6.2.4向量的数量积原卷版

6.2.4向量的数量积【考点梳理】考点一：向量的数量积的定义和几何意义考点二：数量积的运算考点三：数量积和模关系问题考点四：向量夹角的计算考点五：垂直关系的向量表示考点六：已知模求参数问题考点七：向量的数量积综合问题考点八：向量的数量积的综合问题【知识梳理】考点一两向量的夹角与垂直1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.2.垂直：如果a与b的夹角是eq\f(π,2)，则称a与b垂直，记作a⊥b.考点二向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.考点三投影向量在平面内任取一点O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq\o(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.考点四平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则(1)a·e＝e·a＝|a|·cosθ. (2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a∥b时，a·b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a||b|，a与b同向，,－|a||b|，a与b反向.))特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b|≤|a||b|.考点五平面向量数量积的运算律1.a·b＝b·a(交换律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).【题型归纳】题型一：向量的数量积的定义和几何意义1．（2023下·高一单元测试）已知下列命题中：（1）若，且，则或；（2）若，则或；（3）若不平行的两个非零向量，满足，则；（4）若与平行，则；（5）.其中真命题的个数是（

）A． B． C． D．2．（2023下·北京西城·高一北京师大附中校考期末）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（

）A．26 B．13 C．10 D．53．（2022下·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）如图，的外接圆圆心为O，，，则（

）A． B． C．3 D．2题型二：数量积的运算4．（2023下·新疆喀什·高一统考期末）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．5．（2023下·吉林辽源·高一校考阶段练习）已知向量，，与的夹角为.求(1)(2)求；(3)求.6．（2023下·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考期中）如图，在平行四边形中，分别为上的点，且(1)求的值；(2)求.题型三：数量积和模关系问题7．（2024·全国·高一）已知向量，，，且，则（

）A． B． C． D．8．（2023下·福建福州·高一福州三中校考期末）在中，已知，向量在向量方向上的投影向量为，，则（

）A．12 B．8 C．6 D．49．（2023下·江苏扬州·高一统考期中）已知非零向量，满足，，若的取值范围为，则向量，的夹角的取值范围为（

）A． B． C． D．题型四：向量夹角的计算10．（2023下·江苏连云港·高一统考期中）在任意四边形中，点，分别在线段，上，且，，，，，则与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．11．（2023下·福建福州·高一校联考期中）若向量，满足，，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．12．（2023下·安徽合肥·高一统考期中）在中，设是的外心，且，则（

）A． B． C． D．题型五：垂直关系的向量表示13．（2024·全国·高一）已知平面向量的夹角为，若，则（

）A． B． C． D．14．（2023下·高一单元测试）已知向量，向量满足，且，则与夹角为（

）A．0 B． C． D．15．（2023下·陕西西安·高一期中）已知向量满足，且的夹角为.(1)求的模；(2)若与互相垂直，求λ的值.题型六：已知模求参数问题16．（2023下·广东揭阳·高一校联考期中）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（

）A． B．C． D．17．（2023·全国·高一专题练习）两不共线的向量，，满足，且，，则（

）A． B． C． D．18．（2021下·浙江·高一期末）设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数，无最小值，则以下说法正确的是（

）A．若和确定，则唯一确定B．若和确定，则有最大值C．若确定，则D．若不确定，则与的大小关系不确定题型七：向量的数量积综合问题19．（2023下·内蒙古包头·高一统考期末）已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．20．（2023下·江苏镇江·高一统考期末）已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．21．（2023下·河南郑州·高一统考期末）已知的外心为O，且，，向量在向量上的投影向量为（

）A． B．C． D．题型八：向量的数量积的综合问题22．（2023下·浙江绍兴·高一绍兴市稽山中学校考期中）已知．(1)求与的夹角；(2)若在方向上的投影向量为，求的值．23．（2023下·江苏连云港·高一连云港高中校考期中）已知平行四边形中，，，，点是线段的中点．(1)求的值；(2)若，且，求的值．24．（2023上·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）如图，在中，，，，且，，设与交于点．(1)求；(2)求．【双基达标】一、单选题25．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知，，且，的夹角为，则（

）A．1 B． C．2 D．26．（2024·全国·高一假期作业）已知非零向量与满足，若，则（

）A． B． C． D．27．（2024·全国·高一假期作业）在三角形中，，，，则（

）A．10 B．12 C． D．28．（2024·全国·高一假期作业）已知单位向量，的夹角为，向量，，，向量，的夹角的余弦值为，则（

）A．1 B． C．2 D．29．（2023下·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知向量与的夹角，且，．(1)求，；(2)求；(3)与的夹角的余弦值．30．（2024·全国·高一假期作业）在中，已知，，，、边上的两条中线、相交于点.(1)求、的长；(2)求的余弦值.【高分突破】一、单选题31．（2023下·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考期末）若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（

）A． B． C． D．32．（2023下·吉林长春·高一长春外国语学校校考阶段练习）设向量、满足，且，若为在方向上的投影向量，并满足，则（

）A． B． C． D．33．（2023下·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知中，，，，为的外心，若，则的值为（）A．1 B．2 C． D．34．（2023下·山东泰安·高一泰安一中校考期中）已知，，若，则（

）A． B． C． D．435．（2023下·全国·高一期末）下列关于向量，，的运算，一定成立的有（

）A． B．C． D．36．（2023下·浙江金华·高一浙江省东阳中学校联考阶段练习）在中，点满足，且所在直线交边于点，有，，，则的值为（

）A． B．2 C． D．4二、多选题37．（2023下·全国·高一随堂练习）下列说法正确的是（

）A．对任意向量，都有B．若且，则C．对任意向量，都有D．对任意向量，都有38．（2023上·河北保定·高一校联考期中）已知向量满足，则有关的最值下列结论正确的是（

）A．最小值为2 B．最小值为4C．最大值为4 D．最大值为39．（2023下·广东佛山·高一佛山市顺德区乐从中学校考阶段练习）若向量，满足，，则（

）A． B．与的夹角为C． D．在上的投影向量为40．（2023下·河南郑州·高一校联考期中）点为△所在平面内一点，则（

）A．若，则点为△的重心B．若，则点为△的垂心C．若．则点为△的垂心D．在中，设，那么动点的轨迹必通过△的外心41．（2023下·海南省直辖县级单位·高一校考期中）已知非零向量，则下列命题正确的是（

）A．B．向量在向量上的投影向量为C．若，则D．向量共线的充分必要条件是存在唯一的实数，使三、填空题42．（2023上·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考阶段练习）已知向量满足，则的最大值是，最大值是．43．（2023下·全国·高一随堂练习）已知平面向量满足，则实数的值为．44．（2023下·云南昆明·高一昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）已知非零向量满足，，则在方向上的投影向量的模为．45．（2023下·广东湛江·高一湛江市第二中学校考期中）在平行四边形中，，，若，，则与夹角的余弦值是.四、解答题46．（2024上·