi,αl=1,

…,则数列｛4｝的前"项和S“=.

23.（2022•四川•宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（文））已知数列｛α,,｝的前〃项和S“满足

+n

S11=2all~~^-∙

(1)求为,并证明数列｛4+3”｝为等比数列；

⑵若⅛=«(«„+3«)，求数列也｝的前〃项和九

24.(2022•贵州・模拟预测(理))已知数列｛%｝,满足q=2,αntl=+4«,,+2.

(1)证明：数列｛1。氏+2)｝是等比数列，并求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛%+2｝的前〃项积T„.

B组能力提升

25.（2022.山东青岛.一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二

税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金

几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的第2关收税金为剩余金的g,第3关收税

金为剩余金的!，第4关收税金为剩余金的!，第5关收税金为剩余金的，，5关所收税金之和恰好重1斤.问

456

/、/、

原来持金多少？”.记这个人原来持金为。斤，设/力=<f1O…x+1,%>八1，则”〃=（）

ll-5x,0<x≤l'

A.-5B.7C.13D.26

26.（2020.安徽.寿县第一中学模拟预测（文））右面的数表为“森德拉姆筛”，其特点是表中的每行每列上

的数都成等差数列，则第〃行第〃个数字是（）

A./-IB.S+"+1C.tv+1D.nI2

C_1_M

27.（2022・全国•安阳市第二中学模拟预测（文））已知数列｛《｝的前〃项和为3,且义资=%，若

包二*≤1-〃恒成立，则实数2的最大值为（）

n

I23

A.-B.1C.-D.一

234

28.（2022•黑龙江•哈尔滨市第一二二中学校三模（文））公比为q的等比数列｛4｝,其前〃项和为5.，前

d—1

"项积为1，满足q>ι,¾）2∣∙¾）22>ι,-^j<°.则下列结论正确的是（）

a2O22~ɪ

a

A.20∖i∙“2033>1B.T”的最大值为4021

C.S”的最大值为S2O23D.“>1

29.（2022・全国•武功县普集高级中学模拟预测（理））记5“为各项均为正数的等比数列｛%｝的前〃项和,

A.-B.-C.1D.2

48

30.（2022・安徽・芜湖一中模拟预测）已知正项等比数列｛4｝的前〃项和为S〃，前〃项积为1,满足

al=∣,2α2=S3-3al,则（的最小值是（）

O

A.—B.—C.—D.----

163264128

31.（2022.吉林・长春吉大附中实验学校模拟预测）（多选题）意大利数学家列昂纳多•斐波那契提出的“兔

子数列“：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，

它可以表述为数列｛q｝满足4=4=1,4+2=4出+%（“eN+）.若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列

｛bn｝,记也｝的前〃项和为S1,,则以下结论正确的是（）

A.々+9—2+I=θB.Szκ4o=S“+2+9

C.“2022=2D.S2022=2696

32.（2022・广东・肇庆市外国语学校模拟预测）（多选题）将数列｛〃〃｝中的所有项排成如下数阵:

已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数4、%、%、L成等差数列，且4=4,4。=10.从第

二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以g为公比的等比数列，则（）

A.G=IB.1021位于第84列

133

C∙%<%+ιD.a202l=—

C组真题实战练

33.（2021・全国•高考真题（文））记S”为等比数歹Ij｛q｝的前"项和.若S?=4,S」=6,贝IJSf=（）

A.7B.8C.9D.10

34.（2021•北京・高考真题）已知也｝是各项均为整数的递增数列，且423,若q+〃+∙→q,=IOO,则"的

最大值为（）

A.9B.10C.11D.12

35.（2021•北京・高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面

缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长4,2，/，4,%（单位：cm）成等差数列，对

应的宽为久也也也也（单位：cm）,且长与宽之比都相等，已知q=288,%=96,hl=192,则H=

A.64B.96C.128D.160

36.（2020•全国•高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有

一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的

第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729

块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块

37.（2020・全国•高考真题（文））设｛。“｝是等比数歹且a,+。?+%=】，02+α,+α4=2,贝IJ&+%+4=（）

A.12B.24C.30D.32

S

38.（2020•全国•高考真题（文））记S”为等比数列｛“"｝的前〃项和.若“5-43=12,Λ6-α√=24,则-i=（）

%

A.2//-1B.2-2'nC.2-2∕?'D.21n-∖

39.（2020•全国•高考真题（文））记S,,为等差数列｛%｝的前〃项和.若4=-2,a2+a6=2,则SIo=.

40.（2020•全国•高考真题（文））数列｛«„｝满足all+2+（-l）"”,,=3〃-1,前16项和为540,则al=.

41.（2021•全国•高考真题）记S.是公差不为0的等差数列｛4,,｝的前"项和，若％==S4.

（1）求数列｛q｝的通项公式见；

（2）求使S,,›凡成立的"的最小值.

O

42.（2021・浙江•高考真题）已知数列｛4｝的前〃项和为S“，q=-j，且4S向=3S,,-9.

（1）求数列｛%｝的通项；

（2）设数列也｝满足3d+5-4M=0（"∈N*）,记也｝的前〃项和为T“，若7L≤也对任意“6N*恒成立,

求实数/1的取值范围.

a+1,"为奇数,

43.（2021.全国.高考真题）已知数列｛q｝满足4=1,a,n

A+1q+2,”为偶数.

（1）记〃=%,，写出4，%，并求数列｛"｝的通项公式；

（2）求｛4｝的前20项和.

44.（2021.全国•高考真题（文））设｛%｝是首项为1的等比数列，数列也｝满足"=等.已知4,3%,

9%成等差数列.

（1）求｛《,｝和圾｝的通项公式；

C

⑵记S“和。分别为｛《,｝和也｝的前〃项和.证明：Titw.

专题06等差数列与等比数列

一、核心先导

二、考点再现

【考点1】等差数列

1、等差数列的判断方法：定义法--α,,=d（d为常数）或4,+L4=%-4I（"≥2）

2、等差数列的通项：an=at+（n-Y）dan=am+[n-ni）d»

①当时，等差数列的通项公式q,=4+5-l）d=珈+q-4是关于〃的一次函数，且

斜率为公差d；

3、等差数列的前〃和：Sn=〃（4+%）,邑=〃4+四二»〃。

2

①前〃和5„=+"（；%=∣π+（ai-∙∣）∕7是关于n的二次函数且常数项为0.

4,等差中项：若α,A∕成等差数列，则A叫做。与人的等差中项，且A="2。

2

①当m+"=p+q时，则有a,“+%=α?+%,特别地，当〃+z〃=2p时，则有

aιn+an^2ap.

5、若｛4｝是等差数列，S”,S?“一S”,S3”一S2”，…也成等差数列.

【考点2】等比数列

1.等比数列的定义（证明或判断等比数列）%L=q（g为常数），

n

2.等比数列的通项公式：a,,=alq-'或为=",,,qi。

3.等比数列的前〃和：

①当q=I时，S11=naλ；②当4Wl时，Sn=£11!_ZJ=@1_%艮.。

∖-q∖-q

4、等比中项：

⑴、若α,A,b成等比数列，那么A叫做。与b的等比中项，A2=ab»

⑵、当加+〃=p+4时,则有atn∙atl=ap∙aq。

5、若｛a,｝是等比数列，S”,S2“一S”,S3,,-S2.,…也成等比数列.

三、解法解密

等差数列与等比数列作为两种基本的数列，是高考中数列考查的重中之重,值得关注.

考查的形式主要有等差数列、等比数列的实际应用以及等差数列、等比数列与其他知识的综

合.在复习中，要紧抓以下几个方面：

方法1.关注两种基本方法:研究等差数列、等比数列的基本方法就是“基本量法”及

活用好它们的“对称性”；

方法2.领悟等差数列、等比数列的两类本质：等差数列、等比数列是两类特殊数列，又

是两类特殊的函数,这种双重身份,注定它们必然是高考中的重点、难点，故而,学习中，要从

“函数”及“数列”这两个方面来认识它们；

方法3.两类数学思想:分类讨论思想以及函数与方程的思想是解决数列问题所经常使

用的两类数学思想

四、考点解密

题型一:等差数列与等比数列基本量的计算

例1.（1）、（2022.四川省遂宁市教育局模拟预测（文））若｛4,,｝为等差数列，s“是数列

｛%｝的前"项和，4+4=14,S7=35,则等于（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】D

【分析】根据题意，设等差数列｛4｝的公差为d,进而建立方程组求解得d=2,再计算4-q

即可.

【详解】解：根据题意，设等差数列｛%｝的公差为d,

因为4+4=14,S7=35

%+%=2%+8d=14d=2

所以5=7^+2W=35'得

7I4=—1

所以%-ɑ,=2d=4.

故选：D

（2）、（2022.福建福州.高二期末）（多选题）已知等差数列｛4｝的公差为止前〃项和为

S,,,α3=16,α5=12.则（）

A.d=-2B.«,=20

C.a2+a1,=28D.S“取得最大值时，n=Il

【答案】ABC

【解析】

【分析】

利用基本量代换，求出通项公式，即可验证A、B、C；由通项公式判断出"≤10时，«„>0,

即=。，"≥12时，。可以得到Slo=SU最大，即可判断选项D.

【详解】

2d=16∖a.—20

因为%=16g=12,所以3Is，解得：：.，故选项A、B正确；

巴=4+4d=12[d=-2

所以q=O1+（〃-1）4=22-2〃.

对于C：因为4=22-2”，所以的+&=18+10=28,故C正确；

对于D：因为4=22-2〃，所以劭=22-2x11=0.

因为〃≤10时，«„>0；ZJ≥12时，a,,<0.所以SKt=SU最大.故D错误.

故选：ABC

【变式训练II】、（2022・四川・宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（文））已知等比数列｛%｝

中，α3=4,α11=9,贝∣J%=.

【答案】6

【分析】由等比数列的性质求解即可

【详解】由等比数列的性质可得：¢=%即=36,

由等比数列中奇数项的符号相同，

所以%=6,

故答案为：6

【变式训练『2】、（2021•云南•模拟预测（文））已知｛4｝为等差数列，S.为其前"项和.若

«1=-7,S3=-15,则<⅞=.

【答案】7

【解析】

【分析】

根据题意得等差数列｛an｝的公差为d=2,再根据通项公式求解即可.

【详解】

解：设等差数列｛q｝的公差为d,因为4=-7,S3=-15

所以I?=；,a/<解得"=2'

电=3q+3d=-15

所以”,,=2"-9,所以4=2χ8-9=7.

故答案为：7

题型二:等差中项与等比中项的应用

例2.(1)、(2022.山东泰安.模拟预测)若等差数列｛q｝满足2%-%=6,则它的前13项

和为()

A.HOB.78C.55D.45

【答案】B

【分析】根据等差数列的通项公式及前〃项和公式即可求解.

【详解】设等差数列｛4｝的首项为4,公差为d,则

因为2%-%=6,所以2(α∣+7d)-(q+8d)=6,即α∣+6d=6.

所以=+=13(q+64)=13x6=78.

故选：B.

(2).(2022•河南焦作•一模(文))设｛q｝和｛4｝都是等差数列，前"项和分别为S,,和。，

=12,则*=()

若4+a1+α13=6,4+b3+b9÷⅛11=

ʃll

26「2C1313

A.—B.一C.—D.

33322TT

【答案】A

【解析】

【分析】

利用等差数列的性质分别求得的=2,%=3,再利用等差数列前〃项和公式求解.

【详解】

由等差数列的性质可得4+%+ai3=3a7=6,

所以％=2；

因为4+4+为+如=2⅛6+2b6=12,

所以4=3.

由等差数列的前"项和公式可得几=13（%”3）=空卢=26,

Tll（⅛,+⅛,）11×2⅛ɔɔ

111-l——33,

π22

S26

所以广n石•

故选：A

【变式训练27】、（2022.安徽黄山•一模（文））在等比数列｛%｝中，也是方程

d-13x+9=0的两根，则丝R的值为（）

«7

A.√13B.3C.±√13D.+3

【答案】B

［分析］利用韦达定理可得4&=9,4+%=13,从而得到4>0,%>0，即可得到%>0，

再根据等比数列下标和性质计算可得.

【详解】因为4、%是方程d-13x+9=O的两根，所以4%3=9,0,+αl3=13,

所以q>0,%>0,又｛%｝为等比数列，则的=4√i>（）,

所以“∣α∣3=%2=9,所以%=3或%=-3（舍去），

所以也电=%=3.

%

故选：B.

【变式训练2-2】、（2022・湖北・荆门市龙泉中学二模）正项等比数列｛%｝中，%，4，一%成

等差数列，且存在两项明,““（见〃€v）使得扬方=44,则,+之的最小值是（）

mn

A.2B.-C.1+—D.不存在

43

【答案】B

【分析】由等比数列通项公式及等差中项的性质可得4=2,进而有根+”=6,利用基本不

等式“1”的代换求目标式最小值，注意等号是否成立.

【详解】由题设2q=%-%,若｛〃,,｝公比为4>0且4>0,则d-g-2=（4+l）（q-2）=0,

所以4=2,

由jɑ,jɑ,,=44,则a：。""T=I6a：，故2"“τ=i6,可得加+〃=6，

所以_1+之=_1（_1+9）（〃?+〃）=_1（6+_1+迦）£_1（6+2^1^）=1+好，而

mn6tnn6mn6N，n几3

n=y∕5m="S一ʒ任N*,故等号不成立，

2

又叵二3∈（3,4）,故当〃=3,机=3时,+»=2,当〃=4,m=2时,+?=1,

2f∏nmn4

显然2>一7，故〃=4,m=2时1一十5二最小值为7二.

4mn4

故选：B

题型三:求数列的前n项和

例3.（1）、（2022•山西运城♦模拟预测（文））已知数列｛4｝中，q=4,¾+1=∣¾（¾-3）+3,

数列暨的前〃项和为S,,,则（）

33

（）

ʌ-0<$2022<1B.1<52022<5C.3<S222<2D.2<S2022<3

【答案】A

【分析】根据数列单调性的定义及裂项相消法求出5“，进而即可求解.

2

【详解】由题得，an+l-aι,=l-aιι（aιι-3）+3-aιι=j（a,l-3）..0,又q=4>3,

所以生-4>0.所以外>4>3,可得>4.所以数列｛q｝是递增数列.

13Il-Il1

—T=-----K=------------，所以一=----Σ----------Σ>所以

1一3an(an-3)an-3)ananan-3an+l-3

11,1

-----Σ----------7=1-----------------7,所以$2022=1----------τ,乂“2023>4,所以％023-3>1,所以

ai-d-5a

∖~¾+l¾+l2023-3

0<―½<1,所以0<邑必<1.

。2023-3

故选：A.

（2）.（2022•安徽•合肥市第七中学高二期末）已知数列｛/｝的前〃项和S,,=2∕-"+ι,

则其通项公式4,=

2,n=1

【答案】

4n-3,n≥2,neN

【解析】

【分析】

利用当〃22时，an=Sn-Sn.l,可求出此时的通项公式，验证〃=1时是否适合，可得答案.

【详解】

22

当“22时，an=Sn-Sn_,=2∕z-n+l-^2(n-l)-(“-1)+1]=4〃-3,

当”=1时，4=2-1+1=2不适合上式,

2,n=l

4n-3,n≥2,neN'

2,〃=1

故答案为:

4n-3,π≥2,/7∈JV*

【变式训练3-1】、（2022•四川绵阳•一模（理））已知等比数列｛4,,｝的各项均为正数，设S”

是数列｛%｝的前〃项和，且叼=2,%=8,则其=

【答案】31

【分析】利用等比数列通项公式，结合4>0,可求得公比4=2,进而得到％,利用等比数

列求和公式可求得结果.

【详解】设等比数列｛q｝的公比为4,

tz,,>0,:.q>0,又，=旦=4,:.q=2,.1q=a=1,

q

.S-IX(T)31

..——ɔɪ•

1-2

故答案为：31.

【变式训练3-2】、（2022.河南.开封市东信学校模拟预测（理））已知数列｛α,,｝满足

B-的前2022项的和为

4=2,4,,+∣-2=",,+2"("eN*),则数列

【答案】孰

【分析】利用累加法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前2022