数学人教A版高中必修二（2019新编）10-4概率的基本性质（学案）

第04讲概率的基本性质目标导航目标导航课程标准课标解读理解概率的6个基本性质及推论；掌握互斥事件概率、对立事件概率的性质，能解决与古典概型相关的问题；能在实际问题中应用概率的运算法则及性质解决问题.通过本节课的学习，要求会利用概率的基本性质解决实际问题.知识精讲知识精讲知识点概率的基本性质：性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(∅)=0.性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性质3推论：如果事件A1、A2、…、Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B).性质5(概率的单调性)：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).性质5推论：对于任意事件A，0≤P(A)≤1.性质6：设A、B是一个随机试验中的两个事件，我们有显然，性质3是性质6的特殊情况.【微点拨】1.由概率的定义可知：任何事件的概率都是非负的，在每次试验中,必然事件一定发生,不可能事件一定不会发生.2.事件A和事件B互为对立事件，所以和事件A∪B为必然事件，即P(A∪B)=1.由性质3得1=P(A∪B)=P(A)+P(B)3.运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤(1)确定各事件彼此互斥；(2)求各事件分别发生的概率，再求其和.注意：(1)是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的4.求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率【即学即练1】从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（

）A．取出的球至少有1个红球；取出的球都是红球B．取出的球恰有1个红球；取出的球恰有1个白球C．取出的球至少有1个红球；取出的球都是白球D．取出的球恰有1个白球；取出的球恰有2个白球【答案】D【解析】【分析】利用互斥事件、对立事件的定义逐一判断即可.【详解】A答案中的两个事件可以同时发生，不是互斥事件B答案中的两个事件可以同时发生，不是互斥事件C答案中的两个事件不能同时发生，但必有一个发生，既是互斥事件又是对立事件D答案中的两个事件不能同时发生，也可以都不发生，故是互斥而不对立事件故选：D【点睛】本题考查的是互斥事件和对立事件的概念，较简单.【即学即练2】经统计，某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如表：排队人数012345人及以上概率.10.160.30.30.10.04则至少3人排队等候的概率是（）A．0.44 B．0.56 C．0.86 D．0.14【答案】A【解析】根据概率加法公式，分析至少3人排队等候的概率是3人4人5人及以上的概率之和.【详解】设至少3人排队等候为事件，则有，故选：【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式，属于基础题.【即学即练3】从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，那么下列事件中，是对立事件的是（

）A．至少有1个白球；都是红球 B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰好有1个白球；恰好有2个白球 D．至少有1个白球；都是白球【答案】A【解析】【分析】根据对立事件的定义判断．【详解】从装有4个红球和3个白球的袋内任取2个球，在A中，“至少有1个白球”与“都是红球”不能同时发生且必有一个事件会发生，是对立事件.在B中，“至少有1个白球”与“至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件.在C中，“恰好有1个白球”与“恰好有2个白球”是互斥事件，但不是对立事件.在D中，“至少有1个白球”与“都是白球”不是互斥事件.故选：A.【即学即练4】事件A,B的概率分别为,,且,则（）A． B． C． D．无法判断【答案】D【解析】因为事件A,B的关系并不明确,所以无法判断.【详解】因为不知道事件A,B的关系,所以无法判断,故选：D.【点睛】本题主要考查了事件的概率运算法则辨析,属于基础题型.【即学即练5】已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（

）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.9【答案】C【解析】【分析】由对立事件概率关系得到B发生的概率，再由互斥事件的概率计算公式求P(A+B).【详解】因为，事件B与C对立，所以，又，A与B互斥，所以，故选C.【点睛】本题考查互斥事件的概率，能利用对立事件概率之和为1进行计算，属于基本题.【即学即练6】某人在打靶中连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是（）A．至少有一次中靶 B．只有一次中靶C．两次都中靶 D．两次都不中靶【答案】C【解析】【分析】至多有一次的反面是至少有两次.【详解】射击两次中靶的次数可能是0，1，2.至多1次中靶，即中靶次数为0或1，故它的对立事件为中靶两次.选C.【点睛】本题考查对立事件的概念，解题关键是掌握至少、至多等词语的否定.【即学即练7】某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为（）A．0.30 B．0.40 C．0.60 D．0.90【答案】B【解析】先求出此射手在一次射击中大于等于8环的概率，即可求出结果.【详解】记“此射手在一次射击中大于等于8环”为事件，由题意可得，所以，此射手在一次射击中不够8环的概率为.故选B【点睛】本题主要考查对立事件，熟记对立事件的性质即可，属于基础题型.【即学即练8】已知随机事件和互斥，且，，则（）A．0.5 B．0.1 C．0.7 D．0.8【答案】A【解析】【分析】由，可求出，进而可求出.【详解】因为事件和互斥，所以,则，故.故答案为A.【点睛】本题考查了互斥事件概率加法公式，考查了对立事件的概率求法，考查了计算求解能力，属于基础题．【即学即练9】某家庭电话,打进的电话响第一声时被接的概率为,响第二声时被接的概率为,响第三声时被接的概率为,响第四声时被接的概率为,则电话在响前四声内被接的概率为()A． B． C． D．【答案】B【解析】【详解】设“电话响第一声被接”为事件A,“电话响第二声被接”为事件B,“电话响第三声被接”为事件C,“电话响第四声被接”为事件D,则A,B,C,D两两互斥,从而P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.故选B.【点睛】本题的难点在于把电话在响前四声内被接这个事件分解为哪几个互斥事件，根据题意，它可以分解为四个互斥事件,P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D).【即学即练10】若事件A和B是互斥事件,且P(A)=0.1,则P(B)的取值范围是()A．[0,0.9] B．[0.1,0.9] C．(0,0.9] D．[0,1]【答案】A【解析】【详解】本题主要考查互斥事件的概率关系.由于事件A和B是互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+P(B),又0≤P(A∪B)≤1,所以0≤0.1+P(B)≤1,所以0≤P(B)≤0.9,故选A.【即学即练11】已知随机事件发生的概率满足条件，某人猜测事件发生，则此人猜测正确的概率为（

）A．1 B． C． D．0【答案】C【解析】【详解】事件与事件是对立事件，，故选：C．【即学即练12】下列说法正确的是（

）A．任一事件的概率总在内B．不可能事件的概率一定为0C．必然事件的概率一定为1D．概率是随机的，在试验前不能确定【答案】ABC【解析】【分析】结合概率的定义和性质逐一判断各个选项即可.【详解】由概率的定义及性质知，任一事件的概率总在内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值，所以，选项A，B，C是正确的，D是错误的.故选：ABC【即学即练13】黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：血型ABABO该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血，下列结论正确的是（

）A．任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64B．任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29C．任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1D．任找一个人，其血可以输给型血的人的概率为1【答案】AD【解析】根据输血的规则，可以输给B型血的人为B或O型；B型血的人可以输血给B型或血型；可以输给O型血的人只能是O型；所有人都可以输给型血的人.【详解】任找一个人，其血型为A、B、、O型血的事件分别记为、、、，它们两两互斥.由已知，有，，，.因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“可以输给B型血的人”为事件，根据概率的加法公式，得，故A正确；B型血的人能为B型、型的人输血，其概率为，B错误；由O型血只能接受O型血的人输血知，C错误；由任何人的血都可以够给型血的人，知D正确.故选：AD.【点睛】此题考查互斥事件概率加法公式，关键在于弄清题意，此题应弄清楚可以输血的规则.【即学即练14】(多选题)张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是（）A．抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则李华获胜B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华获胜D．张明､李华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜【答案】ACD【解析】分别判断每个游戏每人获胜的概率是否相等即可.【详解】选项A中,向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等,A符合题意;选项B中,张明获胜的概率是,而李华获胜的概率是,故游戏规则不公平,B不符合题意;选项C中,扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等,C符合题意;选项D中,两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等,D符合题意.故选：ACD【点睛】本题主要考查了根据事件的概率判断游戏是否公平的问题,属于基础题型.【即学即练15】中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是，乙夺得冠军的概率是，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为__________.【答案】【解析】【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可求解.【详解】设“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，则，.∵A，B是互斥事件，∴.【即学即练16】已知P(A)=0.4，P(B)=0.2.（1）如果B⊆A，则P(A∪B)=________，P(AB)=________；（2）如果A，B互斥，则P(A∪B)=________，P(AB)=________.【答案】

0.4

0.2

0.6

0【分析】（1）根据事件的包含关系计算概率；（2）根据互斥事件的定义计算概率．【详解】（1）因为B⊆A，所以P(A∪B)=P(A)=0.4，P(AB)=P(B)=0.2.（2）如果A，B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6，P(AB)=0.故答案为：0.4；0.2；0.6；0．【即学即练17】事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P()＝________．【答案】【解析】由已知中事件A、B互斥，由它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，可求，进而根据对立事件概率减法公式得到答案.事件A、B互斥，且P(A)＝2P(B)，它们都不发生的概率为，.解得，,.故答案为.【点睛】本题考查的知识点是互斥事件概率加法公式，对立事件概率减法公式.【即学即练18】一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，某种情况下甲熔断的概率为0.85，乙熔断概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，问该情况下至少有一根熔断的概率是多少？【答案】.【解析】【分析】根据给定条件利用概率的加法公式直接计算作答.【详解】设A=“甲熔丝熔断”，B=“乙熔丝熔断”，则有，，“甲、乙两根熔丝同时熔断”为事件，有，“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件，于是得，所以甲、乙至少有一根熔断的概率是.能力拓展能力拓展考法01基本事件的关系：【典例1】抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为”，其中，“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是（

）A． B． C．与互斥 D．与对立【答案】C【解析】【分析】对于选项中的事件，分别写出对应的基本事件构成的集合，依次分析，即可【详解】对于A，，，∴，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，与不能同时发生，是互斥事件，故C正确；对于D，，，与是互斥但不对立事件，故D错误；故选：C【典例2】若，则互斥事件和B的关系是（

）A． B．A，B是对立事件C．A，B不是对立事件 D．A=B【答案】B【解析】【分析】根据概率性质，，即可判断与的关系.【详解】由题意，事件与是互斥事件，则，则，是对立事件.故选：B【典例3】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是（

）A．A⊆DB．B∩D＝C．A∪C＝DD．A∪B＝B∪D【答案】D【解析】【分析】按照事件间的互斥关系和包含关系分析求解即可.【详解】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中．故A⊆D，A∪C＝DB，D为互斥事件，B∩D＝；A∪B＝“两个飞机都击中或者都没击中”，B∪D为必然事件，这两者不相等故选：D【典例4】从1，2，3，4，5中任取两个数，下列事件中是互斥事件但不是对立事件的是（

）A．至少有一个是奇数和两个都是奇数 B．至少有一个是奇数和两个都是偶数C．至少有一个奇数和至少一个偶数 D．恰有一个偶数和没有偶数【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件与对立事件的概念,依次判断选项即可.【详解】从1,2,3,4,5中任取两个数对于A,至少有一个是奇数和两个都是奇数,两个事件有重复,所以不是互斥事件,所以A错误;对于B,至少有一个是奇数和两个都是偶数,两个事件互斥,且为对立事件,所以B错误;对于C,至少有一个奇数和至少一个偶数,两个事件有重复,所以不是互斥事件,所以C错误.对于D,恰有一个偶数和没有偶数,为互斥事件.且还有一种可能为两个都是偶数,所以两个事件互斥且不对立,所以D正确.综上可知,D为正确选项故选:D【点睛】本题考查了互斥事件与对立事件的概念和判断,属于基础题.【典例5】一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（

）A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件B．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件C．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件D．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件【答案】BD【解析】【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案【详解】对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A错误对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B正确对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C错误.对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D正确故选：BD【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的概念，属于简单题考法02概率的基本性质的运算：【典例6】抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)=（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】【分析】写出事件包含的基本事件，可得概率．【详解】A包含向上的点数是1，3，5的情况，B包含向上的点数是1，2，3的情况，所以A∪B包含了向上的点数是1，2，3，5的情况.故P(A∪B)=.故选：B．【典例7】若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答.【详解】因随机事件，互斥，则，依题意及概率的性质得，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：C【典例8】如果事件A与B是互斥事件，且事件的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】C【解析】根据互斥事件概率的加法公式即可求解.【详解】因为事件A与B是互斥事件，所以，又因为，所以.故选：C【点睛】此题考查互斥事件概率加法公式的应用，属于简单题目.【典例9】已知随机事件和互斥，且,.则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件的概率公式可求得，利用对立事件概率公式求得结果.【详解】与互斥

，本题正确选项：【点睛】本题考查概率中的互斥事件、对立事件概率公式的应用，属于基础题.【典例10】在一个试验模型中，设A表示一个随机事件，表示A的对立事件.以下结论正确的是（

）A． B． C．若，则 D．【答案】BCD【解析】根据对立事件及其概率关系，即，进行判别.【详解】选项A，由对立事件的性质,不一定正确；由对立事件的概念得，即，B正确；由对立事件的性质知，，故若，则，C正确；由对立事件的概念得，即，D正确.故选：BCD.【点睛】此题考查对立事件及其概率的关系，需要对题目进行准确辨析.【典例11】从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85)(g)范围内的概率是________．【答案】0.02【解析】【分析】把质量小于4.85g的事件分拆成质量小于4.8g的事件与质量在[4.8，4.85)(g)范围内的事件的和，再利用概率的加法公式即可得解.【详解】从羽毛球产品中任取一个，A={质量小于4.8g}，B={质量在[4.8，4.85)(g)范围内}，C={质量小于4.85g}，事件A与B互斥，且C=A+B，而P(A)=0.3，P(C)=0.32，由P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)，得P(B)=P(C)-P(A)=0.32-0.3=0.02，所以质量在[4.8，4.85)(g)范围内的概率是0.02.故答案为：0.02考法03概率基本性质的实际应用【典例12】甲、乙、丙三位同学独立地解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为，则有人能够解决这个问题的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】可先求得没有人能解决这个问题的概率,再根据对立事件的性质求得有人能够解决这个问题的概率即可.【详解】“没有人能解决这个问题”的概率为所以“有人能解决这个问题”的概率为，故选:A.【点睛】本题考查了对立事件概率的性质及简单应用,属于基础题.【典例13】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】B【解析】【分析】由公式计算可得【详解】设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则因为，所以，故选B.【点睛】本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题．【典例14】某学校成立了数学､英语､音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则（

）A．他只属于音乐小组的概率为 B．他只属于英语小组的概率为C．他属于至少2个小组的概率为 D．他属于不超过2个小组的概率为【答案】CD【解析】【分析】由题图知参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60人，只属于数学､英语､音乐小组的人数分别为10，6，8人，然后利用古典概型的概率公式逐个分析求解对应的概率即可【详解】由题图知参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60人，只属于数学､英语､音乐小组的人数分别为10，6，8人，故只属于音乐小组的概率为，只属于英语小组的概率为，“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为，“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率是.故选：CD.【典例15】利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是（

）.A． B． C． D．【答案】ABC【解析】【分析】根据事件的关系及运算求解．【详解】由题意知A，B，C为互斥事件，故C正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以，，则，故A、B，C正确；故D错误.故选ABC.【点睛】本题考查事件的关系及古典概型的概率计算，属于基础题．【典例16】甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，他们跑每一棒的概率均为.则甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为________.【答案】【解析】【分析】根据甲乙两人接力位置的不同共有12种不同结果，而同时满足甲跑第一棒，乙跑第四棒只有1种结果，此种情况的概率为，再由概率的计算公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)即可得解.【详解】设事件A＝“甲跑第一棒”，事件B＝“乙跑第四棒”，则P(A)＝，P(B)＝.记甲跑第x棒，乙跑第y棒为(x，y)，则共有可能结果12种：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3).甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种结果，即(1，4)，故P(A∩B)＝；所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝.故答案为：【典例17】某次知识竞赛规则如下：主办方预设3个问题，选手能答对这3个问题，即可晋级下一轮，假设某选手回答正确的个数为0，1，2的概率分别是0.1，0.2，0.3，则该选手晋级下一轮的概率为__________.【答案】0.4【解析】由题可分析得到“晋级下一轮”与“答对问题个数0,1,2的和事件”为对立事件,进而求解即可【详解】记“答对0个问题”为事件A,“答对1个问题”为事件B,“答对2个问题”为事件C,“答对3个问题（即晋级下一轮）”为事件D,则“不能晋级下一轮”为事件D的对立事件,显然,故,故答案为：0.4【点睛】本题考查对立事件的概率,考查互斥事件的概率加法公式的应用.【典例18】掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.求：(1)A∩B，BC及相应的概率(2)A∪B，B+C及相应的概率；(3)记为事件H的对立事件，求及相应的概率.【答案】(1)A∩B=，BC={2}，概率为0，(2)A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}，概率为1，(3)={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.所求概率为【分析】（1）A∩B表示同时发生，BC表示同时发生，利用古典概型公式即求；（2）A∪B表示至少有一个事件发生，表示至少有一个事件发生，利用古典概型公式即求；（3）表示的对立事件；等价于同时发生；等价于至少有一个事件发生；等价于的对立事件与的对立事件至少有一个事件发生，利用古典概型公式即求.【解析】(1)由题可知，，，，∴，，，，∴A∩B=，BC={2}，所求概率为，.(2)A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}，所求概率为，.(3)={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.所求概率为；；；.【典例19】已知是一个三位正整数，若的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如135，256，345等）．现要从甲、乙两名同学中选出人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛．(1)由1，2，3，4，5，6可组成多少个“三位递增数”？分别用树状图法和列举法解答．(2)这种选取规则对甲、乙两名同学公平吗？请说明理由．【答案】(1)答案见解析(2)对甲、乙两名同学不公平，理由见解析．【解析】【详解】（1）树状图法：画出树状图，如图所示：从上面的树状图，知由1，2，3，4，5，6可组成20个“三位递增数”；列举法：由题意，知由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20个，故由1，2，3，4，5，6可组成20个“三位递增数”．（2）不公平．理由如下：由（1），知由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个记“甲参加数学竞赛”为事件，事件包含的样本点有124，126，134，136，146，156，234，236，246，256，346，356，456，共13个．所以．记“乙参加数学竞赛”为事件，则事件包含的样本点有123，125，135，145，235，245，345，共7个．所以．因为，所以该选取规则对甲、乙两名同学不公平．分层提分分层提分题组A基础过关练1．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷一次，设事件表示向上的一面出现奇数点，事件表示向上的一面出现的点数不超过3，事件表示向上的一面出现的点数不小于4，则（

）A．与是互斥而非对立事件 B．与是对立事件C．与是互斥而非对立事件 D．与是对立事件【答案】D【解析】【分析】首先分别求出事件，，所包含的基本事件，再根据互斥事件和对立事件的定义即可判断事件，的关系.【详解】事件包含，，，共个基本事件.事件包含，，，共个基本事件.事件包含，，，共个基本事件.因为出现点数或，所以与不互斥也不对立.因为，，所以与是对立事件.故选：D【点睛】本题主要考查互斥事件和对立事件，熟练掌握互斥和对立事件的概念为解题的关键，属于简单题.2.在一次随机试验中，事件A，B，C彼此互斥，它们的和为必然事件，则下列说法正确的是（

）A．A与C是互斥事件，也是对立事件B．与B是互斥事件，也是对立事件C．与B是互斥事件，但不是对立事件D．A与是互斥事件，也是对立事件【答案】D【解析】根据互斥与对立事件的意义逐个辨析即可.【详解】由于A,B,C彼此互斥,且是必然事件,所以A与C是互斥事件,但不是对立事件,A错误；与B可以同时发生,不是互斥事件,也不是对立事件,B错误；任何一个事件与其余两个事件的和事件必然是对立事件,故C错误,D正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了互斥与对立事件的辨析,属于基础题型.3.甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据事件关系，靶为被击中即甲乙均未击中；靶被击中即至少一人击中，分为恰有一人击中或两人都击中，依次判定即可.【详解】由题可得：①，正确；②事件“靶被击中”，表示甲乙同时击中，，所以②错误；③，正确，④表示靶被击中，所以④错误；⑤，正确；⑥互为对立事件，，正确；⑦，所以⑦不正确．正确的是①③⑤⑥．故选：B【点睛】此题考查事件关系和概率关系的辨析，需要熟练掌握事件的关系及其运算，弄清事件特征及其概率特征准确辨析.4.．盒子中有若干个红球和黄球，已知从盒中取出2个球都是红球的概率为，从盒中取出2个球都是黄球的概率是，则从盒中任意取出2个球恰好是同一颜色的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据和事件的概率求解即可求得结果.【详解】设“从中取出个球都是红球”为事件；“从中取出个球都是黄球”为事件；“任意取出个球恰好是同一颜色”为事件，则，且事件与互斥，即任意取出个球恰好是同一颜色的概率为，本题正确选项：.【点睛】本题考查和事件概率的计算，属于基础题.5.从一批羽毛球中任取一个，其质量小于克的概率为，质量不小于克的概率为，则质量在单位：克范围内的概率为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据互斥事件的概率公式求解即可得到答案．【详解】由互斥事件的概率计算公式可得质量在单位：克范围内的概率为．故选B．【点睛】求解复杂事件的概率时，可将该事件化为若干个互斥事件的和事件，然后根据互斥事件的概率公式求解．对于一些不容易直接求概率的问题，可利用对立事件的概率求解，特别是含有“至多”、“至少”等字样的问题，一般用此方法求解．6.若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则m+n≠5的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】基本事件总数n＝6×6＝36，利用列举法能求出m+n＝5包含的基本事件有4个，由此利用对立事件概率计算公式能求出m+n≠5的概率．【详解】连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，基本事件总数n＝6×6＝36，m+n＝5包含的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），共4个，∴m+n≠5的概率是p＝1．故选B．【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.从装有3个红球和3个白球的口袋里任取3个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少2个白球，都是红球 B．至少1个白球，至少1个红球C．至少2个白球，至多1个白球 D．恰好1个白球，恰好2个红球【答案】A【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件的定义对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．【详解】选项A中，“至少2个白球”包括“2个白球”和“2个白球和个红球”两种情况，“都是红球”即为“3个红球”．故这两个事件不可能同时发生，而这两个事件的和事件不是必然事件，故A正确．选项B中，“至少1个白球”包括“1个白球2个红球”、“2个白球和1个红球”、“3个白球”三种情况；“至少1个红球”包括“1个红球2个白球”、“2个红球和1个白球”、“3个红球”三种情况．所以这两个事件不互斥，所以B不正确．选项C中，“至少2个白球”包括“2个白球1个红球”、“3个白球”两种情况；“至多1个白球”包括“1个白球和2个红球”、“3个红球”两种情况，所以这两个事件为对立事件，故C不正确．选项D中，“恰好1个白球”和“恰好2个红球”为同一事件，所以D不正确．故选A．【点睛】解答本题的关键是分清互斥事件和对立事件的关系，由定义可得互斥事件不一定对立，而对立事件一定为互斥事件．解答类似问题时很容易出现错误，解题时首先要弄清所有的试验结果，然后再根据所求进行求解、判断．8.有三箱粉笔，每箱中有100盒，其中有一盒是次品，从这三箱粉笔中各抽出一盒，则这三盒中至少有一盒是次品的概率是()A．0.01×0.992 B．0.012×0.99C．0.01×0.992 D．1－0.993【答案】D【解析】【分析】根据题意求出事件“三盒中没有次品”的概率，然后根据互斥事件的概率和为1，即可得到答案【详解】设A＝“三盒中至少有一盒是次品”，则＝“三盒中没有次品”，又＝0.993，所以P(A)＝1－0.993.故选【点睛】本题主要考查了互斥事件概率的求法，解题的关键是熟练掌握互斥事件的概率和为1，属于基础题．9.．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．10.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是()A．恰有1件一等品 B．至少有一件一等品C．至多有一件一等品 D．都不是一等品【答案】C【解析】【分析】将件一等品编号为，件二等品的编号为，列举出从中任取件的所有基本事件的总数，分别计算选项的概率，即可得到答案．【详解】将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P1＝，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率为P2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－＝.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中明确古典概型的基本概念，以及古典的概型及概率的计算公式，合理作出计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．11.某产品分为优质品、合格品、次品三个等级.生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03.在该产品中任抽一件，则抽得优质品的概率是（）A．0.28 B．0.72 C．0.75 D．0.97【答案】B【解析】【分析】根据对立事件的概率公式，计算求得结果.【详解】根据题意，对该产品抽查一次抽得优质品的概率是，故选B.【点睛】该题考查的是有关随机事件发生的概率的求解问题，在解题的过程中，需要对题意进行分析，得到共有三种情况，其中两种情况的概率已经给出，所以应用对立事件发生的概率公式求得结果.12.从一箱分为四个等级的产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到次品（一等品、二等品、三等品都属于合格品）”的概率为（

）A．0.7 B．0.65 C．0.3 D．0.05【答案】D【解析】【分析】利用概率的加法公式以及对立事件的概率即可求解.【详解】“抽到次品”的概率：.故选：D13.从1，2，3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设事件A“摸出的数为偶数”，事件B“摸出的数能被5整除”，则由题意可得，从而可求出的值【详解】设事件A“摸出的数为偶数”，事件B“摸出的数能被5整除”，则，所以.故选:B.14.从1，2，3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设事件A“摸出的数为偶数”，事件B“摸出的数能被5整除”，则由题意可得，从而可求出的值【详解】设事件A“摸出的数为偶数”，事件B“摸出的数能被5整除”，则，所以.故选:B.15.将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6）先后抛掷3次，至少出现1次6点向上的概率是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正难则反原则，先求出“抛掷3次都没有出现6点向上”事件的概率，由对立事件的概率性质，计算可得答案.【解析】将一颗质地均匀的骰子先后掷3次，这3次之间是相互独立，记事件为“抛掷3次，至少出现一次6点向上”，则为“抛掷3次都没有出现6点向上”，记事件为“第次中，没有出现6点向上”，，则，又，所以，所以.故选：D.【点睛】本题考查对立事件的性质和概率计算，利用了正难则反的原则，属于基础题.16.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，∴P(A)，P(B)，又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P（A∪B）＝P(A)+P(B)，故选：A．【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．17.某城市2017年的空气质量状况如下表所示：污染指数3060100110130140概率其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可.【详解】由表知空气质量为优的概率是，由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为，所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率，故选：A【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.18.从、、、这个数中一次随机地取个数，记所取的这个数的和为，则下列说法错误的是（

）A．事件“”的概率为B．事件“”的概率为C．事件“”与事件“”为互斥事件D．事件“”与事件“”互为对立事件【答案】B【解析】【分析】列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可判断A、B选项的正误，利用互斥事件的概念可判断C选项的正误，利用对立事件的概念可判断D选项的正误，综合可得出结论.【详解】从、、、这个数中一次随机地取个数，所有的基本事件有：、、、、、，共种，事件“”包含的基本事件有：、，共个，则；事件“”包含的基本事件有：、、、，则；由互斥事件的定义可知，事件“”与事件“”为互斥事件；事件“”包含的基本事件有：，事件“”包含的基本事件有：、、、、，由对立事件的定义可知，事件“”与事件“”互为对立事件.综上所述，A、C、D选项正确，B选项错误.故选：B.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，同时也考查了互斥事件和对立事件的判断，考查计算能力与推理能力，属于基础题.题组B能力提升练1.（多选题）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】【分析】求出事件A，B的频率即得对应概率，再用互斥事件的加法公式计算，然后逐一判断得解.【详解】依题意，，，显然事件A，B互斥，，事件B，C互斥，则，于是得选项A，B，C都正确，选项D不正确.故选：ABC2.（多选题）袋子里有4个大小、质地完全相同的球，其中有2个红球、2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，事件“两个球颜色相同”，事件“两个球颜色不同”，事件“第二次摸到红球”，事件“两个球都是红球”.下列说法正确的是（

）A． B．C与D互斥 C．D．【答案】ACD【解析】【分析】根据事件的概率、互斥事件、事件的包含关系对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】A，由于，所以，A正确.B，事件与事件都包括“第次是红球，第次是红球”，所以不是互斥事件，B错误.C，由于事件“第二次摸到红球”包含了事件“两个球都是红球”，所以，C正确.D，，，，所以，D正确.故选：ACD3.（多选题）下列说法正确的为（

）A．在袋子中放有2白2黑大小相同的4个小球，甲乙玩游戏的规则是从中不放回的依次随机摸出两个小球，如两球同色则甲获胜，否则乙获胜，那么甲获胜的概率为.B．做n次随机试验，事件A发生的频率可以估计事件A发生的概率C．必然事件的概率为1.D．在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验为古典概型.【答案】BC【解析】【分析】对于A，根据古典概型的概率求解即可；对于B，根据概率的性质判断即可；对于C，根据必然事件的性质判断即可；对于D，根据古典概型的定义判断即可【详解】逐一分析判断每一个选项：对于A，从4个小球中选取两个小球共有种方案，其中两个小球颜色相同的方案数为2种，故甲获胜的概率为，故A选项错误；对于B，随着事件次数的增加，频率会越来越接近概率，故事件A发生的频率可以估计事件A发生的概率，故B选项正确；对于C，必然事件一定发生，故其概率是1，故C选项正确；对于D，古典概型要求随机事件的结果可能性相等，在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验发芽与不发芽可能性不一定相等，故D选项错误；故选：BC.4.（多选题）高一（2）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，则（

）A．恰有一名参赛学生是男生的概率为 B．至少有一名参赛学生是男生的概率为C．至多有一名参赛学生是男生的概率为 D．两名参赛学生都是男生的概率为【答案】AC【解析】【分析】从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛，共有15种等可能的结果，对于A，恰有一名参赛学生是男生，即从3名男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有3×3=9(种)结果，从而可求出概率；对于B，先求其对立事件“两名参赛学生都是女生”的概率，再求所求概率；对于D，从3名男生中任选2人有3种结果，从而可求出概率；对于C，“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”，所以用1减去D项的概率即可【详解】从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛，共有15种等可能的结果.恰有一名参赛学生是男生，即从3名男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有3×3=9(种)结果，所以恰有一名参赛学生是男生的概率为，A对；“至少有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是女生”，从3名女生中任选2人有3种结果，所以至少有一名参赛学生是男生的概率为，B错；“两名参赛学生都是男生”，从3名男生中任选2人有3种结果，其概率为，D错；“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”，所以至多有一名参赛学生是男生的概率为，C对.故选：AC5.口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤.【答案】①④【解析】【分析】在①中，由对立事件定义得与为对立事件；有②中，与有可能同时发生；在③中，与有可能同时发生；在④中，（C）（E）；在⑤中，从而（B）（C）．【详解】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”，①，由对立事件定义得与为对立事件，故①正确；②，与有可能同时发生，故与不是互斥事件，故②错误；③，与有可能同时发生，不是对立事件，故③错误；④，（C），（E），，从而（C）（E），故④正确；⑤，，从而（B）（C），故⑤错误．故答案为：①④．【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，考查对立互斥事件，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件等基本概念的合理运用．6.在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为，则取得两个同颜色的玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________．【答案】

【解析】“取得两个同颜色的球”是由“取得两个红球”与“取得两个绿球”的和事件，利用互斥事件的概率公式求出概率；“至少取得一个红球”与“取得两个绿球”为对立事件，利用对立事件的概率公式求出概率．【详解】取得两个同颜色的玻璃球包括两个红玻璃球或两个绿玻璃球故取得两个同颜色的玻璃球的概率；“至少取得一个红玻璃球”的对立事件是“取得两个绿玻璃球”故至少取得一个红玻璃球的概率故答案为：；【点睛】本题考查互斥事件的概率公式；对立事件的概率公式.7.在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A+发生的概率为________（表示的对立事件）．【答案】【解析】【分析】由题意知试验发生包含的所有事件是6，事件和事件是互斥事件，求出事件和事件包含的基本事件数，根据互斥事件和古典概型概率公式得到结果．【详解】随机抛掷一颗骰子一次共有6中不同的结果，其中事件“出现不大于4的偶数点”包括2，4两种结果，，事件“出现小于5的点数”的对立事件，，，且事件和事件是互斥事件，．故答案为：【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的概率，分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件.8.在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M（男）、F（女））及年级（（高一）、（高二）、（高三））分类统计的人数如下表：M182014F17247若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：____________，____________，____________，____________，____________，____________，____________【答案】

0

【解析】根据频数依题意求得概率即可【详解】；；；；；；故答案为：（1）；（2）；（3）1；（4）0；（5）0.35；（6）0.76；（7）0.07【点睛】本题考查利用频数求概率,考查概率公式的应用.C培优拔尖练1.掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.求：（1）A∩B，BC；（2）A∪B，B+C；（3）记为事件H的对立事件，求.【答案】（1）A∩B=，BC={2}；（2）A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}；（3）={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.【解析】【分析】（1）A∩B表示同时发生，BC表示同时发生；（2）A∪B表示至少有一个事件发生，表示至少有一个事件发生；（3）表示的对立事件；等价于同时发生；等价于至少有一个事件发生；等价于的对立事件与的对立事件至少有一个事件发生.【详解】∵，，，，∴，，，∴（1）A∩B=，BC={2}；（2）A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}；（3）={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.2.袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．【答案】取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是．【解析】【分析】根据互斥事件的概率公式，通过解方程组进行求解即可.【详解】从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D显然是两两互斥的．由题意，得即解得故取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是．3.在某次数学考试中，小江的成绩在90分以上的概率是0.25，在的概率是0.48，在的概率是0.11，在的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.计算：（1）小江在此次数学考试中取得80分及以上的概率；（2）小江考试及格（成绩不低于60分）的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，运用互斥事件的概率加法公式计算，即可求解.（2）方法一：根据互斥事件概率加法公式可计算；方法二：根据对立事件的概率公式，计算可求解.【详解】（1）分别记小江的成绩在90分以上，在，，为事件，，，，这四个事件彼此互斥.小江的成绩在80分及以上的概率.（2）方法一：小江考试及格（成绩不低于60分）的概率.方法二：小江考试不及格（成绩在60分以下）的概率是0.07，根据对立事件的概率公式，得小江考试及格（成绩不低于60分）的概率是.【点睛】本题考查（1）互斥事件的概率加法公式；（2）对立事件的概率公式，考查计算能力，属于基础题.4.从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示：红灯个数0123456个及6个以上概率0.020.10.350.20.10.03(1)求表中字母的值；(2)求至少遇到4个红灯的概率；(3)求至多遇到5个红灯的概率.【答案】(1)0.2；(2)0.33；(3)0.97.【解析】（1）根据概率之和为1，由题中数据，即可列出等式，求出的值；（2）根据互斥事件的概率计算公式，由题中数据，即可求出结果；（3）根据对立事件的概率计算公式，即可求出结果.【详解】(1)由题意可得，解得.(2)设事件为遇到红灯的个数为4，事件为遇到红灯的个数为5，事件为遇到红灯的个数为6个及以上，则事件“至少遇到4个红灯”为，因为事件互斥，所以，即至少遇到4个红灯的概率为0.33.(3)设事件为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件.则.【点睛】本题主要考查互斥事件的概率计算，以及概率的性质的应用，熟记概率计算公式，以及概率的性质即可，属于常考题型.5.已知某医疗诊所的急诊室有3名男医生和2名女医生，从中任选2名去参加医德培训下列各组事件是不是互斥事件？是不是对立事件？并说明理由.（1）“恰有1名男医生”和“恰有2名男医生”；（2）“至少有1名男医生”和“至少有1名女医生”；（3）“至少有1名男医生”和“全是男医生”；（4）“至少有1名男医生”和“全是女医生”.【答案】（1）是互斥事件，但不是对立事件；（2）不是互斥事件，也不是对立事件；（3）不是互斥事件，也不是对立事件；（4）是互斥事件，也是对立事件；理由见解析.【解析】（1）两个事件不能同时发生，但可能同时不发生；（2）两个事件可以同时发生；（3）两个事件可以同时发生；（4）两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，【详解】（1）是互斥事件，但不是对立事件.理由：所选的2名医生中，“恰有1名男医生”说明选出的是“1名男医生和1名女医生”，它与“恰有2名男医生”不可能同时发生，所以是互斥事件，同时，不能保证其中必有一个发生，因为还可能出现“2名都是女医生”的情况因此，二者不是对立事件.（2）不是互斥事件，也不是对立事件.理由：“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”，“至少有1名女医生”包括“1名女医生和1名男医生”与“2名都是女医生”，它们共同含有“1名男医生和1名女医生”，能够同时发生，因此不互