（江苏专用）高考数学 专题11 算法、复数、推理与证明 82 推理与证明 文-人教版高三数学试题

训练目标(1)会应用合情推理、演绎推理进行判断推理；(2)会用综合法、分析法、反证法进行推理证明.训练题型(1)推理过程的判定；(2)合情推理、演绎推理的应用；(3)证明方法的应用.解题策略(1)应用合情推理时，找准变化规律及问题实质，借助定义、性质、公式进行类比归纳；(2)用分析法证明时，要注意书写格式，执果索因逐步递推；(3)用反证法证明时，对所要证明的结论的否定性假设要具有全面性，防止片面性.1．(2015·洛阳统考)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是________．①大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数；②大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数；③大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数；④大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数．2．某种树的分支规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为________．3．要证明eq\r(3)＋eq\r(7)<2eq\r(5)，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________法．4．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被7整除，那么a，b中至少有一个能被7整除”时，假设应为____________．5．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点C(1,2,3)，且法向量为n＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为________________．6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若存在正整数m，n(m<n)，使得Sm＝Sn，则Sm＋n＝0.类比上述结论，设正项等比数列{bn}的前n项积为Tn，若存在正整数m，n(m<n)，使得Tm＝Tn，则Tm＋n＝________.7．一同学在电脑中打出如下若干个圆：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2010个圆中共有●的个数是________．8．(2015·辽宁东北育才中学段考)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j列的数，如a42＝8，若aij＝2009，则i与j的和为________．124357681012911131517141618202224……9．(2015·山东日照一中校际联合检测)请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝1，求证：a1＋a2≤eq\r(2).证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤eq\r(2).根据上述证明方法，若n个正实数满足aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝1，你能得到的结论是________________________．10．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4)，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝________.11．(2015·江西六校联考)设函数f(x)＝eq\f(x,x＋3)(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋3)，f2(x)＝f[f1(x)]＝eq\f(x,4x＋9)，f3(x)＝f[f2(x)]＝eq\f(x,13x＋27)，f4(x)＝f[f3(x)]＝eq\f(x,40x＋81)，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*，n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝________________.12．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第1件首饰是1颗珠宝，第2件首饰是由6颗珠宝构成的如图1所示的正六边形，第3件首饰是由15颗珠宝构成的如图2所示的正六边形，第4件首饰是由28颗珠宝构成的如图3所示的正六边形，第5件首饰是由45颗珠宝构成的如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件的基础上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断：(1)第6件首饰上应有________颗珠宝；(2)前n(n∈N*)件首饰所用珠宝总颗数为________．(结果用n表示)13．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________.14．(2015·福建龙岩教学质量检查)定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．如1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)，1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)，1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)＋eq\f(1,20)，以此类推可得1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)＋eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＋eq\f(1,30)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,56)＋eq\f(1,72)＋eq\f(1,90)＋eq\f(1,110)＋eq\f(1,132)＋eq\f(1,156)，其中m≤n，m，n∈N*，设1≤x≤m,1≤y≤n，则eq\f(x＋y＋2,x＋1)的最小值为________．答案解析1．②2.83.分析4．a，b都不能被7整除5．x＋2y－z－2＝06．1解析因为Tm＝Tn，所以bm＋1bm＋2…bn＝1，从而bm＋1bn＝1，Tm＋n＝b1b2…bmbm＋1…bnbn＋1…bn＋m－1bn＋m＝(b1bn＋m)·(b2bn＋m－1)…(bmbn＋1)·(bm＋1bn)…＝1.7．61解析因为黑圆间隔的白圆数成等差数列，设有n组白圆，则有n－1个黑圆，故所有圆的个数为eq\f(1＋nn,2)＋n－1＝eq\f(n2＋3n－2,2)，由已知得eq\f(n2＋3n－2,2)≤2010.因为当n＝61时，eq\f(n2＋3n－2,2)＝1951<2010，当n＝62时，eq\f(n2＋3n－2,2)＝2014>2010，但第62组中共有62个白圆，所以在前2010个圆中共有61个黑圆．8．107解析由三角形数表可以看出其奇数行有奇数列，偶数行有偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数．又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63.因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923，设2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.9．a1＋a2＋…＋an≤eq\r(n)解析类比给出的材料，构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，即可得到结论．10.eq\f(1,27)解析从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1.故体积比是eq\f(V1,V2)＝(eq\f(1,3))3＝eq\f(1,27).11.eq\f(x,\f(3n－1,2)x＋3n)解析由已知，f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)的分子均为x，分母分别为x＋3,4x＋9,13x＋27,40x＋81，其中常数项为3n，x的系数为eq\f(3n－1,2)，故fn(x)＝f[fn－1(x)]＝eq\f(x,\f(3n－1,2)x＋3n).12．(1)66(2)eq\f(nn＋14n－1,6)，n∈N*解析(1)设第n件首饰上的珠宝颗数为an，则a1＝1，a2＝6，a3＝15，a4＝28，a5＝45，∵a2－a1＝4×1＋1，a3－a2＝4×2＋1，a4－a3＝4×3＋1，a5－a4＝4×4＋1，∴猜想an－an－1＝4(n－1)＋1＝4n－3，∴推断a6＝a5＋4×5＋1＝66.(2)由(1)知an－an－1＝4n－3，则an－1－an－2＝4(n－1)－3，…，a2－a1＝4×2－3，以上各式相加得an－a1＝4(n＋n－1＋…＋2)－3(n－1)＝eq\f(4n＋2n－1,2)－3(n－1)＝2n2－n－1，∴an＝2n2－n，则a1＋a2＋…＋an＝2(12＋22＋…＋n2)－(1＋…＋n)＝2×eq\f(nn＋12n＋1,6)－eq\f(1＋nn,2)＝eq\f(nn＋14n－1,6)，∴前n件首饰所用珠宝总颗数为eq\f(nn＋14n－1,6)，n∈N*.13．－g(x)14.eq\f(8,7)解析因为1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))，1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋(eq\f(1,3)－eq\f(1,4))，1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)＋eq\f(1,20)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋(eq\f(1,3)－eq\f(1,4))＋(eq\f(1,4)－eq\f(1,5))，以此类推可得：1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)＋eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＋eq\f(1,30)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,56)＋eq\f(1,72)＋eq\f(1,90)＋eq\f(1,110)＋eq\f(1,132)＋eq\f(1,156)＝eq\f(1,2)＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋(eq\f(1,3)－eq\f(1,4))＋eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＋(eq\f(1,5)－eq\f(1,6))＋(eq\f(1,6)－eq\f(1,7))＋(eq\f(1,7)－eq\f(1,8))＋(eq\f(1,8)－eq\f(1,9))＋(eq\f(1,9)－eq\f(1,10))＋(eq\f(1,10)－eq\f(1,11))＋(eq\f(1,11)－eq\f(1,12))＋(eq\f(1,12)－eq\f(1,13))，所以eq\f(1,m)＝eq\f