（江苏专用）高考数学 专题6 数列 45 数列的前n项和及求法 文-人教版高三数学试题

训练目标(1)求数列前n项和的常用方法；(2)数列通项求和的综合应用.训练题型(1)一般数列求和；(2)数列知识的综合应用.解题策略数列求和的常用方法：(1)公式法；(2)分组法；(3)并项法；(4)倒序相加法；(5)裂项相消法；(6)错位相减法.1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－6n(n∈N*)，则{|an|}的前n项和Tn＝________.2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.3．已知等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则Tn＝eq\f(1,a1a2)＋eq\f(1,a2a3)＋…＋eq\f(1,anan＋1)的结果可化为________．4．已知函数f(x)＝x2＋2bx过(1,2)点，若数列{eq\f(1,fn)}的前n项和为Sn，则S2016＝________.5．设函数f(x)＝eq\f(1,2)＋log2eq\f(x,1－x)，定义Sn＝f(eq\f(1,n))＋f(eq\f(2,n))＋…＋f(eq\f(n－1,n))，其中，n∈N*，n≥2，则Sn＝________.6．若数列{an}是1，(1＋eq\f(1,2))，(1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4))，…，(1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1))，…，则数列{an}的前n项和Sn＝________.7．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(5an－13,3an－7)(n∈N*)，则数列{an}的前100项和为________．8．(2015·贵阳一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝4，S4＝10，则数列{eq\f(1,anan＋1)}的前2015项和为________．9．设{an}是等比数列，公比q＝eq\r(2)，Sn为{an}的前n项和．记Tn＝eq\f(17Sn－S2n,an＋1)，n∈N*.设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0＝________.10．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn为其前n项和，数列{bn}为等差数列，且满足b1＝a1，b4＝S3.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝eq\f(1,bn·log2a2n＋2)，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：eq\f(1,3)≤Tn<eq\f(1,2).答案解析1.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6n－n2，1≤n≤3，,n2－6n＋18，n>3))2.1003.eq\f(2,3)(1－eq\f(1,4n))4.eq\f(2016,2017)解析由已知得b＝eq\f(1,2)，所以f(n)＝n2＋n，所以eq\f(1,fn)＝eq\f(1,n2＋n)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，所以S2016＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2016)－eq\f(1,2017)＝1－eq\f(1,2017)＝eq\f(2016,2017).5.eq\f(n－1,2)解析因为f(eq\f(1,n))＋f(eq\f(n－1,n))＝1，所以2Sn＝[f(eq\f(1,n))＋f(eq\f(n－1,n))]＋[f(eq\f(2,n))＋f(eq\f(n－2,n))]＋…＋[f(eq\f(n－1,n))＋f(eq\f(1,n))]＝n－1.故Sn＝eq\f(n－1,2).6．2n－2＋eq\f(1,2n－1)解析an＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)＝eq\f(1－\f(1,2)n,1－\f(1,2))＝2(1－eq\f(1,2n))，所以Sn＝2[(1－eq\f(1,2))＋(1－eq\f(1,22))＋…＋(1－eq\f(1,2n))]＝2[eq\x\to(1＋1＋…＋1)eq\o(,\s\up6(n个))－(eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n))]＝2[n－eq\f(\f(1,2)1－\f(1,2n),1－\f(1,2))]＝2[n－(1－eq\f(1,2n))]＝2n－2＋eq\f(1,2n－1).7．200解析设Sn为数列{an}的前n项和，由递推公式可得a1＝2，a2＝3，a3＝1，a4＝2，a5＝3，a6＝1，…所以数列{an}是周期为3的周期数列，∴S100＝33(a1＋a2＋a3)＋a1＝200.8.eq\f(2015,2016)解析设等差数列{an}的公差为d，则a4＝a1＋3d＝4，S4＝4a1＋6d＝10，联立解得a1＝d＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝n，eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，所以数列{eq\f(1,anan＋1)}的前2015项和为(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋…＋(eq\f(1,2015)－eq\f(1,2016))＝1－eq\f(1,2016)＝eq\f(2015,2016).9．4解析由等比数列的公比q＝eq\r(2)得Sn＝eq\f(a1[1－\r(2)n],1－\r(2))，an＝a1(eq\r(2))n－1，∴Tn＝eq\f(17\f(a1[1－\r(2)n],1－\r(2))－\f(a1[1－\r(2)2n],1－\r(2)),a1\r(2)n)＝eq\f(17[1－\r(2)n]－[1－\r(2)2n],1－\r(2)\r(2)n)＝eq\f(16－17\r(2)n＋\r(2)2n,1－\r(2)\r(2)n)＝eq\f(\f(16,\r(2)n)＋\r(2)n－17,1－\r(2))≤eq\f(8－17,1－\r(2))＝9(eq\r(2)＋1)．当且仅当(eq\r(2))2n＝16，即n＝4时，等号成立，即T4为数列{Tn}的最大项，此时n0＝4.10．(1)解因为数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，所以数列{an}是等比数列，公比为2，首项为1，所以an＝1×2n－1＝2n－1.设等差数列{bn}的公差为d，满足b1＝a1，b4＝S3，所以b1＝1，b1＋3d＝1＋2＋22，解得d＝2，所以bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n－1，bn＝2n－1.(2)证明cn＝eq\f(1,bnlog2a2n＋2)＝eq\f(1,2n－1log222n＋1)＝eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))，所以数列{cn}的前n项和为Tn＝eq\f(1,2)[(1－eq\f(1,3))＋(eq\f(1,3)－eq\