甘肃省陇南市西和县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题【含答案解析】

九年级第一学期学习评价数学（2）一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分）1.剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形是指在平面沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，掌握概念即可解题．【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选：D．2.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二次函数y=a(x-h)2+k的性质解答即可．【详解】解：抛物线的顶点坐标是，故选A．【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0)的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键．y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(h，k)，对称轴是x=h．3.将一元二次方程化为一般形式，正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的一般式的定义进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式是解题的关键．4.一元二次方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.只有一个实数根【答案】A【解析】【分析】根据根的判别式的值进行判断即可．【详解】解：依题意，因为一元二次方程，所以，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键．5.将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数图像与几何变换，掌握二次函数图像性质，平移的基本方法是解答本题的关键．根据题意，抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度，即把顶点坐标点向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到点的坐标为，由此得到平移后得到的抛物线解析式，选出答案．【详解】解：由题意得：抛物线，即抛物线的顶点坐标为，先把抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度，即把点向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到点的坐标为，平移后得到的抛物线解析式为：，故选：．6.如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角形和中心对称的性质求解，即可得到答案．【详解】∵和关于点O成中心对称∴∴错误，其他选项正确故选：D．【点睛】本题考查了三角形和中心对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形和中心对称图形的性质，从而完成求解．7.已知抛物线，则当时，函数的最大值为（）A. B. C.0 D.2【答案】D【解析】【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案．【详解】解：∵，∴对称轴为，当时，函数的最小值为，当时，，当时，，∴当时，函数的最大值为2，故选：D【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8.两个相邻奇数的积是，求这两个奇数，设较小的奇数为，则可列方程（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由两个连续的奇数相差，得到较大的数为，再根据两数的积为即可列出方程，根据题意，找到等量关系列出方程是解题的关键．【详解】解：依题意得，较大的数为，则有：，故选：．9.如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据旋转可得，再结合旋转角即可求解．【详解】解：由旋转性质可得：，，∵，∴，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键．10.如图，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是()A.b＞0B.a+b＞0C.x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根D.点（x1，y1），（x2，y2）在二次函数的图像上，当x1＞x2＞2时，y2＜y1＜0【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图像和性质作出判断即可．【详解】解：根据图像知，当时，，故B选项结论正确，不符合题意，，，故A选项结论正确，不符合题意；由题可知二次函数对称轴为，，，故B选项结论正确，不符合题意；根据图像可知是关于的方程的一个根，故选项结论正确，不符合题意，若点，在二次函数的图像上，当时，，故D选项结论不正确，符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．二．填空题．（每题4分，共24分）11.在函数中,当x＞1时,y随x增大而___．（填“增大”或“减小”）【答案】增大【解析】【分析】根据其顶点式函数可知，抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧y随x的增大而增大，可得到答案．【详解】由题意可知:函数,开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，又∵对称轴为，∴当时，y随的增大而增大，故答案为：增大．【点睛】本题主要考查了二次函数对称轴及增减性，掌握当二次函数开口向上时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧y随x的增大而减小是解题的关键．12.点关于原点对称的点的坐标是__________．【答案】【解析】【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，从而可得出答案．【详解】解：根据中心对称的性质，得点关于原点对称点的坐标是．故答案：．【点睛】本题主要考查关于原点对称的点坐标的关系，解题的关键是掌握点关于原点对称的坐标规律．13.将方程化成的形式，则______．【答案】5【解析】【分析】此题考查了解一元二次方程配方法，利用完全平方公式整理后，即可求出与的值．【详解】解：方程，变形得：，配方得：，即，则，，故，故答案为：5．14.抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为是______．【答案】【解析】【分析】利用抛物线的对称性求解即可得到答案．【详解】解：抛物线其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物线与x轴的两个交点关于抛物线对称轴对称．15.在平面直角坐标系中，将点绕点逆时针旋转，得到的点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，过作轴于点，过作轴于点，证明，得到，，即可得到答案．【详解】解：由题意得，将点绕点逆时针旋转得到点，如图，过作轴于点，过作轴于点，∴，∵，∴，，由旋转性质可知：，，∴，∴，∴，，∴，故答案为：．16.将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为___【答案】或【解析】【分析】分两种情形：如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．【详解】解：二次函数解析式为，∴抛物线的顶点坐标为（1，4），当y=0时，，解得，则抛物线与x轴的交点为A（-1，0），B（3，0），把抛物线图象x轴上方部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标M（1，-4），如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，∴3+b=0，解得b=-3；当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，即有相等的实数解，整理得，，解得b=，所以b的值为-3或，故答案为：或．【点睛】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像和性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．三．解答题：本大题6个小题，共46分17.解方程：．【答案】【解析】【分析】根据配方法解一元二次方程即可求解．【详解】解：，∴，∴，即，解得：．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．18.如图，三个顶点的坐标分别为，，．画出关于原点成中心对称的，并写出点、的坐标．【答案】图见解析，，【解析】【分析】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型；分别作出A、B、C对应点点，，，连线即可，并直接写出点的坐标；【详解】解：如图所示，即为所求，点，的坐标分别为，．19.某二次函数图像的顶点为，且它与轴交点的纵坐标为5，求这个二次函数的解析式．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的顶点式，解二次函数的解析式，根据顶点坐标设该二次函数解析式为，代入，即可求解．【详解】解：∵二次函数图像的顶点为，∴设该二次函数解析式为，代入二次函数与轴的交点坐标，可得：，解得：，二次函数的解析式为．20.已知方程的负数根也是方程的一个根，求的值．【答案】【解析】【分析】首先解方程，然后结合该方程的负数根是方程的根，代入求解即可．【详解】解：解方程，可得，∵该方程的负数根是方程的根，∴将代入方程，可得，解得．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题关键．21.小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求抛物线的表达式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．【答案】（1）（2）2或6m【解析】【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解；（2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解．【小问1详解】解：根据题意可知抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，将点代入，得，解得，抛物线的解析式为，【小问2详解】由，令，得，解得，爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．22.已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．【答案】（1）证明见解析；（2）正整数m的值为1或2【解析】【分析】（1）先计算判别式的值得到，再根据非负数的值得到，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；（2）利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=，然后利用整数的整除性确定正整数m的值．【详解】（1）证明：∵m≠0，=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，而（m﹣2）2≥0，即，∴方程总有两个实数根；（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0，x﹣1=0或mx﹣2=0，∴x1=1，x2=，当m为正整数1或2时，x2为整数，即方程的两个实数根都是整数，∴正整数m的值为1或2．四．解答题：本大题5小题，共50分23.小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：小敏：两边同除以，得，则．小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见解析【解析】【分析】根据因式分解法解一元二次方程【详解】解：小敏：两边同除以，得，则．（×）小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．（×）正确解答：移项，得，提取公因式，得，去括号，得，则或，解得，．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．24.二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根；（2）写出不等式的解集；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【答案】（1），（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）根据函数与方程的关系，当时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程的两个根；（2）求不等式的解集，即求二次函数图象在x轴上方时，x的取值范围，再结合图象即可解答；（3）根据函数的性质可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，找到函数的对称轴即可得到x的取值范围；（4）方程有两个不相等的实数根，即二次函数与直线有两个交点，再根据二次函数平移的规律，解答即可．【小问1详解】由图象可知该二次函数图象与x轴交于点和，∴方程的两个根分别为：，；【小问2详解】求不等式的解集，即求二次函数图象在x轴上方时，x的取值范围，由图象可知当时，二次函数图象在x轴上方，∴不等式的解集为；【小问3详解】由图象可知该二次函数图象开口向下，对称轴为直线，∴当y随x的增大而减小时，；【小问4详解】∵方程有两个不相等的实数根，∴即二次函数与直线有两个交点，∴．【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式．利用数形结合思想是解题关键．25.某商家销售一种成本为30元的商品销售一段时间后发现，每天的销量（件）与当天的销售单价（元件）满足的函数关系为，物价部门规定，该商品的销售单价不能超过60元件．（1）问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是9000元？（2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）销售单价定为40元件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润9000元（2）销售单价定为60元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，其最大利润为18000元【解析】【分析】（1）根据每件的利润乘以销售量等于总利润，列出方程，即可求解；（2）根据每件的利润乘以销售量等于总利润，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．【小问1详解】解：根据题意，得，整理，得，解得，，销售单价最高不能超过60元件，，答：销售单价定为40元件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润9000元；【小问2详解】解：设销售利润为元，则，，且销售单价最高不能超过60元件，当时，取最大值为：18000，故当销售单价定为60元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，其最大利润为18000元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．26.如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使得点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F．（1）若，，