2023年高考数学一轮复习习题：第九章解析几何热点问题

教材•高考•审题答题

解析几何热点问题

5三年真题考情

核心热点真题印证核心素养

2019全国I,19;2018•全国I,19;

直线方程、定值问题数学运算、逻辑推理

2018∙北京，19

2020•全国I,2。；2020•全国川，20;

椭圆方程、定点问题数学运算、逻辑推理

2019•北京,19;2017•全国I,20

2020•北京，20;2019全国II,19;

直线与椭圆的位置关系数学运算、逻辑推理

2018•全国川,20

2020•全国「,19;2019•全国川，21;

直线与抛物线的位置关系数学运算、逻辑推理

2019•北京，18;2018•全国Il,19

，教材链接高考

求曲线方程及直线与圆锥曲线

教材探究

(选修1-1P42习题A5(l)(2))求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)过点P(-2√LO),Q(0,√5);

(2)长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3,0).

［试题评析J

L问题涉及解析几何中最重要的一类题目：求曲线的方程，解决的方法都是利用曲线的儿

何性质.

2.对于(1)给出的两点并不是普通的两点，而是长轴和短轴的端点，这就告诉我们要仔细观

察、借助图形求解问题，(2)中条件给出“，人的值，但要讨论焦点的位置才能写出椭圆方程.

【教材拓展】设抛物线V=2px(p>0)的焦点为F,准线为I,过抛物线上一点A作/的垂线,

垂足为B,设C(Ip,0),A尸与BC相交于点E,若∣CQ=2∣AQ,且aACE的面积为3√L

则p的值为.

答案√6

解析不妨设A在第一象限，

易知抛物线的焦点厂的坐标为e，0),

rr7〃

又∣CTη=2∣AF］且∣C∕η=/一彳=3p,

3

Λ∖AB∖=∖AF］=2P9

可得A(p,y∣2p).

易知aAEBsZiFEC,.∙.(⅜鲁=耨=),

仍七］∣rC∣2

故S∆ACfc-=∣5∆ACF=∣×3p×y∣2p×=3√2,

；.p2=6,∙.∙p>0,；.p=#.

探究提高1.解答本题的关键有两个：(1)利用抛物线的定义求出点A的坐标，(2)根据AAEB

S∕∖FEC求出线段比，进而得到面积比并利用条件''SAACE=3√?'求解.

2.对于解析几何问题，除了利用曲线的定义、方程进行运算外，还应恰当地利用平面几何

的知识，能起到简化运算的作用.

?2

【链接高考】(2020•天津卷)已知椭圆5+g=l(α>Q0)的一个顶点为40,—3),右焦点

为凡且∣OA∣=∣O∕η,其中。为原点.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知点C满足3沆=5>,点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的

圆相切于点P,且P为线段AB的中点，求直线AB的方程.

解(1)由已知可得6=3.记半焦距为c,由|。Fl=IoAl可得C=Z>=3.

又由。2=序+/,可得°2=i8.

所以椭圆的方程为若+V=L

(2)因为直线A8与以C为圆心的圆相切于点P,所以ABLCP

依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在.

y—kx—3,

设直线AB的方程为y=H—3.由方程组,√

⅛+9=1

消去y,可得(2⅛2+l)x2-12fcc=0,

12”

解得X=O或X=CʌI.

2lic-VI

依题意，可得点B的坐标为］，：、+；).

因为「为线段AB的中点，点A的坐标为(0,-3),

所以点P的坐标为L,fl1,d)

由3沆=/，得点C的坐标为(1,0),

-3

2∣c+1-θ3

故直线C尸的斜率为——=^∑⅛τ.

2⅛ς+T-1

3

又因为ABLCR所以为2〃2_6女+11,

整理得23-3%+1=0,解得R=E或k=1.

所以直线AB的方程为y=^x-3或),=x—3.

•教你如何审题

圆锥曲线中的证明问题

【例题】(2019•北京卷)已知抛物线C：X2=-2py(p>0)经过点(2,-1).

(1)求抛物线C的方程及其准线方程；

(2)设。为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为。的直线/交抛物线C于两点M,N,直线y

=—1分别交直线OM,ON于点A和点A求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

审题路线

J抛物线方程I

求抛物利此物参数°

线方程(2.-∣),的值

T准线方程I

证

联立方程组一

饺

圆

明

程设而不求

过

圆

∣5λ∙5⅞=()定

过

点

M(xl,)ι)

一

定利ItiM.直线OM,点A,B

N(xi,vi)

N坐:标ON方程的坐标

Ll⅛

［自主解答］

(1)解由抛物线C:f=-2py经过点(2,-1)得p=2.

所以抛物线C的方程为A2=-4y,其准线方程为y=l.

(2)证明抛物线C的焦点为F(O,—1).

设直线/的方程为y=fcv-l(Jl≠0).

\y=kx-1,

由,得d+4fcv—4=0.

M=-4y

设M(X1,yι),N(X2,>2),则xiM=—4.

直线OM的方程为y=3∙

ʌi

令》=-1,得点A的横坐标XA=一肃，

同理得B的横坐标物=一孑.

了2

设点0(0,〃)，则而=(一蓝，一1一,，

加=(一卷,Tf),

5A5B=-+(H+1)2

y∖y27

X1X2一」,lλ2

=g+("+l)2=—4+("+IF

令/I力⅛=0,即-4+("+l)2=0,得"=1或”=一3.

综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).

探究提高1.解决本题的关键是直径所对的圆周角为直角，要证明直线经过y轴上定点，

只需满足/Im=0,进而求解.

类似的还有角的关系转化为斜率之间的关系，线段的长度比转化为线段端点的坐标之比.

2.解决此类问题，一般方法是“设而不求”，通过“设参、用参、消参”的推理及运算，

借助几何直观，达到证明的目的.

【尝试训练】(2021•运城一模)已知椭圆C：£+/=1(4*0)的离心率为乎，右焦点为F,

以原点。为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线χ->-√2=0相切.

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，过定点尸(2,0)的直线/交椭圆C于4,8两点，连接AF并延长交C于求证:

ZPFM=NPFB.

(1)解依题意可设圆C的方程为Λ2+y2=",

：圆C与直线X-)，+啦=O相切,

,√2∣

=1,

Λα2-c2=l,由A=乎，解得&=啦,

椭圆C的方程为微+)2=1.

⑵证明依题意可知直线/斜率存在，设/的方程为y=A(χ-2),

代入，+V=],整理得(l+2F)∕-8⅛⅜+8⅛2-2=0,

与椭圆有两个交点，.∙.∕>0,即2⅛2—IvO.

设Aa1,yι),B(X2,y2),直线AF,BF的斜率分别为％∣,k2,

ɪ8⅛28乒一2

mιlX∣+X2=

则TT而,xix2=1+2F∙

VF(1,O),

V2AQi-2)+女(初一2)

—告1211xι-l及一1

(∖I1λ∖「-[+垃—2

-"v∣-^lX2-∖)~^\_X\X2—(X1÷Λ2)÷1_

上—2

l+2⅛2z4Λ2-2

=2&-勺7—2一⅜^=2AT∙ΞFrT=0,

1+2——l+2∕+∣

二NPFM=ZPFB.

*满分答题示范一

圆锥曲线中的定点、定值问题

【例题】(12分)(2018•北京卷)已知抛物线C：V=2pχ经过点尸(1,2).过点Q(O,1)的直线/

与抛物线C有两个不同的交点4,B,且直线方交y轴于M,直线PB交y轴于M

(1)求直线/的斜率的取值范围；

(2)设。为原点，QM=λQO,QN=μQO,求证：为定值.

[规范解答I

⑴解因为抛物线V=2px过点P(l,2),

所以2p=4,即p=2.

故抛物线C的方程为y2=4χ.2'

由题意知，直线/的斜率存在且不为0.

设直线/的方程为y=kx+∖(k≠0).

y2=4x,

由；得⅛2r2+(2%-4)x+l=0.4'

y-kx+1

依题意/=(2氏-4)2-4X⅛2X1>0,

解得Kl,又因为k≠0,故RO或O<K1.

又7¾,PB与y轴相交，故直线/不过点(1,-2).

从而⅛≠—3.

所以直线/斜率的取值范围是(-8,-3)U(-3,O)U(O,1).

6'

⑵证明设A(X1,y∣),8(X2,J2).

2k—41

由(1)知Xl+X2=-&2,XlX2=1.

直线网的方程为y-2==(xT)∙7,

令X=0,得点M的纵坐标为

+2=^4*1+28

•X∖-∖Xi-I

—lζjcιT-1

同理得点N的纵坐标为刈=―ʌ-+2.9,

X2~1

由曲=Z曲，诙=〃曲得

λ=∖-yM^μ-1-jyv.lθ,

所以：+•L=TJ=产9+R-

2〃1—加1—VN(fc-l)ɪi(FC-1)X2

22⅛-4

12X∖X2~(X}+X2)1⅛2'k1

=E=E-ɪ-=2.

F

所以:+,=2为定值12'

高考状元满分心得

❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为扁”，求得满分.

如第(1)问中联立直线方程和抛物线方程，对直线斜率取值的讨论

❷得关键分：解题过程中不可忽视关键点，有则给分，无则没分.如第(1)问中求抛物线的

方程，第(2)问中求点M和N的纵坐标.

❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(2)中用)，用，加表示九〃，计

算的值.

构建模板

3……求圆锥曲线的方程

……联立直线和圆锥曲线的方程

&O)……应用根与系数的关系用参数表示点的坐标

I

建磅……根据相关条件计算推证

I

雨遨……明确结论

【规范训练】(2020•全国I卷)已知A,B分别为椭圆E：，+y2=i(">])的左、右顶点，G

为E的上顶点，AGGB=S,尸为直线x=6上的动点，以与E的另一交点为C,PB与E的

另一交点为D

(1)求E的方程；

(2)证明：直线C。过定点.

⑴解由题设得A(一n,0),B(a,O),G(O,1).

则启=(α,l),GB=(α,-1).

由后∙6h=8,得/-1=8,

解得α=3或α=—3(舍去).

所以椭圆E的方程为您+y2=l.

(2)证明设Ca1,yι),Qa2,竺)，P(6,

若∕≠0,设直线C。的方程为x=my+)7,由题意可知一3<"<3.

易知直线PA的方程为尸枭+3),

所以力=和+3).

易知直线PB的方程为y=∣(χ-3),

所以y2=](χ2-3).

可得3y(x2-3)="(修+3).①

由于料货=1,故货=-Tg,②

由①②可得27yι^2=-(x∣÷3)(x2÷3)»

结合x=my+n,

得(27+m2»]»+加(〃+3)(ʃl+y2)+(〃+3)2=0.③

将X=Wy+〃代入]+y2=l,

得(m2+9)y2+2A∕my+a2-9=0.

2mn“2—9

所以y1+y2=蕨百，yiy2=mr+9-

代入③式

得Q7+trr)(nλ—9)—lfm(n+3)mn+(〃÷3)2(∕w2+9)=0.

3

解得〃=—3(舍去)或n=y

3

+-

〃

故直线CC的方程为2,

即直线CD过定点(|,0)

若/=0,则直线Co的方程为y=0,过点修0).

♦热点跟踪训练

7

1.(2021・长春质量监测)已知椭圆C：，+V=I与X轴正半轴交于点A,与y轴交于B,C

两点.

(1)求过A,B,C三点的圆E的方程；

(2)若O为坐标原点，直线/与椭圆C和(1)中的圆E分别相切于点尸和点。(尸，Q不重合)，

求直线OP与直线EQ的斜率之积.

解(1)由题意知点A(√5,0),不妨设B(0,1),C(0,-1),点E(XE0),则1+庭=(小一队)2,

解得XE=坐，即圆E的方程为Q—乎＞+y2=*

(2)由题意，可设/的方程为y=fcH^m(kW0),

与椭圆C的方程联立，消去y可得(1+2Q)X2+4%加+2m2—2=0,

设PQ⅛,泗)，由判别式/=O可得"=I+2⅛2.

解得XO=T，和=5

由圆E与直线/相切，得圆心到直线的距离等于半径，即4Wh"=8⅛2—8,"2+9.

(m2=1+2⅛2,1

因此由■)厂,,,可得，⅛2=荻

[4y∕2km=8k2~8m2+948

直线OP的斜率kop=-ɪ,直线E。的斜率依O=-ɪ

综上korkEQ=⅛=24∙

2.(2020・兰州质检)已知椭圆C的两个顶点分别为A(—2,0),B(2,0),焦点在X轴上，离心率

'屏

(1)求椭圆C的方程；

(2)点。为X轴上一点，过。作X轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过力作AM的垂

线交BN于点E求证：ABDE与ABDN的面积之比为4:5.

⑴解设椭圆C的方程为a+g=l(α*O),

cι=2,

由题意得｛C√3解得C=√5,所以廿=1,

I=2'

所以椭圆C的方程为5+y2=l.

(2)证明设MO,n),则O(〃7,0),NQn,—n),

由题设知〃z≠±2,且〃HO.

直线AM的斜率心”=一三，

∕H-Γ^Z

1112

故直线。E的斜率kDE=,

所以直线OE的方程为y=一黑工(x—m，

VJ

直线BN的方程为y==Ga—2).

「m+2

y=-^y(χf),

联立J,

d=Ξ⅛i),

解得点E的纵坐标注=一篝鲁.

`4

由点M在椭圆C上，得4—W∕2=4"∖所以>E=一针.

12

又S∆BDE=^BD∖∙∖y^=∙^BD∖∖n∖,

SΔBDW=∣∣BD∣∙∣∏∣,

所以aBDE与ABDN的面积之比为4:5.

3.(2021-南宁模拟)已知E：X2÷4y2=m2(m>0),直线/不过原点。且不平行于坐标轴，/与

E有两个交点A,B,线段AB的中点为M

(1)若机=2,点K在椭圆E上，F∣,B分别为椭圆的两个焦点，求后「病的取值范围.

⑵若/过点(仅，9,射线OM与椭圆E交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形？若能,

求此时直线/的斜率；若不能，说明理由.

解(1)若机=2,则椭圆E：£+)?=1,两个焦点Q(一√5,0),F2(√3,0),

设K(X,y),则指=(x+√5,y),EK=(X—小,y),

/1.呼2=KKKK=(x+y)∙(χ-√3,y)=*+y2-3=-3γ2+l,

因为一1≤y≤1,

所以后「后2的取值范围是

(2)设A,3的坐标分别为(X1,y↑)9(X2,弊),

x∣+4jι=^2,

则两式相减,

W+4货=加2

得(乃÷X2)(X∣—及)+4。[÷>,2)(γi—>2)=0,

1+4X-凶匚回=0

(11+x2)(xi—X2)9

即l+4koM∙Q=0,故koM∙k[=-±.

设P(Xp,yp)9直线/：y=k(x-ni)+y(m≠0,k≠0)9

即/：y=kχ-hn+^(m≠09⅛≠0),

14∕M2it2

从而OM：y=-τpr,代入椭圆方程得，Λ⅜=..∣»

t+∕C^rKIi21

将y=©X—m)+勺与y=一力联立，得XM=4

若四边形OAPB为平行四边形，则M是OP的中点，所以2XM=XP,

即4(/B+:”)=,整理得12后一16&+3=0,解得Z=翼互，经检验满足题意.

所以当直线/的斜率A=耳