（江苏专用）高考数学 专题2 函数概念与基本初等函数 9 函数性质的应用 理-人教版高三数学试题

训练目标函数的单调性、最值、奇偶性、周期性.训练题型(1)判定函数的性质；(2)求函数值或解析式；(3)求参数或参数范围；(4)和函数性质有关的不等式问题.解题策略(1)利用奇偶性或周期性求函数值(或解析式)，要根据自变量之间的关系合理转换；(2)和单调性有关的函数值大小问题，先化到同一单调区间；(3)解题时可以根据函数性质作函数的草图，充分利用数形结合思想.1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为________．①y＝x＋1；②y＝－x3；③y＝eq\f(1,x)；④y＝x|x|.2．(2015·黄冈调研)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(x)＝f(x＋4)，且x∈(－2,0)时，f(x)＝2x＋eq\f(1,5)，则f(log220)＝________.3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x>0，,cosx，x≤0，))则下列结论正确的是________．①f(x)是偶函数；②f(x)是增函数；③f(x)是周期函数；④f(x)的值域为[－1，＋∞)．4．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F(x)有最______值，为________．5．设x>y>1,0<a<1，则下列关系正确的是________．①x-a>y-a；②ax<ay；③ax<ay；④logax>logay.6．若定义运算a⊙b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，a≥b，,a，a<b，))则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．7．(2015·四川成都七中零诊)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是________．①f(x)＝cos(x＋1)；②f(x)＝eq\r(x)；③f(x)＝tanx；④f(x)＝x3.8．(2015·安徽庐江部分示范高中第三次联考)定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x2－x，则当x∈[－1,0)时，f(x)的最小值为________．9．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0，f(x)＝x＋2，那么不等式2f(x)－1<0的解集是________________．10．(2015·广州综合测试一)已知幂函数f(x)＝x－m2－2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，则f(2)的值为________．11．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋eq\f(3,2))＋f(x)＝0，且函数y＝f(x－eq\f(3,4))为奇函数，给出下列命题：①函数f(x)的最小正周期是eq\f(3,2)；②函数y＝f(x)的图象关于点(－eq\f(3,4)，0)对称；③函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．其中真命题的个数是________．12．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的x的取值范围是________．13．已知定义在R上的偶函数y＝f(x)满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：①f(2)＝0；②直线x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；④若关于x的方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－8.其中所有正确命题的序号为________．14．(2015·湖北武汉部分学校毕业生2月调研)已知函数f(x)＝alog2|x|＋1(a≠0)，定义函数F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，x>0，,－fx，x<0，))给出下列命题：①F(x)＝|f(x)|；②函数F(x)是奇函数；③当a>0时，若x1x2<0，x1＋x2>0，则F(x1)＋F(x2)>0成立；④当a<0时，函数y＝F(x2－2x－3)存在最大值，不存在最小值．其中所有正确命题的序号是________．答案解析1．④解析易知y＝x|x|为奇函数，图象如下：从图知y＝x|x|为增函数．2．－1解析∵f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，∴定义在R上的函数f(x)是奇函数．∵4＝log216<log220<log232＝5，∴f(log220)＝f(log220－4)＝f(log2eq\f(5,4))＝－f(－log2eq\f(5,4))＝－f(log2eq\f(4,5))，∵－2<log2eq\f(4,5)<0，∴f(log2eq\f(4,5))＝2log2eq\f(4,5)＋eq\f(1,5)＝1，∴f(log220)＝－1.3．④解析因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶函数，排除A；因为函数f(x)在(－2π，－π)上单调递减，排除B；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x>0时，f(x)>1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)．4．－4解析由题意知f(x)＋g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，因为f(x)和g(x)都是奇函数，所以f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，即f(x)＋g(x)也是奇函数，所以f(x)＋g(x)在(－∞，0)上有最小值－6，所以F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(－∞，0)上有最小值－4.5．③解析对于①，－a<0，幂函数f(x)＝x－a在(0，＋∞)上是减函数，所以x－a<y－a，故①不正确；对于②，x>y>1，又a>0，利用不等式的性质得ax>ay，故②不正确；易知③正确；对于④，因为0<a<1，所以函数f(x)＝logax在(1，＋∞)上是减函数，又x>y>1，所以logax<logay，故④不正确．6．(－∞，1]解析由题意知x⊙(2－x)表示x与2－x两者中的较小者，借助y＝x与y＝2－x的图象，不难得出f(x)的值域为(－∞，1]．7．①解析对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数，∴函数的对称轴是直线x＝a，a≠0，②③④中，函数没有对称轴；函数f(x)＝cos(x＋1)，有对称轴，且x＝0不是对称轴，①正确．8．－eq\f(1,8)解析当x∈[－1,0)时，x＋1∈[0,1)．∵f(x＋1)＝2f(x)，∴f(x)＝eq\f(1,2)f(x＋1)＝eq\f(1,2)[(x＋1)2－(x＋1)]＝eq\f(1,2)(x2＋x)，其图象的对称轴为直线x＝－eq\f(1,2)，∴f(x)min＝f(－eq\f(1,2))＝－eq\f(1,8).9．{x|x<－eq\f(3,2)或0≤x<eq\f(5,2)}解析由题意知，函数y＝f(x)的定义域是R，当x<0时，f(x)＝x＋2，则当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－x＋2，又函数y＝f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝x－2，即f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x<0，,0，x＝0，,x－2，x>0，))因此不等式2f(x)－1<0等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,x＋2<\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,0<\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,x－2<\f(1,2).))解得x<－eq\f(3,2)或0≤x<eq\f(5,2).10．16解析因为幂函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，所以－m2－2m＋3>0，解得－3<m<1，因为m∈Z，所以m＝－2或m＝－1或m＝0.因为幂函数f(x)为偶函数，所以－m2－2m＋3是偶数，当m＝－2时，－m2－2m＋3＝3，不符合，舍去；当m＝－1时，－m2－2m＋3＝4；当m＝0时，－m2－2m＋3＝3，不符合，舍去．所以f(x)＝x4，故f(2)＝24＝16.11．2解析由题意可得f(x＋3)＝－f(x＋eq\f(3,2))＝f(x)，则函数f(x)是周期函数，且其最小正周期为3，故①错误；由y＝f(x－eq\f(3,4))是奇函数，可知其图象关于原点(0,0)对称，又函数y＝f(x－eq\f(3,4))的图象向左平移eq\f(3,4)个单位长度可得函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)的图象关于点(－eq\f(3,4)，0)对称，故②正确；由②知，对于任意的x∈R，都有f(－eq\f(3,4)－x)＝－f(－eq\f(3,4)＋x)，用eq\f(3,4)＋x代换x，可得f(－eq\f(3,2)－x)＋f(x)＝0，所以f(－eq\f(3,2)－x)＝－f(x)＝f(x＋eq\f(3,2))对于任意的x∈R都成立，令t＝eq\f(3,2)＋x，得f(－t)＝f(t)，则函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，故③正确．综上可知，真命题的个数是2.12.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,6)))解析偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，有f(2x)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))⇔f(|2x|)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，进而转化为不等式|2x|<eq\f(1,3)，解这个不等式即得x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,6))).13．①②④解析对于①，∵f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，∴当x＝－2时，f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，∴f(－2)＝0，又f(x)是偶函数，∴f(2)＝0，∴①正确；对于②，∵f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，f(2)＝0，∴f(x＋4)＝f(x)，∴函数y＝f(x)的周期T＝4，又直线x＝0是函数y＝f(x)图象的对称轴，∴直线x＝－4也为函数y＝f(x)图象的一条对称轴，∴②正确；对于③，∵函数f(x)的周期是4，∴y＝f(x)在[8,10]上的单调性与[0,2]上的单调性相同，∴y＝f(x)在[8,10]上单调递减，∴③错误；对于④，∵直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的对称轴，∴eq\f(x1＋x2,2)＝－4，x1＋x2＝－8，∴④正确．14．②③解析①因为|f(x)|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，|x|≥2－\f(1,a)，,－fx，0<|x|<2－\f(1,a)，))而F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，x>0，,－fx，x<0，))这两个函数的定义域不同，不是同一函数，即F(x)＝|f(x)|不成立，①错误．②当x>0时，F(x)＝f(x)＝alog2|x|＋1，－x<0，F(－x)＝－f(－x)＝－(alog2|－x|＋1)＝－(alog2|x|＋1)＝－F(x)；当x<0时，F(x)＝－f(x)＝－(alog2|x|＋1)，－x>0，F(－x)＝f(－x)＝alog2|－x|＋1＝alog2|x|＋1＝－F(x)．所以函数F(x)是奇函数，②正确．③当a>0时，F(x)＝f(x)＝alog2|x|＋1在(0，＋∞)上是单调增函数．若x1x2<0，x1＋x2>0，