（江苏专用）高考数学一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.1 几何证明选讲 课时1 相似三角形的进一步认识 理-人教版高三数学试题

课时1相似三角形的进一步认识1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边．2．平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定及性质(1)判定定理：内容判定定理1两角对应相等的两个三角形相似判定定理2两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理3三边对应成比例的两个三角形相似(2)性质定理：相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．4．直角三角形的射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．1．如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.证明由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，故A，B，C，D四点共圆，从而∠CAB＝∠CDB.由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA，因此∠DBA＝∠CDB，所以AB∥CD.2．如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，求EC的长度．解在Rt△ADB中，DB＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(7)，依题意得，△ADB∽△ACE，∴eq\f(DB,EC)＝eq\f(AD,AC)，可得EC＝eq\f(DB·AC,AD)＝2eq\r(7).3．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于点F，求eq\f(BF,FC)的值．解如图，过点D作DG∥AF，交BC于点G，易得FG＝GC，又在△BDG中，BE＝DE，即EF为△BDG的中位线，故BF＝FG，因此eq\f(BF,FC)＝eq\f(1,2).题型一平行截割定理的应用例1如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，过点O作AB的平行线，与AD，BC分别交于点E，F，与CD的延长线交于点K.求证：KO2＝KE·KF.证明延长CK，BA，设它们交于点H，因为KO∥HB，所以eq\f(KO,HB)＝eq\f(DK,DH)，eq\f(KE,HA)＝eq\f(DK,DH).因此eq\f(KO,HB)＝eq\f(KE,HA)，即eq\f(KO,KE)＝eq\f(HB,HA).因为KF∥HB，同理可得eq\f(KF,KO)＝eq\f(HB,HA).故eq\f(KO,KE)＝eq\f(KF,KO)，即KO2＝KE·KF.思维升华当条件中给出平行线时，应优先考虑平行线分线段成比例定理，在有关比例的计算与证明题中，常结合平行线分线段成比例定理构造平行线解题．作平行线常用的方法有利用中点作中位线，利用比例线段作平行线等．(1)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，求EF的长度．(2)如图所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，求AB的长．解(1)∵AD∥BC，∴eq\f(OB,OD)＝eq\f(BC,AD)＝eq\f(20,12)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(OB,BD)＝eq\f(5,8).∵OE∥AD，∴eq\f(OE,AD)＝eq\f(OB,BD)＝eq\f(5,8).∴OE＝eq\f(5,8)AD＝eq\f(5,8)×12＝eq\f(15,2)，同理可求得OF＝eq\f(3,8)BC＝eq\f(3,8)×20＝eq\f(15,2)，∴EF＝OE＋OF＝15.(2)∵DE∥BC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(2,3)，eq\f(EC,AC)＝eq\f(1,3).又∵EF∥CD，∴eq\f(DF,AD)＝eq\f(EC,AC)＝eq\f(1,3).∴AD＝3.∴AB＝eq\f(3,2)AD＝eq\f(9,2).题型二相似三角形的判定与性质例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，E为AC的中点，ED、CB延长线交于一点F.求证：FD2＝FB·FC.证明∵E是Rt△ACD斜边上的中点，∴ED＝EA，∴∠A＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A，∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FBD＝∠FDC，∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC，∴eq\f(FB,FD)＝eq\f(FD,FC)，∴FD2＝FB·FC.思维升华(1)判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点，灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，也可间接证明线段相等．(1)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，求PE的长．(2)如图，四边形ABCD中，DF⊥AB，垂足为F，DF＝3，AF＝2FB＝2，延长FB到E，使BE＝FB，连结BD，EC.若BD∥EC，求四边形ABCD的面积．解(1)∵BC∥PE，∴∠PED＝∠C＝∠A，∴△PDE∽△PEA，∴eq\f(PE,PA)＝eq\f(PD,PE)，则PE2＝PA·PD，又∵PD＝2DA＝2，∴PA＝PD＋DA＝3.∴PE＝eq\r(PA·PD)＝eq\r(6).(2)如图，过点E作EN⊥DB交DB的延长线于点N，在Rt△DFB中，DF＝3，FB＝1，则BD＝eq\r(10)，由Rt△DFB∽Rt△ENB，知eq\f(EN,DF)＝eq\f(BE,BD)，所以EN＝eq\f(3\r(10),10)，又BD∥EC，所以EN为△BCD底边BD上的高，故S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝eq\f(1,2)AB·DF＋eq\f(1,2)BD·EN＝eq\f(1,2)×3×3＋eq\f(1,2)×eq\r(10)×eq\f(3\r(10),10)＝6.题型三射影定理的应用例3如图，在△ABC中，D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC的长．解在△ABC中，设AC为x，∵AB⊥AC，AF⊥BC.又FC＝1，根据射影定理，得AC2＝FC·BC，即BC＝x2.再由射影定理，得AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC，即AF2＝x2－1，∴AF＝eq\r(x2－1).在△BDC中，过D作DE⊥BC于E.∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC＝eq\f(1,2)x2.又∵AF⊥BC，∴DE∥AF，∴eq\f(DE,AF)＝eq\f(DC,AC)，∴DE＝eq\f(DC·AF,AC)＝eq\f(\r(x2－1),x).在Rt△DEC中，∵DE2＋EC2＝DC2，即(eq\f(\r(x2－1),x))2＋(eq\f(1,2)x2)2＝12，∴eq\f(x2－1,x2)＋eq\f(x4,4)＝1.整理得x6＝4，∴x＝eq\r(3,2)，即AC＝eq\r(3,2).思维升华(1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法．(1)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，求AC∶BC.(2)已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，求AD的长．解(1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴AC2∶BC2＝AD∶BD＝9∶4，∴AC∶BC＝3∶2.(2)如图，连结AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.设AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD>BD，∴AD＝9.1．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．直角三角形中常用的四个结论在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB(如图)：(1)∠A＝∠BCD，∠B＝∠ACD.(2)△ABC∽△ACD∽△CBD.(3)a2＝pc，b2＝qc，h2＝pq，ab＝ch(其中c＝p＋q)．(4)在a、b、p、q、h五个量中，知道两个量的值，就能求出其他三个量的值．A组专项基础训练(时间：50分钟)1．如图，△OAB是等腰三角形，P是底边AB延长线上一点，且PO＝3，PA·PB＝4，求腰长OA的长度．解如图，作OD⊥AP，垂足为D，则PO2－PD2＝OB2－BD2，所以PO2－OB2＝PD2－BD2，因为AD＝BD，所以PD2－BD2＝PD2－AD2＝(PD＋AD)(PD－AD)＝PA·PB＝4，所以PO2－OB2＝4，所以OB2＝9－4＝5，所以OB＝eq\r(5)，所以OA＝eq\r(5).2．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，求AE的长．解由于∠ACD＝∠AEB＝90°，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(AE,AC).又AC＝4，AD＝12，AB＝6，∴AE＝eq\f(AB·AC,AD)＝eq\f(6×4,12)＝2.3.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，若AB∶AC＝2∶1，求AD∶BC.解设AC＝k，则AB＝2k，BC＝eq\r(5)k，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AC2＝CD·BC，∴k2＝CD·eq\r(5)k，∴CD＝eq\f(\r(5),5)k，又BD＝BC－CD＝eq\f(4\r(5),5)k，∴AD2＝CD·BD＝eq\f(\r(5),5)k·eq\f(4\r(5),5)k＝eq\f(4,5)k2，∴AD＝eq\f(2\r(5),5)k，∴AD∶BC＝2∶5.4．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，求△ACD与△CBD的相似比．解如图所示，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得：CD2＝AD·BD，又∵AD∶BD＝2∶3，令AD＝2x.则BD＝3x(x>0)，∴CD2＝6x2，∴CD＝eq\r(6)x.又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.易知△ACD与△CBD的相似比为eq\f(AD,CD)＝eq\f(2x,\r(6)x)＝eq\f(\r(6),3).即相似比为eq\r(6)∶3.5．如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的角平分线，交AD于点F，求证：eq\f(DF,AF)＝eq\f(AE,EC).证明∵BE是∠ABC的角平分线，∴eq\f(DF,AF)＝eq\f(BD,AB)，①eq\f(AE,EC)＝eq\f(AB,BC).②在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，即eq\f(BD,AB)＝eq\f(AB,BC).③由①③得eq\f(DF,AF)＝eq\f(AB,BC)，④由②④得eq\f(DF,AF)＝eq\f(AE,EC).6.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是BC的中点，CN⊥AM，垂足是N，求证：AB·BM＝AM·BN.证明∵CM2＝MN·AM，又∵M是BC的中点，∴BM2＝MN·AM，∴eq\f(BM,AM)＝eq\f(MN,BM)，又∵∠BMN＝∠AMB，∴△AMB∽△BMN，∴eq\f(AB,BN)＝eq\f(AM,BM)，∴AB·BM＝AM·BN.B组专项能力提升(时间：30分钟)7.如图所示，平行四边形ABCD中，E是CD延长线上的一点，BE与AD交于点F，DE＝eq\f(1,2)CD.(1)求证：△ABF∽△CEB；(2)若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD.∴∠ABF＝∠CEB.∴△ABF∽△CEB.(2)解∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD.∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.∵DE＝eq\f(1,2)CD，∴eq\f(S△DEF,S△CEB)＝(eq\f(DE,CE))2＝eq\f(1,9)，eq\f(S△DEF,S△ABF)＝(eq\f(DE,AB))2＝eq\f(1,4).∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8.∴S四边形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16.∴S四边形ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.8.如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C.(1)求证：△ABF∽△EAD.(2)若∠BAE＝30°，AD＝3，求BF的长．(1)证明∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AED.又∵∠BFE＝∠C，∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠ADE，∴∠BFA＝∠ADE.∴△ABF∽△EAD.(2)解∵∠BAE＝30°，∴∠AEB＝60°，∴eq\f(AB,AE)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2)，又△ABF∽△EAD，∴eq\f(BF,AD)＝eq\f(AB,AE)，∴BF＝eq\f(AB,AE)·AD＝eq\f(3\r(3),2).9.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.(1)求证：△EDM∽△FBM；(2)若DB＝9，求BM.(1)证明∵E是AB的中点，∴AB＝2EB.∵AB＝2CD，∴CD＝EB.又∵AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形．∴CB∥DE，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠DEM＝∠BFM，,∠EDM＝∠FBM，))∴△EDM∽△FBM.(2)解∵△EDM∽△FBM，∴eq\f(DM,BM)＝eq\f(DE,BF).∵F是BC的中点，∴DE＝2BF.∴DM＝2BM，∴