猜题05 导数及其应用（易错必刷61题15种题型专项训练）（解析版）

猜题05导数及其应用（易错必刷61题15种题型专项训练）题型一：导数的概念及导数的运算题型二：切线问题题型三：单调区间（不含参数）题型四：含参数分类讨论的单调性题型五：已知函数的单调性求参数题型六：求函数的极值题型七：根据极值或极值点求参数题型八：求函数的最值题型九：根据最值求参数题型十：利用导数解决实际应用问题题型十一：证明不等式题型十二：恒成立与能成立问题题型十三：零点问题题型十四：双变量问题题型十五：利用构造函数解决不等式问题题型一：导数的概念及导数的运算1．（2023·辽宁阜新·高二校考期末）若函数，则函数从到的平均变化率为（

）A．6 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】因为，所以，，故函数从到的平均变化率为，故选：B.2．（2023·云南红河·高二校考期末）若函数在处可导，则（

）A． B．C． D．0【答案】A【解析】由导数定义得：，即，故选：A.3．（2023·陕西延安·高二统考期末）已知在处的导数为2，则（

）A．2 B．6 C． D．【答案】A【解析】，.故选：A4．（2023·高二单元测试）如图，函数的图象在点处的切线是，则（

）A． B． C．2 D．1【答案】D【解析】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则切线，即.所以，，，.故选：D．5．（2023·陕西延安·高二子长市中学校考期末）一个质量的物体作直线运动，设运动距离（单位：m）与时间（单位：s）的关系可用函数：表示，若，则该物体开始运动后第2s时的速度是（

）A．3m/s B．5m/s C．6m/s D．12m/s【答案】B【解析】由于，所以该物体开始运动后第2s时的速度是m/s.故选：B6．（2023·陕西延安·高二校考期末）求下列函数的导数：(1)；(2).【解析】（1）（2）.题型二：切线问题7．（2023·黑龙江哈尔滨·高二统考期末）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若定义是函数零点近似解的初始值，在点处的切线方程为，切线与轴交点的横坐标为，即为函数零点近似解的下一个初始值.以此类推，满足精度的初始值即为函数零点近似解.设函数，满足，应用上述方法，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】因为，导数为，可得，，可得在处的切线的方程为，又因为，满足切线的方程，可得，解得，由得，，故选：B8．（2023·江苏苏州·高二统考期末）曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由已知可得，，根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线斜率为.所以，切线方程为.作出图象解可得，.解可得，.所以，.故选：C.9．（2023·广东广州·高二统考期末）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是（

）A． B．或C． D．【答案】B【解析】由题意得，则，故曲线在点处的切线方程为，即，而切线与曲线只有一个公共点，即有且只有一正解，即有且只有一正解，令，则，由于，故，当时，，在上单调递增，且，，即在上存在唯一零点，即有且只有一正解；当时，，在上单调递增，由于的最小值为，故当趋向于0时，可取到负值，且，故在上存在唯一零点，即有且只有一正解；当时，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，故，令，则在上单调递增，且，此时要使有且只有一正解，故需，综合以上可知或，故选：B10．（2023·四川资阳·高二统考期末）过坐标原点可以作曲线两条切线，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，∴，设切点为，则，切线斜率,切线方程为，∵切线过原点，∴，整理得：,∵切线有两条，∴，解得或，∴的取值范围是,故选：D11．（2023·河南信阳·高二统考期末）已知曲线在处的切线方程为，则等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】记，，所以，∴．又，所以，曲线在处的切线方程为，即，∴．故．故选：A．12．（2023·河北衡水·高二校联考期末）已知直线与曲线和曲线都相切，则直线在轴上的截距为（

）．A． B． C．或 D．【答案】B【解析】设，，则，．设上的切点为，上的切点为，则，则．又，，所以，故，．故．故选：B．13．（2023·北京·高二统考期末）曲线上的点到直线的距离的最小值是（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【解析】，所以，设曲线在处的切线与直线平行，则，所以，切点，曲线上的点到直线的最短距离，即为切点P到直线的距离，故选：C．题型三：单调区间（不含参数）14．（2023·陕西延安·高二校考期末）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由的定义域为，，令，解得，所以的单调递减区间为，故选：B15．（2023·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）函数​的单调递增区间是（

）A．​B．​和​C．​D．​【答案】D【解析】的定义域为，，当时，；当时，；的单调递增区间为.故选：D.16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数,则函数的单调递减区间是.【答案】【解析】函数定义域为,由于函数,所以,得,所以函数的单调递减区间是.故答案为:.题型四：含参数分类讨论的单调性17．（2023·陕西西安·高二统考期末）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)讨论函数在区间上的单调性．【解析】（1）的定义域为，．曲线在处的切线的斜率为．把代入中得，即切点坐标为．所以曲线在处的切线方程为．（2）令，得．①当时，在区间上，，函数为单调减函数．②当时，在区间上，，为单调减函数；在区间上，，为单调增函数．综上，当时，为单调减函数；当时，在区间上，为单调减函数，在区间上，为单调增函数．18．（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）已知函数，．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性．【解析】（1）当时，，则，，又，在点处的切线方程为：，即.（2）由题意得：定义域为，；当时，，在上单调递增；当时，若，则；若，则；在上单调递增，在上单调递减；当时，若，则；若，则；在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.19．（2023·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）已知函数，其中.(1)当时，求曲线在点处切线的方程；(2)试讨论函数的单调区间.【解析】（1）当时，,则，，又，在点处切线的方程为；（2）由题可得，令，解得或，若，，当变化时，，的变化情况如表：,00增函数减函数增函数的单调增区间为和,，单调减区间为；②若，，当变化时，，的变化情况如表：,00增函数减函数增函数的单调增区间为和，单调减区间为；③若，则，函数的单调增区间为；综上，当时，的单调增区间为和,，单调减区间为；当时，的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为.20．（2023·广东广州·高二广东番禺中学校考阶段练习）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求函数的单调区间．【解析】（1）当时，，，，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2），当，令得，由得，由得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为当，令得，当时，由得或，由得，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，，所以的单调增区间为，无单调减区间；当时，由得或，由得，所以的单调增区间为和，单调递减区间为.21．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）设函数（a为非零常数）(1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；(2)讨论函数的单调性.【解析】（1）函数，求导得：，则有，而，因此曲线在点处的切线方程为，则有，即，而，则，所以实数的值为1.（2）函数的定义域为，，当时，恒有，当且仅当且取等号，则函数在上单调递增，当时，由解得，，当，即时，当或时，，当时，，因此函数在，上单调递增，在上单调递减，当，即时，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，递减区间是，递增区间是；当时，递增区间是，，递减区间是；当时，递增区间是.题型五：已知函数的单调性求参数22．（2023·陕西西安·高二统考期末）若函数在上单调递增，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，在上恒成立，即，设，，故，故.故选：A23．（2023·北京通州·高二统考期末）已知函数为其定义城上的单调函数．则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的定义域为，求导得，若函数在上单调递增，则，恒成立，而函数在上的值域为，因此不存在满足条件；若函数在上单调递减，则，恒成立，而当时，，因此，所以实数的取值范围为.故选：A题型六：求函数的极值24．（2023·宁夏银川·高二校考期末）已知函数(1)求函数在处的切线方程；(2)求函数的极值．【解析】（1）由已知，，又，所以切线方程为，即；（2）由（1）知时，，单调递减，时，，单调递增，所以极小值为，无极大值．25．（2023·安徽蚌埠·高二统考期末）已知函数在定义域内是奇函数(1)求实数c的值；(2)求函数f（x）的极小值（用b表示）【解析】（1）由奇函数的定义知，所以．（2）定义域为，当，在上恒成立，即为增函数，无极小值；当，的解为，单调递减；的解为或单调递增；极小值为；综上所述，当无极小值；当，极小值为．26．（2023·上海普陀·高一校考期末）已知函数(1)求函数的导数；(2)求函数的单调区间和极值.【解析】（1）由题得.（2）的定义域为，，令，或.当变化时，的变化情况如下表，正0负0正单调递增极大值点单调递减极小值点单调递增所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.函数的极大值点为，极大值为，极小值点为，极小值为.27．（2023·陕西咸阳·高二统考期末）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)判断函数的极值点个数，并说明理由．【解析】（1）当时，，，，，则曲线在点处的切线方程为，即；（2）易得函数定义域为R，，当时，令，解得或，显然，则当或时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故有2个极值点；当时，，所以在R上单调递增，故此时无极值点；当时，令，解得或，显然，则当或时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故有2个极值点；综上可得，当时，无极值点；当且时，有2个极值点.题型七：根据极值或极值点求参数28．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知，函数在上存在两个极值点，则的取值范围为．【答案】【解析】函数在上存在两个极值点，等价于在上有2个不同的实根（变号），即的图象与直线在上有2个不同的交点（变号），求出，当，时，,当，时，所以在，上单调递增，在，上单调递减．可画出的草图如图：要保证直线（）在上有2个不同的交点（变号），只需，可得，故答案为：．29．（2023·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考阶段练习）函数既存在极大值也存在极小值，则实数的取值范围是．【答案】【解析】，因为函数既存在极大值也存在极小值，所以方程即有2个不相等的实数根，所以，解得或，所以实数的取值范围是，故答案为：．30．（2023·重庆万州·高二校考期中）已知函数在时有极值0，则=.【答案】【解析】∵，，函数在时有极值0，可得即，解得或，若时，函数，所以函数在上单调递增，函数无极值，故舍，所以，所以故答案为：．31．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知，函数在上存在两个极值点，则的取值范围为．【答案】【解析】函数在上存在两个极值点，等价于在上有2个不同的实根（变号），即的图象与直线在上有2个不同的交点（变号），求出，当，时，,当，时，所以在，上单调递增，在，上单调递减．可画出的草图如图：要保证直线（）在上有2个不同的交点（变号），只需，可得，故答案为：．32．（2023·湖南长沙·高二校考期末）已知函数的定义域为R，的导函数，若函数无极值，则a=.【答案】【解析】当时，在区间上递增，在区间上递减.的极大值点为，极小值点为.当时，，在上递增，无极值.当时，在区间上递增，在区间上递减.的极大值点为，极小值点为.故答案为：.33．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）函数有极值，则实数的取值范围是．【答案】【解析】函数定义域为R，求导得：，因为函数有极值，则函数在R上存在变号零点，即有两个不等实根，即有方程有两个不等实根，于是得，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：34．（2023·天津·高二统考期中）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】当时，，此时在R上单调递增，无极值；当时，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数存在极小值点，依题意，，解得，所以，实数a的取值范围是．故答案为：题型八：求函数的最值35．（2023·辽宁阜新·高二校考期末）设函数.(1)求的单调区间;(2)求函数在区间上的最大值和最小值.【解析】（1）由题意可得，定义域，令，即，所以；故的单调递增区间为，递减区间为.（2）因为，故，定义域，令，即，故在单调递减，在上单调递增，故最小值为，又因为，，故最大值为36．（2023·陕西延安·高二校考期末）已知函数在处取得极值．(1)求实数的值；(2)当时，求函数的最值．【解析】（1）函数，又函数在处取得极值，所以有；所以实数的值为1.（2）由（1）可知：，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，，，故函数的最小值为；最大值1.37．（2023·安徽·高二校联考期末）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)求函数在上的最大值和最小值.【解析】（1）的定义域为R，且.解得或，所以递增区间为，；解得，所以递减区间为.（2）由（1）可知，的变化如下表x-3（-3，-1）-1（-1，1）1（1，3）3+0-0+-49单调递增极大值11单调递减极小值-1单调递增59所以函数在上的最大值为59，最小值为-49.38．（2023·贵州黔西·高二校联考期末）已知函数，．(1)若在上是增函数，求的取值范围；(2)若在上的最小值，求的取值范围．【解析】（1）因为，所以，令，则，因为在上是增函数，所以，则恒成立，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，故，则，此时在上是增函数，所以的取值范围是，（2）由（1）知在上是增函数，，当时，在上单调递增，，令，得，故；当，即时，，在上单调递减，，令，解得，此时不存在；当时，，存在，使得，即，故当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以，当且仅当，即时，等号成立，显然，等号不成立，所以，令，解得，此时不存在；综上所述，的取值范围是.题型九：根据最值求参数39．（2023·河南许昌·高二统考期末）函数在区间上有最小值，则的取值范围是.【答案】【解析】，令得，时，时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，若函数在上有最小值，则其最小值必为，则必有且，即且，则且，解得，故答案为：.40．（2023·辽宁·高二统考期末）已知，若与的值域相同，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】，当时，；当时，；即函数在上单调递减，在上单调递增，，即，因为与的值域相同，所以.故答案为：41．（2023·广东佛山·高二统考期末）已知函数的最小值为，则a的值为．【答案】-3【解析】函数的定义域为R，.所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数的最小值为，解得：.故答案为：-3.42．（2023·浙江宁波·高二统考期末）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】，所以，所以，当时，单调递增，所以当时，，此时值域为R，符合题意；当时，当时，，所以单调递增，当时，值域为R，所以满足题意；当时，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，要想值域为R，则要满足，解得：，综上：实数a的取值范围是故答案为：.43．（2023·河南洛阳·高二统考阶段练习）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是.【答案】【解析】，令解得；令，解得或由此可得在上时增函数，在上是减函数，在上是增函数，故函数在处有极大值，在处有极小值，，解得故答案为：题型十：利用导数解决实际应用问题44．（2023·山东烟台·高二统考期末）某物流公司计划扩大公司业务，但总投资不超过100万元，市场调查发现，投入资金x（万元）和年增加利润y（万元）近似满足如下关系．(1)若该公司投入资金不超过40万元，能否实现年增加利润30万元？(2)如果你是该公司经营者，你会投入多少资金？请说明理由．【解析】（1）当时，，则，令，则，化简得，解得或（舍去），当时，，则在上递增，当时，，则在上递减，所以当时，取得最大值，因为，所以目标不能实现；（2）由（1）可知，当时，公司年增加最大利润为万元，当时，，所以当时，取得最大值45，因为，所以投资45万元时，公司年增加利润最大为45万元.45．（2023·福建宁德·高二校联考期中）为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本10万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中x（台）表示产量），并知当生产20台该产品时，需要流动成本0.7万元，每件产品的售价与产量x（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品x台获得的利润（利润＝销售收入－生产成本）为万元.（参考数据：，，）(1)求函数的解析式；(2)当产量x为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？【解析】（1）依题设：当生产20台该农机产品时，需要流动成本0.7万元得：，可得：，∴；∴.（2）由（1）得，，∵∴时，，单调递增，时，，单调递减，∴时，取得极大值也是最大值，，∴当年产量为50台时，利润最大，最大利润是24.4万元.46．（2023·福建福州·高二福建师大附中校考期末）西樵镇举办花市，如图，有一块半径为20米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形OCD摆放菊花“泥金香”，弓形CMD摆放菊花“紫龙卧雪”，扇形AOC和扇形BOD（其中）摆放菊花“朱砂红霜”.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：泥金香50元/米2，紫龙卧雪30元/米2，朱砂红霜40元/米2.

(1)设，试建立日效益总量关于的函数关系式；(2)试探求为何值时，日效益总量达到最大值.【解析】（1）依题意得，，则，其中，.（2），令，得，当，，函数递增，当时，，函数递减.所以，是函数的极大值点，且唯一；从而当时，日效益总量可取得最大值.题型十一：证明不等式47．（2023·福建福州·高二校联考期末）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)证明:．【解析】（1）由函数，可得的定义域为，且若，可得，在上单调递减；若，令，因为，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，综上可得：当时，在上单调递减；当时，的递增区间为，递减区间为.（2）证明：由（1）知，当时，的递增区间为，递减区间为，所以，所以，即，当时，可得：，将不等式累加后，可得，即.48．（2023·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知函数．(1)求的图象在点处的切线方程；(2)证明：．【解析】（1）因为，所以，所以切点坐标为，由于，所以切线的斜率为：，故切线的方程为：，即.（2）证明：要证：，只需证：，由于，证明如下：令，，令得：，当时，，故单调递减；当时，，故单调递增；所以，故，即，所以令，则，令，则由于，所以在恒成立，故在单调递增，所以恒成立，即在恒成立.所以在单调递增，所以恒成立，即，故所以，即.49．（2023·内蒙古·高二校联考期末）已知函数，(1)当，求曲线在处的切线方程；(2)若，证明：．【解析】（1）当时，，，，，曲线在处的切线方程为，即．（2）因为，当时，由，解得，由，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，，要证，即证，即，令函数，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，所以，即得证，故得证．题型十二：恒成立与能成立问题50．（2023·黑龙江鸡西·高三鸡西实验中学校考阶段练习）设为实数，函数，．(1)求的极值；(2)对于，，都有，试求实数的取值范围．【解析】（1）函数的定义域为，，令，可得或，列表如下：增极大值减极小值增故函数的极大值为，极小值为.（2）对于，，都有，则.由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，，因为，且，则且不恒为零，故函数在上单调递增，故，由题意可得，故.51．（2023·陕西渭南·高二合阳县合阳中学校考期末）已知函数(1)若，讨论的单调性.(2)当时，都有成立，求整数的最大值.【解析】（1），定义域为R，且，当时，恒成立，故在R上单调递增，当时，令得，，此时单调递增，令得，，此时单调递减，综上：当时，在R上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由题意得，在上恒成立，因为，所以，故，令，，只需，，令，，则在上恒成立，故在上单调递增，又，故存在，使得，即，当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，故在处取得极小值，也是最小值，，所以，故整数的最大值为1.题型十三：零点问题52．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知函数，为的导数.(1)证明：在区间上存在唯一极大值点；(2)求函数的零点个数.【解析】（1）由题意知，函数的定义域为，且，令，，所以，，令，，则，当时，，所以，即在上单调递减，又，，，则存在，使得，即存在，使得，所以当时，，当时，，所以为的唯一极大值点，故在区间上存在唯一极大值点；（2）由（1）知，，，①当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，又，，，所以存在，使得，所以当，时，，单调递减，当时，，单调递增，又，，所以当时，有唯一的零点；②当时，，单调递减，又，所以存在，使得；③当时，，所以，则在没有零点；综上所述，有且仅有2个零点.53．（2023·陕西延安·高二统考期末）已知函数，.(1)若，求的取值范围；(2)当时，若方程在上存在实数根，求b的取值范围.【解析】（1）由得，∵，∴，设，则，令，解得，令，解得，故函数在上递增，在上递减，故时，函数取最大值，∴，即a的取值范围是.（2）由题意得在上存在实数根，设，则，令，得或，令，得，故在，上递增，在上递减，∵在上存在实数根，∴，即，解得，故b的取值范围是.题型十四：双变量问题54．（2023·安徽蚌埠·高二统考期末）已知函数．(1)讨论在区间上的单调性；(2)当时，若存在满足，证明．【解析】（1）当，在单调递减；当时，，①当时，，，，；②当时，在恒成立；③当时，，，，；综上所述，当时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递减；当时，在单调递减，在单调递增．（2）由，得，即，由（1）可知，