第04讲 正弦定理与余弦定理（人教A版2019必修第二册）（原卷版）

第04讲正弦定理与余弦定理【人教A版2019】·模块一余弦定理·模块二正弦定理·模块三三角形面积公式·模块四课后作业模块一模块一余弦定理1．余弦定理(1)余弦定理及其推论的表示文字表述三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.公式表述a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.推论(2)对余弦定理的理解①余弦定理对任意的三角形都成立.

②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量.

③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角.

④余弦定理的另一种常见变式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC.【考点1\o"余弦定理边角互化的应用"\t"/gzsx/zj168409/_blank"余弦定理边角互化的应用】【例1.1】（2023上·浙江金华·高二校考开学考试）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若b2=a2+A．π6 B．π3 C．3π【例1.2】（2023下·云南红河·高一校考阶段练习）已知一个三角形的三边分别是a、b、a2+A．90∘ B．120∘ C．135∘【变式1.1】（2023上·陕西商洛·高二校考期末）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若bcosC+ccosB=bA．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形【变式1.2】（2023上·陕西商洛·高二校考期末）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=2π3，bc=3，且b+c=52A．23 B．33 C．22【考点2\o"余弦定理解三角形"\t"/gzsx/zj168409/_blank"余弦定理解三角形】【例2.1】（2023下·河南郑州·高一校考期末）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，C的对边.若b2=ac，且a2A．π6 B．π3 C．2π【例2.2】（2023·四川自贡·统考一模）在△ABC中角A、B、C所对边a、b、c满足a=c-2acosB，c=5，3a=2b，则b=（

A．4 B．5 C．6 D．6或15【变式2.1】（2023·全国·模拟预测）如图，在△ABC中，BC=2，AC=2AB，D是BC的中点，E是线段AC上的点，且AC=4EC，∠ADB=∠EDC，则AB=（

）A．2 B．3 C．2 D．5【变式2.2】（2023·安徽·池州市校联考模拟预测）如图是一块空旷的土地，准备在矩形OABC区域内种菊花，区域GOD内种桂花，区域GDC内种茶花.若△GOC面积是△GOD面积的3倍，∠ODG=120∘，GD=2,OA=3，则当GCA．2+33 B．4+23 C．6-23模块二模块二正弦定理1．正弦定理(1)正弦定理的表示在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==.(2)正弦定理的常见变形在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可得正弦定理的下列变形：①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB；

②======；

③a:b:c=A:B:C；④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）.(3)三角形的边角关系

由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系.2．解三角形(1)解三角形的概念一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.(2)余弦定理在解三角形中的应用利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：

①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角；

③已知三边，求三角形的三个角.(3)正弦定理在解三角形中的应用公式==反映了三角形的边角关系.

由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：

①已知两角和任意一边，求其他的边和角，

③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角.【考点1

\o"正弦定理边角互化的应用"\t"/gzsx/zj168410/_blank"正弦定理边角互化的应用】【例1.1】（2023·陕西商洛·统考一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，bA．13 B．23 C．38【例1.2】（2023上·广东肇庆·高三统考阶段练习）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知asinB=bsinA．π6 B．π4 C．π3【变式1.1】（2023上·全国·高三专题练习）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinA=bcosC+ccosA．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不确定【变式1.2】（2023·上海普陀·统考一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=3，且c-2b+23cosA．1 B．3 C．2 D．2【考点2

\o"正弦定理判定三角形解的个数"\t"/gzsx/zj168410/_blank"正弦定理判定三角形解的个数】【例2.1】（2022下·福建莆田·高一校考期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A．b=4，A=20°，C=40° B．a=4C．a=4，b=6，A=35° D．a=4，b=6【例2.2】（2023上·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=π3，a=3，b=A．有一解 B．有两解C．无解 D．有解但解的个数不确定【变式2.1】（2023上·北京大兴·高三统考期中）在△ABC中，∠A=π6 ,AB=4 ,BC=a，且满足该条件的A．0,2 B．2,2C．2,4 D．2【变式2.2】（2023下·安徽马鞍山·高一校考期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=60°，b=10，则结合a的值，下列解三角形有两解的为（

）A．a=8 B．a=9 C．a=10 D．a=11【考点3\o"正弦定理解三角形"\t"/gzsx/zj168410/_blank"正弦定理解三角形】【例3.1】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=6，sinA=378，cosB=A．8 B．5 C．4 D．3【例3.2】（2023上·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．4a=5c，cosC=35A．35 B．255 C．5【变式3.1】（2023上·辽宁·高三校联考期中）已知△ABC的外接圆半径为2，且内角A,B,C满足sinC=7cosAsinB，cosA．13 B．23 C．637【变式3.2】（2023·全国·模拟预测）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，2cosB-3cbA．338 B．558 C．37模块三模块三三角形面积公式1．三角形的面积公式(1)常用的三角形的面积计算公式①=a=b=c(,,分别为边a,b,c上的高).

②将=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半.(2)三角形的其他面积公式①=r(a+b+c)=rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长.

②=，=，=.【考点1三角形面积公式的应用】【例1.1】（2023上·江苏镇江·高三统考期中）在△ABC中，若AB=3,AC=7,B=120°，则△ABC的面积为（

）A．63 B．3-14 C．3+14【例1.2】（2023·湖南·校联考模拟预测）在△ABC中，BC=3，sinB+sinC=103sinA，且△ABCA．π6 B．π4 C．π3【变式1.1】（2023上·安徽芜湖·高二校考阶段练习）已知钝角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bsinA=3bcosC+3ccosB．若A．32 B．C．32或332【变式1.2】（2023上·陕西西安·高三交大附中校考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A-sin2C+sin2B=sinA．3 B．934 C．33【考点2正、余弦定理在几何图形中的应用】【例2.1】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三校考期末）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且3c(1)求角A的大小；(2)若1tanB+1tanC【例2.2】（2023上·广东汕头·高二校考阶段练习）在△ABC中，c=2bcos(1)求B；(2)再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求BC边上中线的长．条件①：△ABC的周长为4+23；条件②：△ABC的面积为3（若选择多个做答，按第一作答给分）【变式2.1】（2023上·广西河池·高三校联考阶段练习）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若3sin(1)求a的值；(2)若△ABC的面积为3b2+【变式2.2】（2023·全国·模拟预测）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2C+2(1)若a=3,b=4，求c的值以及(2)若BM=λBC0<λ<1,tan【考点3距离、高度、角度测量问题】【例3.1】（2023上·全国·高三专题练习）如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？【例3.2】（2023上·广东湛江·高三校联考阶段练习）山东省滨州市的黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上，渤海五路以西，南环路以北.整个黄河楼颜色质感为灰红，意味黄河楼气势恢宏，更在气势上体现黄河的宏壮.如图，小张为了测量黄河楼的实际高度AB，选取了与楼底B在同一水平面内的两个测量基点C,D，现测得∠BCD=30∘,∠BDC=95∘,CD=116m，在点D处测得黄河楼顶A的仰角为【变式3.1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°方向且与该港口相距20nmile的A处，并以30nmile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以vnmile/h的航行速度匀速行驶，经过

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30nmile/h【变式3.2】（2023上·辽宁·高二校联考开学考试）某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上A,B两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点B50米的点C处建一凉亭，距离点B70米的点D处再建一凉亭，测得∠ACB=∠ACD，cos∠ACB=

(1)求sin∠BDC(2)测得AC=AD，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？模块四模块四课后作业1．（2023下·江苏扬州·高一校考阶段练习）在△ABC中，a，b，c是角A，B，C分别所对的边，若A:B:C=1:2:3，则a:b:c=（

）A．1:2:3 B．3:2:1 C．1:3:2 D2．（2023下·江苏苏州·高一校考阶段练习）在△ABC中，已知a=13，b=4，c=3，则cosA=（A．12 B．22 C．323．（2024·四川自贡·统考一模）在△ABC中角A、B、C所对边a、b、A．4 B．5 C．6 D．6或154．（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=2B，a=3，b=2，则cosBA．14 B．13 C．235．（2023下·河北石家庄·高一校联考阶段练习）在△ABC中，b=2c，a=10，A=3πA．2 B．1 C．22 D．6．（2024上·北京·高三清华附中校考开学考试）在△ABC中，a=42，A=45∘，b=m，若满足条件的△ABCA．8 B．6 C．4 D．27．（2023上·全国·高三专题练习）一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°，距离为126海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为123海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，则此时灯塔C位于游轮的（A．正西方向 B．南偏西75°方向 C．南偏西60°方向 D．南偏西45°方向8．（2023·四川内江·统考一模）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若cos2A2=b+cA．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形9．（2023下·江西赣州·高一统考期末）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，下列结论错误的是（

）A．若sinA>sinB．若B=30∘,b=C．若sin2A=sinD．若△ABC的面积S=3410．（2022上·