高等数学-第三章中值定理与导数的应用习题课

第三章微分中值定理与导数

的应用习题课Ⅰ微分中值定理Ⅱ洛必达法那么与泰勒公式Ⅲ导数的应用一、微分中值定理

1．罗尔定理2．拉格朗日中值定理3．柯西中值定理在上连续,在内可导,且,在上连续,在内可导,则至少存在一使在上连续,在内可导,，则至少存在一使则至少存在一使Ⅰ微分中值定理

三、三个定理之间的内在联系

拉格朗日中值定理罗尔定理柯西中值定理二、判别的方法

若，则

一、洛必达法那么1．洛必达法那么：

①函数与都趋向于0(或);

②

与都存在,且;

③

存在(或为无穷大).那么

设在

的某一趋向下,函数与满足:Ⅱ洛必达法那么与泰勒公式其它型：

转化为“”型或“”型2．适用类型：未定式基本型：“”型“”型，运用洛比达法则求.1．泰勒公式拉格朗日型余项

佩亚诺型余项

如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数2．麦克劳林公式拉格朗日型余项

佩亚诺型余项

泰勒公式拉格朗日中值定理3.泰勒公式与中值定理的联系n＝04．常用的初等函数的麦克劳林公式(佩亚诺型余项)一、函数的极值与单调性

1．函数极值的定义2．函数的驻点

则为的驻点。

在上，若，则单调增加；

若，则单调减少；

为极大值.)(),()(),,(000。xfxfxfxUx£ÎdⅢ导数的应用

3．函数的单调区间的判别函数在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.2．函数的拐点称曲线为凹的；

称曲线为凸的。

二、函数的凹凸性及拐点凹弧与凸弧的分界点。

凹；凸。

1．函数凹凸性定义函数在[a,b]上连续3．函数凹凸性的判别函数在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,在(a,b)内1．第一充分条件三、函数极值的充分条件则在处取得极大值；则在处取得极小值；（3）若

时，的符号保持不变，则在处没有极值；（1）若

时，而

时，（2）若

时，而

时，函数在处连续,在的某去心邻域内可导2．第二充分条件（2）当时，函数在处取得极小值；（1）当时，函数在处取得极大值；设函数在处具有二阶导数且，，那么

四.求函数极值的解题方法求的极值为极大值求定义域为驻点变号由正到负Yes第一充分条件第二充分条件Yes在内求的驻点及不可导点为极小值为极值为极值在变号为极小值为极大值非极值YesNoNoNoNoNo解题方法流程图

中值定理典型例题

定理的三个条件。【例1】若方程有一个正根,证明方程必有一个小于的正根.分析如果令，无法判定,所以不能利用零点定理,考虑利用罗尔定理证明。的左端函数,其次在题设的相应区间上满足罗尔首先构造一个函数使，其中是欲证方程

证明:设由罗尔定理，存在使

即这说明就是方程的一个小于

的正根.上连续且可导，由题设易知多项式函数在【例2】证明方程至少有一个正根，其中是任意常数。零点定理,考虑利用罗尔定理证明。因此构造函数分析如果令，由于在范围内,不能找到区间，使得,所以不能利用由于要证明方程至少存在根，所以，要在的范围内找到一个闭区间

，使得。通过观察

的系数，不难发现

所以选取，因此，对应用罗尔定理即可证明。

证明：令取区间显然在连续，在内可导，且即应用罗尔定理知，存在，使得构造函数因此，方程至少有一个正根。

【例3】

设在上连续,在内可导,且.证明存在一点使罗尔定理的条件，且从中能得出.由于结论是两项和，故为两个函数乘积的形式。将

分析从结论看等价于方程有实根，但若利用零点定理，无法验证

，所以采用罗尔定理证明。关键是找,使在上满足换为若令则结论为证明:令且,故由罗尔定理知,使即由已知条件知

在上连续,在内可导，【例4】

设证明：

分析将所证不等式变形为

,可见,此题类型为利用拉格朗日中值定理证明不等式。只要对在上应用拉格朗日中值定理即可.

证明:对函数在上应用拉格朗日中值定理,即故或得显然有【例5】

设,函数在上连续,在内可导,试证在内至少存在一点使成立.分析

将所证等式变形为或

可见，应对

与在上应用证明:设由题设知,与在上满足柯西中值定理的条件。由柯西中值定理可知，柯西中值定理.总结：利用中值定理证明相关命题，关键是根据题目的特点，寻找适宜的定理及相应的辅助函数。步骤如下：〔1〕构造辅助函数；〔2〕确定区间；〔3〕验证定理条件。亦即在内至少存在一点

,使即分析证明函数恒等式，主要是利用拉格朗日定理的推论：【例6】证明证明：设因故上是一个常数.（为常数）

又因

所以即显然

从而有

如果函数在区间上的导数恒为零，那么

在区间洛必达法那么与泰勒公式典型例题【例1】计算

解:（型）分析当分子分母均趋近于0,为型,

用洛必达法则计算.【例2】计算

解：

（型）（型）分析当分子分母均趋近于0,为型,

用洛必达法则计算.【例3】计算解：等价无穷小代换（型）分析当分子分母均趋近于0,为型,

用洛必达法则计算.【例4】计算

解：

(型)

(型)

分析当时,函数式为型,

将其化为或型.【例5】计算

解：

(型)（型）（型）分析当时,函数式为型,

将其化为或型.【例6】求

解：

(型)令

（型）分析当时,函数式为型,

将其化为或型.【例7】计算解:(型)

分析当时,函数式为型,

将其化为或型,再运用洛必达法那么计算.(型)

（型）使用洛必达法那么求极限应注意的问题①洛必达法那么可反复使用,但是要注意验证洛必达法那么的条件.②单纯应用洛必达法那么可能导致繁杂的计算，注意把求极限的多种方法综合运用〔如等价无穷小代换、两个重要极限、变量替换等〕，并利用极限运算法那么及时化简非零因子，可使计算简捷。【例8】将函数

在点处展成一阶及三阶的泰勒公式，并写出相应的拉格朗日型余项。解：因

所以

一阶泰勒公式为余项为：

其中在与之间.三阶泰勒公式为余项为:0.【例9】求函数按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式。

解：将

按展开n阶泰勒公式,即在处展开.因为

所以

则的n阶泰勒公式为:即

在－1与之间.【例10】求函数的带有佩亚诺型余项的n阶麦克

劳林公式。解：求

的n阶麦克劳林公式,即在处展开.因所以

的n阶麦克劳林公式:则即

导数应用典型例题

解:【例1】确定函数的单调区间。

因为，故知的不可导点仅有,令

，得，。从而有当时，，故在内单调减少；

当时，，故在内单调减少；

当时，，故在内单调增加；

当时，，故在内单调减少；

【例2】设可微函数由方程所确定，

试确定此函数的单调区间。解:在方程两边对求导，得，即。令，得，。从而有当时，，故在内单调减少；

当时，，故在内单调减少；

当时，，故在内单调减少；

【例3】当时,

证明：设故

在上单调增加，而

因此

即因为【例4】证明：当时，有不等式.证明：设,则；从而在内单调增加，即有

因此在内单调增加，于是有

即

亦即

【例5】试确定函数中的，使得

为函数的驻点，点为函数的拐点，并求出拐点.解：，。由于点为拐点，必有,即，。又点

为驻点，必有，即，

从而函数为，注意到

当时，，图形是凸的；

当时，，图形是凹的；

而。故曲线

的拐点为。【例6】求函数

的极值.解：（1）函数的定义域为

（2）

（3）令得驻点；〔4〕利用第一充分条件。当

时，；当时，.同理在

处取得极大值,极大值为.此题的第四步也可用第二充分条件来判别：因而,函数在处取得极小值，极小值为

.〔4’〕利用第二充分条件。所以，

在处取得极小值,极小值为;【例7】求函数

的极值.解：函数的定义域

为令

,得驻点,且在内只有一个驻点,而无不可导点.在处取得极大值，且极大值为

.从而，函数在

处取得极小值，极小值为0.【例8】求函数

的极值.解：（1）函数的定义域

为;（2）当时,

;当时,不存在.（3）函数在内无驻点,只有一个不可导点;（4）由于在内,,函数单调增加;在内,,函数单调减少;极大值为.又函数在处连续,于是函数