数列（解答题）-2023届天津市高考数学二轮复习练习【2023高考模拟题】

05数列(解答题)-2023届天津市高考数学二轮复习专题练

习【2023高考模拟题精选】

一、解答题

1.(2023.天津河北.统考一模)设等比数列｛%｝的前八项和为S.,"∈N∙,若q=-2,

且S2、5”、S“M成等差数列.

(1)求数列｛凡｝的通项公式；

⑵设”=等，n∈N∙,其中表示不超过X的最大整数，求数列｛4〃,｝的前10项

的和；

⑶设c,,=(2"-l)%,,〃eN*,求数列｛g｝的前八项和人

2.(2023•天津・统考二模)己知｛%｝为等差数列，数歹支2｝满足心∣=2⅛("eN*),且

4+4=4,⅛2=4,a3=5.

⑴求｛%｝和也｝的通项公式；

为奇数

(2)若C=W〃为偶数，求数列｛%｝的前2〃项和；

b；

(3)设｛4｝的前”项和为s“，证明：∑-~7^<—(neN).

,=∣DjNq

3.(2023•天津和平•统考二模)已知数列｛%｝为等差数列，数列他,｝为等比数列，且

4=2⅛1=2,%=b4,a3+ci5=&.

(1)求数列｛4,｝,｛2｝的通项公式；

⑵求Z∕τ%

k=2

(3)求fʃ陛也初一(一1)面］(〃WN)

A=ILaA+∖J

4.(2023•天津河西•统考二模)已知数列｛%｝是等差数列，数列｛，｝是等比数列，且满

足q=4=1,&=%一1，¾-l=⅛3-⅛2.

⑴求数列｛4｝和｛列｝的通项公式;

(2)记7；为圾｝的前"项和，求证：Tn-Tn+2<T^i.

6〃+13

,〃为奇数

¾∙¾÷2∙⅛÷2

，数列｛%｝的前〃项和为(,,，求证：K<5.

⑶记cn=，2ln

“为偶数

⅛+ι

5.(2023・天津南开•统考一模)已知等差数列｛α,J的首项为I,前”项和为S,,,单调递

增的等比数列｛2｝的首项为2,且满足包+$2=7也+M=14.

⑴求｛4｝和也｝的通项公式;

(2)证明：35“=¾Sn+1-(¾-l)5,,(n∈N*)；

“TS1

⑶记他｝的前〃项和为7.，证明：∑÷i-<-w(w+l)ω+2).

J=IO13

6.(2023.天津河东.一模)设血｝是等差数列，也｝是各项均为正数的等比数列,

=

b`_〃[=%—”2=—”3=I.

⑴求数列｛%｝与｛⅛｝的通项公式；

(2)｛α,,｝的前”项和为S“，求证：=b；

*xΛ-1

(3)求S”也ι+∣"

I=I

7.(2023•天津和平•统考一模)已知数列｛q｝为首项4=1的等比数列，且。“尸凤上赤川

成等差数列；数列也｝为首项4=1的单调递增的等差数列，数列也｝的前〃项和为5“,

且S/,S,+3成等比数列.

(1)求数列｛a,,｝,｛2｝的通项公式;

3

m∑≡≡1),(w∈N*);

姐+1

⑶数列｛cz,｝满足C=詈,记G,和7；分别为｛4｝和｛%｝的前“项和,证明：Tn<^-.

8.(2023•天津・统考一模)在公差不为零的等差数列｛““｝和等比数列｛2｝中，S.为｛q｝的

前”项和.己知生=4=3,Sg=d,且々是生与％的等比中项.

⑴求｛《,｝和他｝的通项公式；

⑵记数列｛6,也｝的前"项和为7.，求;

试卷第2页，共4页

(3)求JSL(T)I----∆-,-k---.

y¾∙¾÷l

9.(2023•天津•统考一模)已知数列｛4｝中，q=l,%=2,¾+2-¾=4(n∈N∙),数列

｛《,｝的前N项和为S”.

(1)求数列｛%｝的通项公式：

(2)若求数列｛〃｝的前〃项和T.；

»2”+ɔ”

⑶在(2)的条件下，设G=不置一，求证：6-^氏*<8-*上

10.(2023•天津和平•统考一模)已知函数f(x)=e*-Fg(X)=In(X+2)-a,其中e为

自然对数的底数，β∈R

⑴当4>0时，函数"x)有极小值〃1),求。；

⑵证明：f'(x)>g(x)恒成立；

(3)证明：ln2+(l∏3]+h∏3]+…+[in史ɪɪ]<—^―.

I2jLɜjI〃Je-I

11.(2023・天津红桥•统考一模)已知数列｛“"｝是公差为2的等差数列，其前8项的和为

64.数列出｝是公比大于0的等比数列，bl=3,⅛3-⅛2=18.

⑴求数列｛4｝和也｝的通项公式；

⑵记%=(-1)"片,〃∈N*,求数列｛%｝的前2〃项和S2n；

⑶记dn=乌二，〃∈N*,求数列｛4｝的前”项和Tn.

12.(2023•天津河东•统考二模)已知等比数列津“｝的公比4>0,且满足4+%=6%,

%=4裙，数列也J的前，项和S,,="D,〃eN*.

(1)求数列｛“,J和g”｝的通项公式；

驾gq+2，"为奇数

⑵设1=姐-2,求数列｛c,J的前2〃项和4”.

为偶数

13.(2023・天津・一模)已知数列｛即｝的前附项和为S〃，且点(〃，Sn)在函数y=2χ+'

-2的图象上.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列｛加｝满足:b∣=0,bn+∣+bn=an,求数列｛加｝的前”项和公式；

(3)在第(2)间的条件下，若对于任意的"∈N*不等式加<助”+/恒成立，求实数2

的取值范围.

14.(2023・天津・三模)已知数列｛4｝是等差数列，｛仇｝是等比数列，且％=卬+%，

b2n,.t,n=3m-2,

“=伪也，ai=b4,由=α∣6,数列｛%｝满足。=<HM,"=3∕"-1,其中机eN*.

am,n=3m,

(I)求｛%｝和也｝的通项公式；

(∏)求ZQCJt+∣

k=∖

15.(2023・天津•二模)已知等差数列｛4｝的前〃项和为S〃，并且生=2,S5=i5,数列｛"｝

满足：I，b,,u=字5WN*),记数列0｝的前〃项和为T“.

(1)求数列｝的通项公式。“及前〃项和公式S.;

(2)求数列｛4｝的通项公式力及前”项和公式7；；

(3)记集合"=｛〃|竺金若M的子集个数为16,求实数2的取值

范围.

试卷第4页，共4页

参考答案：

I.⑴%=(-2)"

(2)3186

(3)7›(6〃一5)；4%2。

【分析】(1)由S“+2、S八S“M成等差数列可求出数列｛为｝的公比，结合4的值可求得等比

数列｛4,,｝的通项公式；

(2)求出％τ=3b2k=k,其中％∈N∙,即可求得数列｛4"｝的前10项的和；

(3)求得ς1=(2"-l)∙4",利用错位相减法可求得7；.

【详解】(D解:因为S2、工、ST成等差数列,则S.+3+?=2,,

即(S“+2一S,)+(5,l+,-ξ,)=0,即all+2+¾t,+*=0,BRall+2=-2αn+1,

设等比数列｛q｝的公比为4,则q=%1=-2,

aιι+∖

又因为4=-2,则4=WT=(-2)”.

(2)解：依题意，对任意的ZeN*,&T=^=k,b2k=--—=⅛+—=k,

设数列｛《2｝的前10项的和为A,

则A=(albl+a7bi++岫)+(¾⅛2+a4b4++al0bl0)

=(4+2q++5αy)+(¾+2a4++5«]0)

=(4+2/++56<y)-2(αl+2ai++54<J

39

=-(al+2a3++5679)=l×2+2×2++5×2=2+16+96+512+2560=3186.

⑶解:由⑴可得ς,=(2〃-l)%=(2cT)∙4",

23

所以，^I=1×4+3×4+5×4++(2”—1)X4",

47；,=l×42+3×43+L+(2n-3)×4,,+(2n-l)×4,'+l,

上述两个等式作差可得-37；=4+2X(4?+43+L+4")-(2〃-1)X4,'+l

答案第1页，共23页

2X44,,+-+-2,j4+l,

=4+0~)-(2H-1)×4'=y[∣]×"

化简得T=(6〃-5)XL+20

"9

3"1

2.(D¾=y+p7=2"

ɔ3/?2÷n+32〃+3

(2)------------------------------

22-4"

(3)证明见解析

【分析】(1)分析可知｛〃｝为等比数列，确定该数列的公比与首项，可求得数列｛仇｝的通项

公式；

(2)求出数列｛c,J的通项公式，利用奇偶分组求和法结合等差数列的求和公式、错位相减

法即可求得数列｛1｝的前2〃项和；

⑶先证明柯西不等式由+s；++sj(f+片++^)>(V,+5√2++S∕)2,求出S“，

然后利用柯西不等式可证得结论成立.

【详解】(I)解：由%=2d("∈N)及仇=4可知，数列也｝是以2为公比的等比数列，

所以，b∖=g=2,故d=2x2"τ=2",

设等差数列｛为｝的公差为d,由J可得4=2,d=|，

所以，¾=2+∣(w-l)=^+l

3〃1、|-√U"∙

一+一,〃为奇e数ll

(2)解：：,2,设数列｛%｝的前"项和为萼，

铝,〃为偶数

T2n=cl+c2++c2n=(c,+c3++c2,,-l)+(c2+c4++c2n),

记A”=。1+%++GnT，=C2+C4++C2n,

g、iΛCU/c1∖n(2+3n-l)3π2+H

所以'Az,=cl÷c3+■+c2rt,l=2+5++(3〃-I)=---------------=---'

n713196〃+1G

B"=G+q+÷c2∏=2τ+2r+2τ+①

答案第2页，共23页

ID7136〃一56n+l

V=尹+齐++22M+I+22πf3'②

①-②可得力,,，+6

+

4"8F

_7ɪI6〃+1_96〃+932/1+3

=8+4^47^2∙4M+*=8-2.4n+1,九人纥=7

22∙4”

3/?2+n÷32〃+3

因此，T=A^B=

2llπn22∙4”

(3)证明：先证明柯西不等式付+S；++sjG+g+2

+^)≥(ψl+V2++v„)

构造函数/(X)=(SIXTl)2+(S2%-力++(SMT(ΛEN∙)

显然/⑺之。且/(%)=+S；++S1)χ2-2(s£+与，2++S/〃)工+(彳+/；++1)，

24y2+v++t+t+

所以，Δ=4(s∕l+¾++⅛)-(∙∣∙2^n)(i2+Y)≤0,

即1;+$++f)(彳+片++[)≥(ψ∣+¾++S/,,)2

当且仅当%=s∕(ij∈{l,2,㈤)时，等号成立,

fɔɪɜrt+1

本题中，由(1)可得/(q+qj=I23n2+5/7,

“-2―24

11

所以'b“医J3T+5"∙2"T'且3〃2+5〃<3〃(〃+1)31几n+l

n11ɪ

所以，⅛<3++，•+1__L1-

nn+i3n+l4,

25_4

4

,+++<3,

∑(⅛PrBBΓ^r=34"

4

、22

"117144

所以，S---------7=<一≤∑3⅛<—X—=—

24339

7

但叵=2不恒为常数,所以等号不成立,

b„T

Sl217

则Z⅛"F<五〃∈N"

答案第3页，共23页

【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解;

（2）对于｛“也｝结构，其中｛4｝是等差数列，优｝是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于｛q+"｝结构，利用分组求和法；

（4）对于［」一］结构，其中｛%｝是等差数列，公差为d（dwθ）,贝ij」一=JfL-L

aaada

l,Λ+lJn,,+i∖1,¾÷）

利用裂项相消法求和.

π

3.(1)4=2〃,bn=2-'i

呜+(3n-4)4w+,

9

4〃

⑶

4〃+2

【分析】（1）由条件结合等差数列和等比数列通项公式求｛4｝的公差d,数列｛d｝的公比4,

由此可得数列｛%｝,｛〃,｝的通项公式；

（2）由（1）可得加%利用错位相减法求其和即可；

2〃lɑɑb2〃

（3）设4=g—5E,B=Z（-l）*d,利用裂项相消法求A的值，利用分组求和法求8,

出=14l%+lk=l

由此可得结论.

【详解】（1）设等差数列｛%｝公差为d,等比数列色｝公比为4,

又q=2b∣=2,

因为%+%=b5,ai=bi,

2+2d+2+4d=q4,2+3d=/,

所以q=2,所以2=2"T,

所以2+34=8

所以d=2,

所以4=2+2（"-1）=2”.

答案第4页，共23页

(2)¾Λ=(2n-2)∙22rt-'=(n-l)4n.

令S"=Z¾-∣⅛i,则

J-2

23

SW≈0+1×4+2×4++(n-l)4∖

4S,,=0+l×43+2×44++(n-2)4,,+(rt-l)4,'+1,

两式相减得

23,,,,+164，，+，

-3S,,=4+4+4-(n-l)4'=~+

"v'1-4v'33

16(3π-4)4n+l

o_——H

〃99

1

(3)-(-ɪ)'flφ∑⅛i+,-∑(-l)^,,

A=ιL¾¾÷ιJA=Iakak+iI

设A=£3WB=f>l)W∙

女=Iakak+∖A=I

3,—一21

akak^""2Z∙(2Z+2)4(Z+1kJ'

(T)%；=(T)Y必2)

β=4[-l2+22-÷(2√]=4×(3+7++4〃—1)=4χ(§gT)「〃=犷+4〃.

4〃1

矶-(T)Ad------8n^9-4n

4π+22

4.(l)¾=2n-l,h,,=2"-';

(2)见解析

(3)见解析

q1-Id

【分析】（1）题意可得出解方程求出4="=2,再由等差和等比数列的通项公

d=q2-q

式求解即可;

（2）由⑴可得：T11=2"-1,证明T>*2-*<0即可;

答案第5页，共23页

6n+13

”为奇数

(2π-l)(2n+3)2"+l

(3)求出％=,设｛%｝的前2〃项和，奇数项和为2,偶数项

J"”"+",“为偶数

和为Q,由裂项相消法求出乙，可证得匕<1,对。“放缩可得Q<£+,+*++ɪ,

再由错位相减法可证得&<4,即可证明K2n<5.

【详解】⑴设数列｛%｝的公差为d,数列也“｝的公比为列

由4=4=1,b3=a3-｝,",-l=a-打可得：,

d^q^-q

解得：4=2或g=()(舍去)，则1=2,

n

所以q,=2"-l,bπ=2-'i

(2)由(1)可得：7「(I)4"7,

”1-2

2

TJTn+2-a=(2"-1)(2*-l)-(2"÷'-l)=-2"<O,

即骞♦&2<嚼;

6«+13

,〃为奇数

(2n-l)(2n+3)2,j+'

(3)由(1)知,a=2n-∖,"=2"τ,所以g=.

n-H粤三I,W为偶数

设｛%｝的前2〃项和，奇数项和为E,,偶数项和为。”,

Pft=cl+c3+c5+L+c2n^,Qtf=c2+c4+c6+L+c2n,

,、,,6τ¾+131____________]

当“为奇数时‘c∏-(2n-l)(2n+3)2n+'^(2n-l)2π^l^(2n+3)2n+',

q=q+G+C5+L+。2〃一1

=U---Op__Op___M.+(!______!

U×2o5×22J+｛5×229×24J+<9×2413×26J+[(4n-3)×22n^2(4n+l)×22,∙

=I---------!--------<1

(4n+l)×22π'

答案第6页，共23页

八2462∕?123n

2,=c2÷c4+c6+÷⅛<—+—+—++凄=及+婷声++而，

、□n123n

设凡=牙+亍^+0^++27T,

Inl23n

-RH=-T—T—r+—，

22,22232〃

b…In111

所以/=矛+k>+

2

n〃+2

Rn=“$卜=4-<4,

Fr2"^'

所以6<5.

5.(l)αn=n,⅛=2"

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)根据条件，列出关于q,d的方程组，即可求解；

(2)根据数列的前〃项和S“与。”的关系，集合等差数列的通项公式，即可证明；

=∣n(rt+l)(rt+2).

(3)首先化简并放缩不等式，^<Z(∕+l)=l[z(z+l)(∕+2)-(Z-l)∕(z+l)],再利用裂项相

消求和，即可证明.

【详解】(1)由题意，设等差数列｛4｝的公差为d,等比数列｛2｝的公比为鼠4工1),

因为仇+S2=l,b3+S3=14,

2q+d+2=7,2q+d-5,

所以

2/+34+3=14,2q2+3d=∖∖.

广：(舍去)，或4=2,

解得

a—5d=1,

所以%="也=2".

H(H÷1)

(2)由(1)知S,=

f2

答案第7页，共23页

所以。上2-(册-1)Sn=an(Sn+¾+1)-(¾-l)∖

,

=Sn+¾¾+ι=5n+n(n+l)=35n.

(3)由(1)知T=土_ΞJ=2Z,+,-1∙

”1-2

所以更=整=(*T[(+1)<

l,+

bi22'I'

=l[√Z+l)0∙+2)-(z∙-l)∕(∕÷l)]

所以t+1)(1+2)-(1τ)∙l∙(l+l)]+:[2∙(2+1)(2+2)-(2一1)∙2∙(2+1)]

/=1433

++；[(〃_1)+(〃-2)(1_1)〃]+：[〃(〃+1)(〃+2)一(〃-1"("+1)]

〃TS1

即∑-j-l<-W(H+1)(∏+2)

»=1½3

6.(l)¾=2n-3,"=2"T

(2)证明见解析

(3)2"-2”-1

【分析】(1)根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式列出方程组，解之即可求解；

(2)结合已知条件可得，=〃("-2),则2$=2"2,由⑴可知勿τ=2"i=2-2,进而得

证；

(3)利用错位相减法即可求解.

1

【详解】⑴设M=4+("T)”,bn=blq"-,q>0,rt∈N*

由已知4=T,a=1,

f2d-q=2

k,,0，解为q=d=2,

[3d-q=2

%=2〃-3,bn=T-'.

(2)由已知S,,=旦|&〃=〃5一2)

答案第8页，共23页

左式23=，右式=2-1=2修,

.⅛

••2"=%

(3)由己知7；=∑«,A,-i+l=她+a2bn^+aibn,1+…+岫,

/=1

7；,=(-l)×2"^l+l×2π^2+∙∙∙+(2n-5)×2l+(2∕ι-3)×20(Γ)

27；,=(-l)×2,'+l×2,'^l+∙∙∙+(2n-5)×22+(2n-3)×2'(2)

②-①为<=(T)X2"+2"+2"-∣+…+22-(2,-3)X2°,

2"-2_]

0

T11=4×-yη(2n-3)×2=2"-2n-i.

H-I

7.⑴4,;t>n=3n-2■

⑵(τ)“*T

(3)证明见解析.

【分析】(1)利用等比数列基本量运算可得｛”,｝的通项公式，由等差数列的基本量运算结合

条件可得他,｝的通项公式；

(2)利用裂项相消法即得；

(3)利用错位相减法及等比数列求和公式结合条件即得.

【详解】(1)设等比数列｛q｝的公比为4,数列也｝的公差为d(">0),

由题知：6¾+l=all+9an+2,

所以6q=l+9q2,即9q2-6q+l=O,解得q=g,

所以q,=qg"'=(；)>

又出=S∣∙(S4+3),即(2+d)2=l∙(7+6d),

解得"=T(舍)或d=3,

所以包=1+3("-1)=3〃-2；

答案第9页，共23页

(-l)"(2",+3)(—1)"(6"-1)I1

(2)由)=3"-2,可得=(-Dπ------1------

bπbn+l(3zr-2)(3n+l)3〃-23n+l

所以落粤生

i=ι岫h[

=-ι÷(-ιY,-^=(-ι)——_I；

V73H+1V73/?+1

⑶因为%=、「，所以C,=詈弋,

T123n

+++十一

^=3F73〃

EllT123n-∖n

则到=三+予+*++丁+诃，

所以方-亨3

1-r<0,

4⅛4(^⅛h⅛

所以[吟.

8.(1M=2〃-1,8=3"

(2)，=3+(〃-1)x3向

2n

,〃为偶数,

⑶火㈠尸卫―2〃+1'

A=Iak'¾+l2n+2

,"为奇数.

2/7+1

【分析】(1)设｛a,J的公差为d,也J的公比为4,由题意可得9=(3-d)(3+3d),求得d=2,

4=1,即可求得的通项公式，接着可得仇=S9=3χ∕=8i,算出夕=3即可：

(2)利用错位相减法求解即可;

答案第10页，共23页

4k1

⑶化简㈠产初=（T产⅛τy+而i）,然后分〃为偶数和"为奇数进行求和即可

【详解】（1）设｛%｝的公差为d,｛〃,｝的公比为心由题意

a；=aias,即9=(3-d)(3+3d),

∖∙d≠0,解得d=2,.∙.q=l,Λan=l+2(∕z-l)=2∕z-l.

Ox2

VS9=9+^-×2=81,.∙.⅛4=3×√=81,：.q=3

3".

π

(2)α,,∙⅛n=(2n-l)×3

η,=l×3+3×32+5×33++(2rt-3)x3,,^'+(2n-l)×3,,φ

Λ37],=1×32+3X33+5×34++(2n-3)×3,'+(2n-l)×3,'+l(2)

①一②得

-27；,=l×3+2×32+2×33+2×34++2x3"-(2”-1)x3向

+l+

=3+2×^≡y-^-(2n-l)×3"=-6-(2∕1-2)×3"'

/.η,=3+(n-l)×3n+l.

（3）（T）IW-=（TyT4k

¾¾÷1(2fc-l)(2⅛+l)=34占

当"为偶数时，

名二=(i+3-d+3++(

Z(T)I----------1----------------------1------------)

k=l3352n-32/z-l2n-12n+1

2n

=1-

2n+l2〃+1

当"为奇数时,

1、/11、/

∑(-D,——=(1+#(§+7+-(.)+(------------1------------■)

A=Iak∙¾÷12n-32〃-1In—12n+1

12π+2

=1+

2H+12/1+1

2n

,〃为偶数,

.∙.∑(-1∕-'2π÷l

2〃+2

k=],〃为奇数.

2+1

答案第11页，共23页

[2〃-为奇数

9∙⑴%=∣2"-2,"为偶数

（3）证明见解析

【分析】（1）根据条件可得数列｛”“｝的奇数项和偶数项均为等差数列，分奇偶求数列｛“,｝的

通项公式；

（2）先分组求和求得反“，再利用裂项相消法求得7；：

（3）先求出C”的通项公式，C,,=川？；=叱¥，再根据0＜（〃+1）≤c＜（〃+?，得

,,Λ

4bl,bn,244"T4^）

到祟崇，令/=亲和4=贵，利用错位相减法求得。“和E,,再通过比较

大小可证明结论.

【详解】（1）：q=l,«2=2,¾+2-β,,=4（w∈N*）,

当〃=2%-1,AeN*时，数列｛/｝的奇数项是首项为1,公差为4的等差数列，

贝=1+4（%—1）=4%—3=2（2%—1）-1=2〃-1；

当〃=2左，JleN•时，数列｛《,｝的偶数项是首项为2,公差为4的等差数列，

贝IJatl=Ci2k=2+4（左一1）=4k—2=2∙2k—2=2n—2,

.为奇数

为偶数；

az

∙*∙S*=∖+4+4+…+々2〃=GI+¾+∙∙∙÷⅛,1）+（¾+¾+∙∙→⅛）=

（4+〃2小）/+（4+。2〃）J=（1+4〃-3）〃+（2+4〃-2）＞=4几2_〃

2222

…一^=-J-=UL-Li

S2〃+5〃4〃？+4〃4nn+∖

^l=^+⅛2÷∙∙∙+⅛=-

223n77+1

答案第12页，共23页

⑶证明：由⑵得或=照一Aɪ）,则%=磊；=竽ɪ,

∙∙o＜¾⅛-≤ς,＜¾⅛-（"=1时等号成立），

由不等式的性质得需≤E<击，

M_1_O

令4,=绑,数列｛4｝的前"项和为。“，

.111_1.1几+2>—<

∙.β,=J1+t∕2+∙∙∙+⅛=3×^+4×-+∙∙∙+^ςΓΦ,

-1β八,,=3C×l-+4/×^ɪ-+∙∙∙+n^+-2(2),

由得①-②得，

〃+2，/2+41

------=4------------,

T22n~i

由不等式的性质得‘向＜。”，

Jl=I

故S向＜8-贵，

A=I乙

令4=号，数列忆｝的前"项和为匕，

-ICl〃+1G

••勺=G+/+•••+〃=2×^-÷3×-÷∙∙∙÷^∏^^

ICClrI〃+1G

=2×2+3×^∙+∙∙∙+-^7^Φ

由③-④得,

InCIl1H+lC2〃+1H+31

5勺=2+]+牙+…+矛7__*∙=2+-,4ɪ=3--F，

.P_〃+3

••勺=6r∙~F",

由不等式的性质得勺＜£向,

A=I

故6-贤V2向＜8一矣.

10.⑴α=e

答案第13页，共23页

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(D求导，求极值点，讨论函数单调性，找到极小值即可解决问题；

(2)不等式/'(x)>g(x)恒成立，即e'—In(x+2)>O恒成立，

设∕7(x)=e'-ln(x+2),构造新函数求导利用函数导数单调性进行分析即可证明结论.

(2)由(2)知，ex>ln(x+2),令X=亨，贝IJe丁>ln[≡^+2]=In?,

从而有e-z>(ln号],由f的不同值，分别写出不等式，然后累加，结合等比数列求和进

行放缩，分析得到结论.

【详解】(I),f(x)=ev-a(α>O),令广(X)=0,解得X=Inα,

当x>ln4时，/4x)>0,当x<lnα时，∕,(x)<0,

所以/(x)在(In“,+8)上单调递增，在(-8,Ina)上单调递减，

所以/(x)有极小值"lnα),

所以Ina=1,即α=e.

(2)证明：不等式r(x)>g(x)恒成立，即e*-In(X+2)>O恒成立,

设人(X)=e'—In(x+2),则〃(X)=eʃ-ɪ,

易知"(x)是定义域上的增函数，又∕7'(0)=l-1>0,1(T)=L-KO,

2e

1

贝1"?'(X)=e*---=0⅛(-l,0)上有一个根Xl),即e'。=ɪ,

X+2∙⅞十/

,,

当x∈(-l,为)时，Λ(x)<0,当X∈(ΛO,O)时，Λ(x)>O

此时MX)在单调递减，在(ΛO,O)单调递增，

a(x)的最小值为人(改>)=e%-In(X。+2),

XO+2

/.¾=-ln(¾÷2),

答案第14页，共23页

Λo∈(τ,θ),

∙W%)=T+%=>0,

ΛQ+2XQ÷2%+2

.∙.e"-ln(x+2)>0恒成立，故结论成立.

T+1

(3)证明：由(2)知，ev>ln(x÷2),令X=丁一，

m∣∣~~(—t+\]t+1.,1(./+1)

贝Ue,>I1nl-------÷2I=In——e+>1In-----I.

由此可知，当f=l时，e°>ln2,

当r=2时，e-'>fln∣l,

当f=3时，e^2>gj

当f=〃时，e^π+'

>m卓

累加得:

ee

诉i、hɔ3YΓ公（.∏÷1Ye

所以ln2+In—÷1In—+...+In-----<-----.

[2）[3）IH）e-1

【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，

难度相当大，主要考向有以下几点：

1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；

2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；

3、求函数的极值（最值）；

4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围;

答案第15页，共23页

5、证明不等式；

解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，

在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，

对新函数求导再结合导数与单调性等解决.

11.(l)α,,=2n-l,brι=3"

(2)5=8/

⑶Z=J-----------------

')"22(2"+l)∙3"

【分析】ɑ)设等差数列的首项为4,利用等差数列的前〃项和公式求出卬，进而求出等差

数列的通项公式；设等比数列的公比为4,利用通项公式和已知条件求出4,进而求出等比

数列的通项公式；

(2)先求出C2,I+%=16"-8,再利用分组求和法和等差数列的求和公式进行求解；

(3)先得到4,=。;^一i-ɪr-/ɔɪ,ʌQJ,再利用裂项抵消法进行求和.

Z∖Ln-1)-ɔ(Zn+1)-ɔ

【详解】(1)因为｛%｝是公差为2的等差数列，且$=64,

Q7

所以8q+χ]x2=64,解得q=l,

所以％=l+2("-l)=2"-l；

设等比数列也｝的公比为。(q>0),

因为々=3,bi-b2=18,

所以%2-3q=18,即/-q-6=0,

解得q=-2(舍去)或g=3,

所以%=3x3"τ=3".

(2)由(1)得C(I=(T)"d=(-l)"∙(2"-l)2,

则。2,1+，2”=(-1产'[2(2"-1)-1]2+(-1产.(4〃-1)2

=-(-l)2n-(4〃-3)2+(-1)2”-(4〃-I)2

答案第16页，共23页

=(4〃-I)2-(4∕ι-3)2=16n-8,

则S?,,=(c∣+G)+(C3+C4)+…++。2“)

=8∏+3+5+∙∙∙+(2n-l)]

=8x45=8/

2

,M+2-12(/7+2)-2

(3)由(1)得4==IVOɪnQw

a*n+Mn(2n-l)(2n÷l)∙3

_2-+2_jʃ]___________[

"(2n-l)(2∕ι÷l)∙3n-2(2LT)・3〃T-(2"+])∙3"'

则4=4+"2+4+…+4

_i11、/11、/11、1I

^2r/l×30-3×3'+3×3'^5×32+5×32^7×33+-"+z(2n-l)∙3π^'^(2∕z+l)∙3nVI

=1(J________

2l×30(2"+l)∙3"

11

-2_2(2M+1)∙3Λ,

【点睛】方法点睛：本题中考察了数列求和的两种采用方法，第二问考察了并项求和法，第

三问考察了裂项抵消法，技巧性较强.

S八、f1Y廿,_...“、25(13n+4λ∣f1Y"^'

12.(1)«=—,nwN；b=n,neN；(2)-------------------1------------.

"UJ18(4(2n+l)9J｛2)

【解析】(1)根据题干已知条件可列出关于首项《与公比4的方程组，解出4与4的值，即

fS,,n=1

可计算出数列｛α,J的通项公式，再根据公式cC进行计算可得数列｛〃,｝的通项

[Sn-Sn^i,n..2

公式；

(2)先分”为奇数和，为偶数分别计算出数列匕,｝的通项公式，在求前2〃项和时，对奇数

项运用裂项相消法求和，对偶数项运用错位相减法求和，最后相加进行计算即可得到前2〃项

和&.

【详解】⑴依题意，由4+4=6%,%=4Μ，可得""矍因为"O,所以

axq=4(α∣q-)

答案第17页，共23页

对于数列也｝：当〃=1时，X=SI=1,