平面向量课件

平面向量1.向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量（注意：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小）②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行，零向量＝｜｜＝0.（注意：由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件，且注意与0的区别）③单位向量：模为1个单位长度的向量（向量为单位向量｜｜＝1.）④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，称为平行向量，记作∥；由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量.（注意：数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．）⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同注意：（1）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（2）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（3）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关题型1、基本概念判断正误：例1：下列说法正确的是(

)A.向量与向量BA的长度相等B.两个有共同起点长度相等的向量的终点相同C.零向量没有方向D.任意两个单位向量都相等例2：判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．练1：判断（1）共线向量就是在同一条直线上的向量；（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点；（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的；（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是；（5）若，则A、B、C、D四点构成平行四边形；（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量；（7）若与共线，与共线，则与共线；（8）若，则；（9）若，则；（10）若与不共线，则与都不是零向量；（11）若，则；（12）若，则.2.向量加法和减法求两个向量和（差）的运算叫做向量的加（减）法运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则例2：如下图，解答下列各题：(1)用a，d，e表示；(2)用b，c表示；(3)用a，b，e表示；(4)用d，c表示.例3：（1）已知向量a、b的模分别是|a|＝9，|b|＝6，求|a＋b|的最大值和最小值.（2）已知，，求的取值范围.练1：在平行四边形ABCD中,,,若,,若，的值.练2：若,,则的取值范围是3.实数与向量的积：运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的乘法是一个向量,满足:>0时,与同向;<0时,与异向;=0时,=∥★两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=题型3、向量的数乘运算例1：已知

λ

,

μ

∈

R

,且

a

≠

0

，则在以下各命题中，正确命题的个数为()①

λ

<

0

时,

λ

a

与a的方向一定相反;②

λ

>

0

时,

λ

a

与a的方向一定相同;③

λ

≠

0

时,

λ

a

与a是共线向量;④

λ

μ

>

0

时,

λ

a

与

μ

a

的方向一定相同;⑤

λ

μ

<

0

时,

λ

a

与

μ

a

的方向一定相反;A.

2

B.

3

C.

4

D.

5例2：已知非零向量

e

1,

e

2不共线

.(1)

若

=

e

1

+

e

2,

=2

e

1

+8

e

2,

=3(

e

1

-

e

2),求证:

A,

B,

D三点共线;(2)

欲使

k

e

1

+

e

2和

e

1

+k

e

2共线,试确定实数

k的值

.练1：计算：（1）（2）练2：已知，则练3：已知

a,

b是两个非零向量,判断下列各命题的真假,并说明理由.(1)

5

a

的方向与

a的方向相同,且

5

a

的模是

a的模的

5

倍;(2)

-4

a的方向与8

a的方向相反,且-4

a的模是8

a的模的

;(3)

−

1

2

a

与

1

2

a

是一对相反向量;(4)

a

−

b

与

−

(

b

−

a

)

是一对相反向量.练4：已知任意两个非零向量

a

、

b

,试作

=

a

+

b

,

=

a

+2

b

,

=

a

+3

b

.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?4.向量的坐标运算1.平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标注意：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：若，则若，则若=(x,y)，则=(x,y)若，则若，则若，则题型4、向量的坐标运算例1：（1）已知三点A（2，-1），B（3，4），C（-2，0），则向量，；（2）已知向量a，b的坐标分别是（-1，2），（3，-5），求a+b，a-b，3a，2a+3b的坐标.例2：已知三点A（2，3），B（5，4），C（7，10），点P满足.

①为何值时,点P在直线上；

②设点P在第三象限,求的取值范围.练1：已知，，，则练2：已知，，求，，.练3：（1）已知,向量与相等，求的值.（2）已知是坐标原点，，且，求的坐标.5.基底：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底题型5、判断两个向量能否作为一组基底（①两向量是非零向量②两向量不共线）例1：已知是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：A.B.C.D.练1：已知，能与构成基底的是（）A.B.C.D.题型6、结合三角函数求向量坐标例1：已知是坐标原点，点在第二象限，，，求的坐标.练1：已知是原点，点在第一象限，，，求的坐标.6.向量的数量积：①已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）规定②向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影③数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积④向量的模与平方的关系：⑤乘法公式成立：；⑥平面向量数量积的运算律：（1）交换律成立：（2）对实数的结合律成立：（3）分配律成立：注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=⑦两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则·=⑧向量的夹角：已知两个非零向量与，作=,=,则∠AOB=（）叫做向量与的夹角cos==当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题⑨垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥⑩两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O.平面向量数量积的性质.题型7、求数量积例1：已知，且与的夹角为，求（1），（2），（3），（4）.练1：已知，求（1），（2），（3），（4）.题型8、求向量的夹角例1：（1）已知向量，满足，且，则与的夹角为

.（2）已知非零向量，满足与互相垂直，与互相垂直，求与的夹角．例2：已知与夹角为45°,则使

与

的夹角为锐角时,的取值范围是.例3：已知,且,若对两个不同时为零的实数k、t,使得与垂直,试求k的最小值.练1：已知两向量与满足，,且,则与的夹角为

.练2：已知，向量a与b的夹角为，p＝3a－b，q＝λa＋17b，则系数λ＝________时，p与q垂直．练3：（1）已知，求与的夹角.（2）已知，，，求.题型9、求单位向量【与平行的单位向量：】例1：与平行的单位向量是。练1：与平行的单位向量是。题型10、向量的平行与垂直例1：已知，，当为何值时，（1）？（2）？练1：已知，，（1）为何值时，向量与垂直？（2）为何值时，向量与平行？题型11、向量在几何中的应用例1：等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，D是应的中点，E是AB上的点，且AE＝2BE，求证：AD⊥CE.例2：已知在等腰△ABC中,BB′、CC′是两腰上的中线,且BB′⊥CC′,求顶