高等数学第六版上下册(全)(同济大学出版社)课件

高等数学第六版上下册(全)(同济大学出版社)课件绪论函数与极限导数与微分一元函数积分学多变量函数微积分学无穷级数与常微分方程目录CONTENTS01绪论积分积分是高等数学中的一种运算，它描述了函数在某个区间上的面积。积分的实质是将函数的值与自变量的值相乘，并求和。极限极限是高等数学的基本概念之一，它描述了函数在某一点附近的变化趋势。通过极限，我们可以研究函数的连续性、可导性以及积分等性质。连续性连续性是函数的一种性质，它描述了函数在某一点处的变化情况。如果函数在某一点处的极限值等于该点的函数值，则称函数在该点连续。可导性可导性是指函数在某一点处的切线斜率存在。如果函数在某一点处可导，则该点处的切线斜率等于函数在该点的导数值。高等数学的基本概念高等数学的发展可以追溯到古代的数学家们，如欧几里得、阿基米德等。他们为数学的发展奠定了基础，并研究了一些与高等数学相关的概念和定理。早期的数学发展随着文艺复兴的到来，欧洲的数学得到了迅速发展。许多数学家开始研究更深入的数学问题，并取得了许多重要的成果。文艺复兴时期19世纪是高等数学发展的黄金时期。在这个时期，许多重要的数学家如高斯、黎曼、傅里叶等为高等数学的发展做出了巨大贡献。19世纪高等数学的发展历程高等数学的应用领域高等数学在物理学中有广泛的应用。例如，在研究力学、电磁学、光学等领域时，都需要用到高等数学的知识。工程工程中许多问题需要用到高等数学的知识。例如，在机械工程、土木工程、航空航天工程等领域中，都需要用到高等数学的知识来解决实际问题。经济经济学中许多问题需要用到高等数学的知识。例如，在研究金融、贸易、生产等领域时，都需要用到高等数学的知识来建立数学模型并进行定量分析。物理02函数与极限函数的定义与性质函数的定义函数是数学上的一个概念，它描述了两个集合之间的关系。函数将一个集合的每一个元素与另一个集合的唯一一个元素对应起来。函数的性质函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性等，这些性质描述了函数在特定区间内的行为特征。极限是描述当自变量趋近于某一特定值时，因变量的变化趋势的数学概念。极限的定义极限具有一些重要的性质，如唯一性、局部有界性、局部保序性和迫近性等，这些性质在研究函数的特性时非常重要。极限的性质极限的概念与性质极限的四则运算法则01极限的四则运算法则是极限运算的基础，包括加法、减法、乘法和除法的极限运算法则。复合函数的极限法则02复合函数的极限法则是指，如果内层函数和外层函数在某点的极限都存在，那么复合函数在该点的极限也存在，并且等于内层函数和外层函数在该点极限的乘积。未定式的极限法则03未定式的极限法则是处理一些形式较为复杂的极限问题的工具，包括等价无穷小替换、洛必达法则等。这些法则可以帮助我们找到复杂函数的极限值。极限的运算与法则03导数与微分导数的定义导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数局部变化率的一种度量。导数的几何意义导数等于函数图像上某点的切线的斜率。导数的性质导数具有线性、可加性、可乘性和链式法则等性质。导数的概念与性质掌握基本初等函数的导数公式是计算导数的关键。基本初等函数的导数公式利用加、减、乘、除等运算规则，对函数进行求导。导数的四则运算规则通过链式法则，对复合函数进行求导。复合函数的求导法则导数的计算方法微分的定义微分是函数在某一点处的线性逼近，表示函数在该点附近的小变化。微分的性质微分具有线性、可加性和可乘性等性质。微分的几何意义微分等于函数图像上某点的切线的纵坐标。微分的概念与性质04一元函数积分学定积分的定义定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极限。定积分的几何意义定积分在几何上表示曲线与x轴所夹的面积，即原函数在给定区间上的增量。定积分的性质包括线性性质、可加性、区间可加性、比较定理等。定积分的概念与性质微积分基本定理微积分基本定理是计算定积分的最基本方法，它将定积分表示为可求积的函数与增量的乘积。分部积分法分部积分法是一种通过将两个函数的乘积转化为两个函数的积分之差来计算定积分的方法。换元积分法换元积分法是通过引入新的变量代替原来的变量，将复杂的函数转化为简单的函数，从而简化定积分的计算。定积分的计算方法反常积分的概念反常积分分为无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分两种，它们在数学上都有重要的应用。定积分的应用定积分的应用非常广泛，包括求平面图形的面积、求体积、求长度等。例如，求一个旋转体的体积可以通过计算旋转曲线的长度并将其围成的面积进行定积分得到。反常积分与定积分的应用05多变量函数微积分学极限是描述函数值变化趋势的数学概念，包括单侧极限、双侧极限等。通过极限的性质来判断函数在某一点的连续性，以及在闭区间上的连续性。多变量函数的极限与连续性连续性的判断极限的定义与性质导数的定义与性质导数描述了函数值随自变量变化的速率，包括一阶导数、二阶导数等。微分的概念与运算微分是函数值变化的一个近似值，与导数密切相关。多变量函数的导数与微分VS积分是描述函数与自变量关系的一种数学运算，包括定积分、不定积分等。积分的应用积分在解决实际问题中有着广泛的应用，如求面积、体积等。积分的定义与性质多变量函数积分学06无穷级数与常微分方程无穷级数是无穷多个数按照一定的顺序排列的数列，通常表示为∑an或∫an(x)dx。无穷级数具有收敛性、可加性、可乘性和可交换性等性质，这些性质对于研究无穷级数的敛散性、求和和在数学其他领域的应用非常重要。无穷级数的定义无穷级数的性质无穷级数的概念与性质常微分方程的概念与性质常微分方程是描述一个未知函数及其导数之间关系的方程，通常表示为f(x,y',y'',...)=0。常微分方程的定义常微分方程具有解的存在性和唯一性、可积性和可解性等性质，这些性质对于研究常微分方程的解法、应用和在数学其他领域的应用非常重要。常微分方程的性质通过将常微分方程转化为两个或多个一阶常微分方程，从而简化求解过程。分离变量法变量代换法积分因子法幂级数解法