《1.1集合的概念》教案、导学案与同步练习

第一章集合与常用逻辑用语《1.1集合的概念》教案【教材分析】由于空间时间维度的不同，同一个事物会有不同的解释，如：在平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个圆；而在空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成一个球面。因此明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础。为了简洁、准确地表达数学对象及研究范围，我们需要使用集合的语言和工具。作为高中数学的第一节，本节主要通过实例研究研究集合的含义，表示方法及表示方法，比较简单。【教学目标与核心素养】课程目标1.了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号．2.深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．3.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受集合语言的意义和作用。数学学科素养1.数学抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法；2.逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用；3.数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算；4.数据分析：元素在集合中对应的参数满足的条件；5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。【教学重难点】重点：集合的基本概念，集合中元素的三个特性，元素与集合的关系，集合的表示方法．难点：元素与集合的关系，选择适当的方法表示具体问题中的集合．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。【教学过程】一、预习课本，引入新课阅读课本2-5页，思考并完成以下问题1.集合和元素的含义是什么？各用什么字母表示？2.集合有什么特性？3.元素和集合之间有哪两种关系？有什么符号表示？4.常见的数集有哪些？用什么字母表示？5.集合有哪两种表示方法？它们如何定义？6.它们各自有什么特点？7.它们使用什么符号表示？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。二、知识归纳、梳理1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素的特性：确定性、无序性、互异性．2．元素与集合的关系关系语言描述记法读法属于a是集合A中的元素a∈Aa属于集合A不属于a不是集合A中的元素a∉Aa不属于集合A3．常用的数集及其记法常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NNZQR4．列举法把集合的元素一一列举出来出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．5．描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．三、典例分析、举一反三题型一集合的含义例1考查下列每组对象，能构成一个集合的是()①某校高一年级成绩优秀的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③ D．②④【答案】B解题技巧：（判断一组对象能否组成集合的标准）判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．跟踪训练一1．给出下列说法：①中国的所有直辖市可以构成一个集合；②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合；③正偶数的全体可以构成一个集合；④大于2013且小于2018的所有整数不能构成集合．其中正确的有________．(填序号)【答案】①③题型二元素与集合的关系例2(1)下列关系中，正确的有()①eq\f(1,2)∈R；②eq\r(2)∉Q；③|－3|∈N；④|－eq\r(3)|∈Q.A．1个B．2个C．3个 D．4个(2)集合A中的元素x满足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．【答案】(1)C(2)0,1,2解题技巧：判断元素与集合关系的两种方法（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。跟踪训练二2．已知集合A中有四个元素0,1,2,3，集合B中有三个元素0,1,2，且元素a∈A，a∉B，则a的值为()A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】∵a∈A，a∉B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3.3．用适当的符号填空：已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，则有：17________A；－5________A.【答案】∈∉【解析】令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A.令3k＋2＝－5得，k＝－eq\f(7,3)∉Z.所以－5∉A.题型三集合中元素的特性及应用例3已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．【答案】-1【解析】若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.变式1．[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．【答案】a＝2，或a＝eq\r(2)，或a＝－eq\r(2)【解析】若2∈A，则a＝2或a2＝2，即a＝2，或a＝eq\r(2)，或a＝－eq\r(2).变式2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？【答案】a≠0且a≠1【解析】若A中有两个元素a和a2，则由a≠a2解得a≠0且a≠1.变式3．[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．【答案】a=0【解析】由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1.当a＝a2时，a＝0或1(舍去)．综上可知，a＝0.解题技巧：（根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤）题型四用列举法表示集合例4用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．【答案】见解析【解析】(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0,1，－1}．(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．解题技巧（用列举法表示集合的三个步骤）1.求出集合的元素；2.把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；3.用花括号括起来。跟踪训练四4．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是()A．1B．2C．3 D．4【答案】B【解析】集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．5．用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A.(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B方.(3)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.【答案】见解析【解析】(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．(2)方程x2－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋3，,y＝－2x＋6))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4，))所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，所以D＝{(1,4)}．题型五用描述法表示集合例5用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的正整数的集合；(2)坐标平面内第一象限的点的集合；(3)大于4的所有偶数．【答案】见解析【解析】(1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}．(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x＞0，y＞0}．(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．解题技巧（描述法表示集合的2个步骤）跟踪训练五6．用符号“∈”或“∉”填空：(1)A＝{x|x2－x＝0}，则1________A，－1________A；(2)(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．【答案】(1)∈∉(2)∈【解析】(1)易知A＝{0,1}，故1∈A，－1∉A；(2)将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，等式成立．7．用适当的方法表示下列集合：(1)已知集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}；(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．【答案】见解析【解析】(1)列举法：P＝{0,2,4}．(2)描述法：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y＝x2－2x,y＝0)))))).或列举法：{(0,0)，(2,0)}．(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．题型六集合表示法的综合应用例6(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝()A．1 B．2C．0 D．0或1(2)设eq\f(1,2)∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－ax－\f(5,2)＝0))))，则集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(19,2)x－a＝0))))中所有元素之积为________．【答案】(1)D(2)eq\f(9,2)【解析】(1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－eq\f(1,2)，符合题意；当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解为x＝－1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．(2)因为eq\f(1,2)∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－ax－\f(5,2)＝0))))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2－eq\f(1,2)a－eq\f(5,2)＝0，解得：a＝－eq\f(9,2)，当a＝－eq\f(9,2)时，方程x2－eq\f(19,2)x＋eq\f(9,2)＝0的判别式Δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,2)))2－4×eq\f(9,2)＝eq\f(289,4)>0，所以集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(19,2)x＋\f(9,2)＝0))))的所有元素的积为方程的两根之积等于eq\f(9,2).解题技巧：(集合表示法中元素与集合的关系)1.若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合属性是关键；2.若已知集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键；跟踪训练六8．已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值．【答案】见解析【解析】由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋3＝a，,2×3＝b，))因此a＝5，b＝6.9．设集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(6,2＋x)∈N)))).试判断元素1,2与集合B的关系；用列举法表示集合B.【答案】见解析【解析】(1)当x＝1时，eq\f(6,2＋1)＝2∈N.当x＝2时，eq\f(6,2＋2)＝eq\f(3,2)∉N.所以1∈B,2∉B.(2)∵eq\f(6,2＋x)∈N，x∈N，∴2＋x只能取2,3,6.∴x只能取0,1,4.∴B＝{0,1,4}.题型七集合含义的拓展例7用描述法表示抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合．【答案】见解析【解析】抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合可表示为：{(x，y)|y＝x2＋1}．变式1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{x|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？【答案】见解析【解析】集合{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}中的元素是全体实数．变式2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？【答案】见解析【解析】集合{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，所以集合中的元素是大于等于1的全体实数．解题技巧（认识集合含义的2个步骤）一看代表元素，是数集还是点集，二看元素满足什么条件即有什么公共特性。四、课堂小结培学生总结本节课所学主要知识及解题技巧五、板书设计【教学反思】本节内容为集合的概念，主要通过研究集合中的元素来确定集合的三个特性，由于元素的种类不同引入数集，点集等等，又由于元素的个数不同，所以元素分为有限集合无限集，从而引入了集合的表示方法：列举法和描述法。《1.1集合的概念》导学案【学习目标】知识目标1.了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号．2.深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．3.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受集合语言的意义和作用。核心素养1.数学抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法；2.逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用；3.数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算；4.数据分析：元素在集合中对应的参数满足的条件；5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。【重点与难点】重点：集合的基本概念，集合中元素的三个特性，元素与集合的关系，集合的表示方法．难点：元素与集合的关系，选择适当的方法表示具体问题中的集合．【学习过程】一、预习导入阅读课本2-5页，填写。1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，把__________统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的________叫做集合(简称为_______)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的_______是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素的特性：_________、__________、___________．2．元素与集合的关系关系语言描述记法读法属于a是集合A中的元素a___Aa属于集合A不属于a不是集合A中的元素a___Aa不属于集合A3．常用的数集及其记法常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法_____________________4．列举法把集合的元素_____________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．5．描述法(1)定义：用集合所含元素的___________表示集合的方法．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的__________及____________，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________．【小试牛刀】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)你班所有的姓氏能组成集合． ()(2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题．()(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．()(4)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．()(5)集合{(1,2)}中的元素是1和2.()(6)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．()2．下列元素与集合的关系判断正确的是()A．0∈N B．π∈QC.eq\r(2)∈Q D．－1∉Z3．已知集合A中含有两个元素1，x2，且x∈A，则x的值是()A．0 B．1C．－1 D．0或14．方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－3))的解集是()A．(－1,2) B．(1，－2)C．{(－1,2)} D．{(1，－2)}5．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}6．不等式4x－5<7的解集为________．【自主探究】例1考查下列每组对象，能构成一个集合的是()①某校高一年级成绩优秀的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③ D．②④例2(1)下列关系中，正确的有()①eq\f(1,2)∈R；②eq\r(2)∉Q；③|－3|∈N；④|－eq\r(3)|∈Q.A．1个B．2个C．3个 D．4个(2)集合A中的元素x满足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．例3已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．变式1．[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．变式2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？变式3．[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．例4用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．例5用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的正整数的集合；(2)坐标平面内第一象限的点的集合；(3)大于4的所有偶数．例6(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝()A．1 B．2C．0 D．0或1(2)设eq\f(1,2)∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－ax－\f(5,2)＝0))))，则集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(19,2)x－a＝0))))中所有元素之积为________．例7用描述法表示抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合．变式1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{x|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？变式2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？【课堂检测】1．下列说法正确的是()A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B．由1,2,3和eq\r(9)，1，eq\r(4)组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素2．已知集合A由x<1的数构成，则有()A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉A3．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为()A．2 B．2或4C．4 D．04．已知a，b是非零实数，代数式eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(|ab|,ab)的值组成的集合是M，则下列判断正确的是()A．0∈M B．－1∈MC．3∉M D．1∈M5．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是()A．2∈A，且2∈BB．(1,2)∈A，且(1,2)∈BC．2∈A，且(3,10)∈BD．(3,10)∈A，且2∈B6．定义P*Q＝{ab|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,1,2}，Q＝{1,2,3}，则P*Q中元素的个数是()A．6个 B．7个C．8个 D．9个7．下列说法中：①集合N与集合N＋是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号)．8．已知A＝{(x，y)|x＋y＝6，x∈N，y∈N}，用列举法表示A为________．9．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．答案小试牛刀1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√2-5．AACB6．{x|4x－5<7}自主探究例1B例2(1)C(2)0,1,2例3a＝－1.变式1．a＝2，或a＝eq\r(2)，或a＝－eq\r(2).变式2．a≠0且a≠1.变式3．a＝0.例4(1){0,2,4,6,8,10}．(2){0,1，－1}．(3){(0,1)}．例5(1){x|x＝3n＋1，n∈N}．(2){(x，y)|x＞0，y＞0}．(3){x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．例6(1)D(2)eq\f(9,2)例7{(x，y)|y＝x2＋1}．变式1解：集合{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}中的元素是全体实数．变式2解：集合{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，所以集合中的元素是大于等于1的全体实数．当堂检测1-6．CCBBCA7．②④8．{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}9．解：当a＝0时，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))；当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，所以Δ＝9＋16a≤0，即a≤－eq\f(9,16).故所求的a的取值范围是a≤－eq\f(9,16)或a＝0.《1.1集合的概念》同步练习一第1课时集合的概念巩固基础1．有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④直角三角形的全体．其中能构成集合的个数是 ()A．2 B．3C．4 D．52．已知集合A由x＜1的数构成，则有()A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉A3．集合A中只含有元素a，则下列各式一定正确的是()A．0∈AB．a∉A C．a∈AD．a＝A4．若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是()A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形5．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为 ()A．2 B．2或4C．4 D．06．若x∈N，则满足2x－5＜0的元素组成的集合中所有元素之和为______．7．已知①eq\r(5)∈R；②eq\f(1,3)∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3∉Z.正确的个数为______．综合应用8．已知x，y都是非零实数，z＝eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)＋eq\f(xy,|xy|)可能的取值组成集合A，则()A．2∈AB．3∉A C．－1∈A D．1∈A9．已知集合A中含有三个元素1，a，a－1，若－2∈A，则实数a的值为()A．－2 B．－1 C．－1或－2 D．－2或－310．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a＝________.11．由实数x，－x，|x|，eq\r(x2)及－eq\r(3,x3)所组成的集合，最多含有________个元素．12．已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a,2，b2，且M＝N.求a，b的值．13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则eq\f(1,1－a)∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．14．已知方程ax2－3x－4＝0的解组成的集合为A.(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．【参考答案】1．A解析①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算小没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．2．C解析很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．3．C解析由题意知A中只有一个元素a，∴a∈A，元素a与集合A的关系不能用“＝”，a是否等于0不确定，因此0是否属于A不确定，故选C．4．D解析由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等．5．B解析若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.6．3解析由2x－5＜0，得x＜eq\f(5,2)，又x∈N，∴x＝0,1,2，故所有元素之和为3.7．3解析①②③是正确的；④⑤是错误的．8．C解析①当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；②当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；③当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；④当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1，∴集合A＝{－1,3}．∴－1∈A.9．C解析由题意可知a＝－2或a－1＝－2，即a＝－2或a＝－1，故选C．10．2或4解析若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0∉A.故a＝2或4.11．2解析因为|x|＝±x，eq\r(x2)＝|x|，－eq\r(3,x3)＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x，－x，故合中最多含有2个元素．12．解法一根据集合中元素的互异性，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2a,b＝b2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b2,b＝2a))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))再根据集合中元素的互异性，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))法二∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2a＋b2,a·b＝2a·b2))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋bb－1＝0①,ab·2b－1＝0②))∵集合中的元素互异，∴a，b不能同时为零．当b≠0时，由②得a＝0，或b＝eq\f(1,2).当a＝0时，由①得b＝1，或b＝0(舍去)．当b＝eq\f(1,2)时，由①得a＝eq\f(1,4).当b＝0时，a＝0(舍去)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))13．证明(1)若a∈A，则eq\f(1,1－a)∈A.又∵2∈A，∴eq\f(1,1－2)＝－1∈A.∵－1∈A，∴eq\f(1,1－－1)＝eq\f(1,2)∈A.∵eq\f(1,2)∈A，∴eq\f(1,1－\f(1,2))＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，eq\f(1,2).(2)若A为单元素集，则a＝eq\f(1,1－a)，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠eq\f(1,1－a)，∴集合A不可能是单元素集．14．解(1)因为A中有两个元素，所以方程ax2－3x－4＝0有两个不等的实数根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝9＋16a>0，))即a>－eq\f(9,16)且a≠0.所以实数a的取值范围为a>－eq\f(9,16)，且a≠0.(2)当a＝0时，由－3x－4＝0得x＝－eq\f(4,3)；当a≠0时，若关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个相等的实数根，则Δ＝9＋16a＝0，即a＝－eq\f(9,16)；若关于x的方程无实数根，则Δ＝9＋16a<0，即a<－eq\f(9,16)，故所求的a的取值范围是a≤－eq\f(9,16)或a＝0.第2课时集合的表示巩固基础1．集合A＝{x∈Z|－2<x<3}的元素个数为()A．1B．2C．3D．42．方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1))的解集不可以表示为()A．（1,2）B．【1,2】C．{1,2}D．{(1,2)}3．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合4．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x是小于18的正奇数))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝4s－3，s∈N*，且s≤5))5．集合M＝{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R}是 ()A．第一象限内的点集 B．第三象限内的点集C．第四象限内的点集 D．第二、四象限内的点集6．集合{x∈N|x2＋x－2＝0}用列举法可表示为________．7．将集合{(x，y)|2x＋3y＝16，x，y∈N}用列举法表示为________．8．有下面四个结论：①0与{0}表示同一个集合；②集合M＝{3,4}与N＝{(3,4)}表示同一个集合；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4＜x＜5}不能用列举法表示．其中正确的结论是________(填写序号)．综合应用9．已知x，y为非零实数，则集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(x,|x|)＋\f(y,|y|)＋\f(xy,|xy|)))))为()A．{0,3} B．{1,3}C．{－1,3} D．{1，－3}10．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2m－1，m∈Z))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2n，n∈Z))，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是()A．x1·x2∈A B．x2·x3∈BC．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A11．已知集合A＝{x|x＝3m，m∈N*}，B＝{x|x＝3m－1，m∈N*}，C＝{x|x＝3m－2，m∈N*}，若a∈A，b∈B，c∈C，则下列结论中可能成立的是()A．2006＝a＋b＋c B．2006＝abcC．2006＝a＋bc D．2006＝a(b＋c)12．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________．13．定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若集合A＝{x|2x＋1>0}，集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,3)<0))))，则集合A－B＝________.14．已知集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0}，其中a∈R.若1是集合A中的一个元素，请用列举法表示集合A.设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求a2014＋b2014.16．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，用列举法表示集合P＋Q.【参考答案】D解析因为A＝{x∈Z|－2<x<3}，所以x的取值为－1，0,1,2，共4个．C解析C选项表示两个数．3.D解析集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.4.D解析对于x＝4s－3，当s依次取1,2,3,4,5时，恰好对应的x的值为1,5,9,13,17.5.D解析因xy＜0，所以有x＞0，y＜0；或者x＜0，y＞0.因此集合M表示的点集在第四象限和第二象限．6.{1}解析由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1.又x∈N，∴x＝1.7.{(2,4)，(5,2)，(8,0)}解析∵3y＝16－2x＝2(8－x)，且x∈N，y∈N，∴y为偶数且y≤5，∴当x＝2时，y＝4，当x＝5时y＝2，当x＝8时，y＝0.8.④解析{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②集合M是实数3,4的集合，而集合N是实数对(3,4)的集合，不正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．9.C解析当x>0，y>0时，m＝3，当x<0，y<0时，m＝－1－1＋1＝－1.当x，y异号，不妨设x>0，y<0时，m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．D∵集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，∴x1，x2是奇数，x3是偶数，∴x1＋x2＋x3为偶数．C解析由于2006＝3×669－1，不能被3整除，而a＋b＋c＝3m1＋3m2－1＋3m3－2＝3(m1＋m2＋m3－1)不满足；abc＝3m1(3m2－1)(3m3－2)不满足；a＋bc＝3m1＋(3m2－1)(3m3－2)＝3m－1适合；a(b＋c)＝3m1(3m2－1＋3m3－2)不满足．12.3解析根据x∈A，y∈A，x＋y∈A，知集合B＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．13.{x|x≥2}解析A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,2)))))，B＝{x|x<2}，A－B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,2)且x≥2))))＝{x|x≥2}．14.解∵1是集合A中的一个元素，∴1是关于x的方程ax2＋2x＋1＝0的一个根，∴a·12＋2×1＋1＝0，即a＝－3.方程即为－3x2＋2x＋1＝0，解这个方程，得x1＝1，x2＝－eq\f(1,3)，∴集合A＝{－eq\f(1,3)，1}．15.解∵A＝B，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,ab＝b))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝b，,ab＝1.))解方程组得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，))或a＝1，b为任意实数．由集合元素的互异性得a≠1，∴a＝－1，b＝0，故a2014＋b2014＝1.解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．《§1．1集合的含义与表示》同步练习二一．选择题1．下列说法正确的是()A．0∉NB．eq\r(2)∈QC．π∉RD．eq\r(4)∈Z2．下列各组中的两个集合M和N，表示相等集合的是()A．M＝{π}，N＝{3．14159}B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}C．M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}D．M＝{1，eq\r(3)，π}，N＝{π，1，|－eq\r(3)|}3．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为()A．2