2021新高考数学一轮复习学案10-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理课标要求考情分析1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．1.两个计数原理一般不单独命题，常与排列、组合交汇考查．2．题型以选择题、填空题为主，要求相对较低.知识点两种计数原理基本形式一般形式区别分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(×)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(√)(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．(√)(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i＝1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…m(5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(√)2．小题热身(1)从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为(B)A．6B．5C．3D．2(2)已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法共有(C)A．16种B．13种C．12种D．10种(3)小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC卡．若他至少买一张，则不同的买法共有(A)A．7种B．8种C．6种D．9种(4)一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不同(除交汇点O外)的游览线路有48种．(用数字作答)(5)如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有32条不同的路线．解析：(1)“完成这件事”即选出1人当主持人，可分选女主持人和男主持人两类进行，分别有3种选法和2种选法，所以共有3＋2＝5种不同的选法．(3)要完成的“一件事”是“至少买一张IC卡”，分3类完成：买1张IC卡、买2张IC卡、买3张IC卡，而每一类都能独立完成“至少买一张IC卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，买2张IC卡有3种方法，买3张IC卡有2种方法．不同的买法共有2＋3＋2＝7(种)．(4)根据题意，从点P处进入后，参观第一个景点时，有6个路口可以选择，从中任选一个，有6种选法；参观完第一个景点，参观第二个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有4种选法；参观完第二个景点，参观第三个景点时，有2个路口可以选择，从中任取一个，有2种选法．由分步乘法计数原理知，共有6×4×2＝48(种)不同游览线路．(5)不同路线共有3×4＋4×5＝32(条).考点一分类加法计数原理的应用【例1】(1)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，若a∈{2,4,6,8}，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，这样的椭圆有________个．()A．12 B．16C．28 D．32(2)我们把中间位数上的数字最大，而两边依次减小的多位数称为“凸数”．如132,341等，那么由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是________．【解析】(1)解法1：若焦点在x轴上，则a>b，a＝2时，有1个；a＝4时，有3个；a＝6时，有5个；a＝8时，有7个，共有1＋3＋5＋7＝16个．若焦点在y轴上，则b>a，b＝3时，有1个；b＝4时，有1个；b＝5时，有2个；b＝6时，有2个；b＝7时，有3个；b＝8时，有3个．共有1＋1＋2＋2＋3＋3＝12个．故共有16＋12＝28个．解法2：a＝b时有4种情况，故椭圆个数为4×8－4＝28个．(2)根据“凸数”的特点，中间的数字只能是3,4,5，故分三类，第一类，当中间数字为“3”第二类，当中间数字为“4”时，从1,2,3中任取两个放在4的两边，故有6种；第三类，当中间数字为“5”时，从1,2,3,4中任取两个放在5的两边，故有12种；根据分类加法计数原理，得到由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是2＋6＋12＝20.【答案】(1)C(2)20方法技巧1根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏.2分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.1．图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，则不同的取法共有(B)A．120种 B．16种C．64种 D．39种解析：书架上有3＋5＋8＝16(本)书，则从中任取1本书，共有16种不同的取法．故选B.2．将编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的编号不能相同，则不同的放球方法有(B)A．16种 B．12种C．9种 D．6种解析：由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当1号与2号小球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当1号与3号小球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当1号与4号小球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2号与3号小球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2号与4号小球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当3号与4号小球放在同一盒子中时，有2种不同的放法．因此，由分类加法计数原理可知，不同的放球方法共有12种．故选B.考点二分步乘法计数原理的应用【例2】(1)已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，则P可表示坐标平面上第二象限的点的个数为()A．6 B．12C．24 D．36(2)有6名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，三个项目都有人报，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．【解析】(1)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a<0，所以有3种方法；第二步确定b，由于b>0，所以有2种方法．由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.(2)每项限报一个，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．【答案】(1)A(2)120方法技巧利用分步乘法计数原理解决问题的策略1利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.2分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成.1.如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通．现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有63种．解析：因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63种可能情况．2．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成18个不同的二次函数，其中偶函数有6个(用数字作答)．解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18(个)二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6(个)偶函数．考点三两个计数原理的综合应用命题方向1计数问题【例3】高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区，每名同学任选一个景区游览，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有()A．Aeq\o\al(2,6)×Aeq\o\al(4,5)种 B．Aeq\o\al(2,6)×54种C．Ceq\o\al(2,6)×Aeq\o\al(4,5)种 D．Ceq\o\al(2,6)×54种【解析】根据题意，分2步进行分析：①先从6名同学中任选2人，去日月湖景区旅游，有Ceq\o\al(2,6)种方案，②对于剩下的4名同学，每人都有5种选择，则这4人有5×5×5×5＝54种方案，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有Ceq\o\al(2,6)×54种，故选D.【答案】D命题方向2与几何有关的问题【例4】如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A．48B．18C．24D．36【解析】第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．【答案】D命题方向3涂色问题【例5】如图一个地区分为五个行政区域，现给该地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(用数字作答)【解析】由题意可知，当选用三种颜色着色时，由分步乘法计数原理得，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝24(种)方法，当选用四种颜色着色时，由分步乘法计数原理得，有2Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＝48(种)方法，再据分类加法计数原理可得有24＋48＝72(种)方法．【答案】72方法技巧利用两个计数原理解决应用问题的一般思路1弄清完成一件事是做什么.2确定是先分类后分步，还是先分步后分类.3弄清分步、分类的标准是什么.4利用两个计数原理求解.1．(方向1)将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同的放法共有(C)A．480种 B．360种C．240种 D．120种解析：根据题意，将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则必须有2个小球放入1个盒子，其余的小球各单独放入一个盒子，分2步进行分析：①先将5个小球分成4组，有Ceq\o\al(2,5)＝10种分法；②将分好的4组全排列，放入4个盒子，有Aeq\o\al(4,4)＝24种情况，则不同放法有10×24＝240种．故选C.2．(方向2)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(B)A．60 B．48C．36 D．24解析：长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另外含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋1