2023年高考数学一轮复习习题：第四章三角函数与解三角形热点问题

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三角函数与解三角形热点问题

5三年真题考情

核心热点真题印证核心素养

2020•全国I,7:2020•全国川，16;

2020•天津,8:2019•全国I,11;2019•北

三角函数的图象与性质京，9;2019•全国川,12:2019∙天津，7;直观想象、逻辑推理

2018•全国Il,10；2018•全国I,16;

2018•全国川,15

2020•全国I,9;2020•全国Il,2;2020•全

国III,9:2019•全国II,10;2019∙浙江,

三角恒等变换逻辑推理、数学运算

18:2018•浙江，18;2018∙江苏，16;

2018•全国Il,15:2018•全国川，4

2020•全国I,16:2020•全国Ill,7;

2020•北京，17;2020•天津,16;2020•新

解三角形高考山东，17:2020•浙江，18;2019•全逻辑推理、数学运算

国I,17;2019•全国川，18;2019∙北京,

15;2019∙江苏,15;2018•全国I,17

蟀教材链接高考---------------------

三角函数的图象与性质

教材探究(必修4P147复习参考题A组第9题、第10题)

题目9已知函数y=(sinx+cosx)2+2cos2χ.

(1)求它的递减区间；

(2)求它的最大值和最小值.

题目10已知函数/(x)=COS'x—2SinXCoSX-sin%

(1)求7(x)的最小正周期；

TT

(2)当x∈0,5时，求的最小值及取得最小值时X的集合.

［试题评析］

两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关键在于运用二倍角公式及

两角和公式化为y=Asin(ox+9)+%的形式，然后利用三角函数的性质求解.

【教材拓展】已知函数√(x)=4tanXSine—x)COSQ一鼻)一小.

(1)求色)的定义域与最小正周期：

(2)讨论在区间［一彳TT，WTT上的单调性.

Tr

解(IVU)的定义域为｛x∣x≠］+E,⅛eZ!,

=2sinXcosx+2∖∣3sin2χ-y∣3

=Sin2χ-√3cos2x

=2Sin(21一1)

2兀

所以y(x)的最小正周期T=y=π.

TTTTTT

(2)由一1+2EW2χ-yW∕+2E(%EZ),

TT5JT

得一五+⅛π≤Λ≤j^÷kπ(k∈Z).

设A=—彳，幻，B=∣.v∣-γ^+⅛π≤x≤γ^+⅛π,⅛∈Z∣,易知A∩5=一声，

所以当闻谭力时，段)在区间［—若，引上单调递增，在区间［一;,一倒上单调递减.

探究提高1.将y(x)变形为7U)=2sin(2x-*是求解的关键，(1)利用商数关系统一函数名称;

(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数.

2.把“ox+-'视为一个整体，借助复合函数性质求y=Asin(3χ+3)+8的单调性及奇偶性、

最值、对称性等问题.

【链接高考】(2019•浙江卷)设函数段)=sinx,x∈R.

(1)已知夕∈［0,2π),函数HX+9)是偶函数，求夕的值；

(2)求函数、=［4：+：|，|2+小+彳)｝的值域.

解(1)因为y(x+6)=sin(x+6)是偶函数,

所以，对任意实数尤都有sin(x+θ)=sin(-χ+θ),

即sinJVCOS9+cosxsin0=—sinXCOS8+cosXSinθ,

故2sinxcos。=0,所以cosθ=0.

又。∈[0,2%）,因此或当

（2）尸比+专）｝+&+a

+sin2^x+^

=Ml-CoS3+加+3

由于x∈R,知COS（2x+?e[—1,1],

因此，所求函数的值域为1—坐，1+乎]

二教你如何审题

三角函数与平面向量

【例题】（2021•湘赣十四校联考）已知向量m=（sinX,-1）,〃=（小，cosx）,且函数外）

=m∙n.

（1）若x∈（θ,0，且危）=|,求SinX的值；

（2）在锐角三角形A8C中，内角4,B9C的对边分别为α,b,C若a=币,Z∖A8C的面积为

邛^,且.人4+胃=乎加皿。，求AABC的周长.

审题路线

[自主解答1

解(Iv(X)==(Sin],—1)∙(∙∖∕3,CoSX)

.三U

,∙χ-6

Λsinx=sin卜一聿+,πβj≈^1×

3X2+3X2

_小+2也

=6∙

⑵MA+I=卓。SinC,

.二2sinA=乎戾inC,即6sinA=巾bsinC.

由正弦定理可知6a=市〃c∙.

又•：cI=巾,:∙bc=6.

由已知448C的面积等于茨CSinA=

・•一近

..sιnA—2.

又∙.∙A∈(θ,≡j,.1

2

由余弦定理，得从+c—2bccosA=〃2=7,故。2+C2=13,

Λ(⅛+c)2=25,.9.b+c=5,

.1△ABC的周长为“+6+c=5+√i

探究提高1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先利用三

角公式对三角函数式进行“化简”；然后把以向量共线、向量垂直、向量的数量积运算等形

式出现的条件转化为三角函数式；再活用正、余弦定理对边、角进行互化.

2.这种问题求解的难点一般不是向量的运算，而是三角函数性质、恒等变换及正、余弦定

理的应用，只不过它们披了向量的“外衣”.

【尝试训练】(2021・沧州质检)已知a=(5，5cosX,CoSx),⅛=(sinx,2cosx),函数√(x)=α∕>

+ι⅛ι2.

(1)求函数7U)的最小正周期；

⑵求函数,/U)的单调减区间：

(3)当"Xq时，求函数段)的值域.

解J(x)=a∙b+1⅛∣2=5Λ∕3COSxsinx+2CoS2χ+si∏2χ+4cos2χ=5小SinXCoSx÷sin2Λ÷6cos2x

5λ∕31—cos2x,

=^^^^^sιn21x÷-----2-----l÷3(l÷cos2x)

57

2x+］COS2x÷2~5sin+2∙

(l)∕(x)的最小正周期T=笄=π.

JTTT3JTTr9TT

⑵由2Zπ+s<2x+w≤2E+亍(ZEZ)得Λπ÷^≤x≤kπ+~^~(k∈Z).

，危)的单调减区间为⅛π+^,也+£(攵∈Z).

兀兀兀71/71

(3)•若Wx≤参Λ^≤2x+^≤y,

—^≤sin(^2x÷^≤1,

l≤5sin^2Λ÷^)÷^≤∙γ.

当台XW飘，函数段)的值域为［1,y］.

蟀满分答题示范---------------------

解三角形

【例题】(12分)(2020・全国∏卷)Z∖A8C中，siMA-si/B—siMC=sinBsinC.

⑴求A;

(2)若BC=3,求AABC周长的最大值.

［规范解答］

解(1)由正弦定理和已知条件得用正弦定理化角为边

BC1-AC2-AB2=AC-AB.®2'

由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC∙ABCOSA.②

由①②得cosA=-∣.用余弦定理化边为角4'

因为0<Avπ,所以A=与.6'

⑵由正弦定理及⑴彳骁⅞=黑=黑=2小，8，

从而AC=2y∕3sinB9

AB=2y∣3sin(π-A-B)=3cosB-√3sinB.

故BC+AC+AB=3+√3sin8+3CoSB

=3+2√⅛Q(B+≡),两角和正弦公式的逆用。

又0<8/，所以当B=1时，AABC周长取得最大值3+2√j三角函数性质的应用12'

ɔQ

高考状元满分心得

❶写全得步骤分：对于解题过程中得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定

要写全，如第(1)问中只要写出0<A<兀就有分，没写就扣1分，第(2)问中(XB<W也是如此.

❷写明得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得

分关键点，如第(1)问中由正弦定理得BC2-AC2—AB2=AC∙AB,由余弦定理得Be2=AC2+

AB2—2AC∙AB-COsA,第(2)问4J.3=—,=2√5等.

❸保证正确得计算分：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如第(1)问中，cos4=

一；,若计算错误，则第⑴问最多2分；再如第⑵问3+小SinB+3CoSB=3+2小Sin(B+今

化简如果出现错误，则第(2)问最多得2分.

构建模板

ζfΞ3>……利用正弦、余弦定理，对条件式进行边角互化

(Si多……由三角函数值及角的范围求角

I

……由正弦、余弦定理及条件式实现三角恒等变换

I

®B)……利用角的范围和三角函数性质求出最值

I

……检验易错易混，规范解题步骤得出结论

【规范训练】(2020•浙江卷)在锐角AABC中，角A,B,C所对的边分别为α,b,c.已知

2bs∖nA-y∣3a=0.

⑴求角8的大小；

(2)求cosA+cosB÷cosC的取值范围.

解(1)由正弦定理，得2sinBsinA=45sinA,

故SinB=坐，由题意得Bq

(2)由A+B+C=兀，得C=争一A.

ππ

由aABC是锐角三角形，得A∈g,2J.

由c。SC=CoS停T)=—如4+亭i”,得

cosA÷cosB+cosC=坐SinA+；CoSA+；

=sinfA+7)+τ∈-1

故cosA+cosB÷cosC的取值范围是I

件热点跟踪训练---------------------

1.（2019,天津卷）在AABC中,内角A,B,C所对的边分别为α,b,c.已知b+c=24,

3csinB=4asinC.

⑴求cosB的值；

⑵求sin(28+S的值.

hC

解⑴在44BC中，由正弦定理而十砧，

得⅛sinC=CSinB.又由3csinB=44sinC,

得3⅛sinC=4。SinC9即3b=4a.

因为b+c=2a,

,,42

所以。=5"，C=Wa

由余弦定理可得

/+/+税—42ι

cosB=2αc=-ɔ­=，

2.呼

(2)由(1)可得sinB--∖∣1—cos2B≈∙^^,

从而sin2B=2sinBcos8=一延N

O

7

cos2B=Cos2B-sin2B=一弓，

，兀\71兀

故sin(28+zJ=sin28cosτ+cos2Bsin7

厌X由一71—3小+7

8282-16

2.已知函数yU)=α∙b,其中α=(2cosx,—√3sin2x),⅛=(cosx,l),x∈R.

(1)求函数y=∕U)的单调递减区间；

(2)在AABC中，内角A,B,。所对的边分别为mb,c,βA)=-l,a=小,且向量加=(3,

SinB)与〃=(2,SinC)共线，求边长b和C的值.

解(1)J(x)=2cos2x-^ɜsin2x=1+cos2x—SSin2x=1+2COS(2x+g),

TT

令2EW2x+1W2E+π∕^Z),

TTTT

解得⅛π-ð≤x≤⅛π÷2(⅛∈Z),

，函数y=∕U)的单调递减区间

为[fat一看，也+m(%≡Z)∙

(2)VχA)=1+2cos(2A+])=—1,

.*.cos^2A,又WV2A+^V季

.∙.2A+1=π,即A=字

Ta=巾,••・由余弦定理得层=按+/—2AcosA=S+c)2—3〃c=7.①

T向量m=(3,SinB)与〃=(2,SinC)共线，

/.2sinβ=3sinC9由正弦定理得幼=3c,②

由①②得b=3,c=2.

3.已知函数f(x)=cosX(CoSX+q5sinx).

⑴求Xx)的最小值；

(2)在aABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若大。=1,SAABC=斗,C=巾，

求AABC的周长.

]―∣-cos2JCʌ/ɜ]

解(Iycr)=COSɪ(eosx÷√3sinx)=cos2x÷y∣3sinXCOSx------ʒ-----÷s^n2x=1+

sin^2x+^j.

当sin(2无+看)=-1时，於)取得最小值一去

(2求O=；+sin(2C+看)=1,二sin(2C+^)=；,

VC∈(O,π),2C+'G弓,.∙.2C+,=普,.*.C=^.

.._1,.「3小.

•Sc&ABC2。。SinC4，∙∙ab3.

Tl_

又(〃+Z?)2—2R?COS1=7+2血

.二(α+b)2=16,即α+b=4,/.6F+⅛+C=4+Λ∕7,

故4A3C的周长为4+√7.

4.(2021∙东北三省三校联考)已知在AABC中，三个内角A,B,C的对边分别为α,b,c,

A+8

222-

⅛tanA=atanBf2sin-=1÷cos2C.

⑴求角A的大小；

⑵若点。为AB上一点，满足N8CO=45。，且CD=3啦一加，求AABC的面积.

角翠(1)⅛2sin'1'=l+cos2。得

1—cos(A+B)=2cos2C,即2cos2C-cosC-I=O,

解得cosC=-ɪ(eosC=I舍去)，故C=120°.

因为就i=后^⅛2ta∏A=⅛B,

sin2BsinAsin2AsinB

所以「

cosAcosB

即sinAcosA=sinBCOSB,故sin2A=sin28,

因此A=JB或A+B=90。(舍去),故A=30。.

(2)由(1)知AABC为等腰三角形，设BC=AC=m，

由SΔABC=SΔACD+S