8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（ 原卷版）

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积【考点梳理】考点一棱柱、棱锥、棱台的表面积图形表面积多面体多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积考点二棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积说明棱柱V棱柱＝ShS为棱柱的底面积，h为棱柱的高棱锥V棱锥＝eq\f(1,3)ShS为棱锥的底面积，h为棱锥的高棱台V棱台＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)hS′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高【题型归纳】题型一：棱柱侧面积和表面积1．（2023·高一）若正三棱锥的底面边长等于，三条侧棱两两垂直，则它的侧面积为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高一）为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六棱柱的高的比值为1∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为（

）A． B． C． D．3．（2022春·河南周口·高一校考期末）已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的表面积为（

）A． B． C． D．题型二：棱锥的侧面积和表面积4．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·高一）已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为（

）A． B．C． D．6．（2021春·安徽马鞍山·高一统考期末）已知正三棱锥的底面边长为6，点到底面的距离为3，则三棱锥的表面积是（

）A． B． C． D．题型三：棱台的侧面积和表面积7．（2023·全国·高一专题练习）已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，侧面均为腰长为的等腰梯形，则该四棱台的表面积为（

）A． B．C． D．8．（2022春·江苏淮安·高一金湖中学校联考阶段练习）“斗”不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，如图所示．其可近似看作正四棱台，上底面是边长为的正方形，下底面是边长为的正方形，高为．“斗”的面的厚度忽略不计，则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为（

）A． B． C． D．9．（2020·浙江杭州·高一期末）直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的长度之比为，那么以垂直于底的腰所在的直线为轴，将梯形旋转一周，所得的圆台上、下底面积和侧面面积之比是（

）A． B． C． D．题型四：棱柱的体积10．（2023·全国·高一专题练习）如图，三棱柱的体积为V，P是侧棱上任意一点，则四棱锥的体积是（）A．V B．V C．V D．V11．（2023春·全国·高一）如图1，水平放置的直三棱柱容器中，，，现往内灌进一些水，水深为2．将容器底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形，如图2，则容器的高h为（

）A．3 B．4 C． D．612．（2022春·河北承德·高一统考期末）如图，某圆柱侧面展开图的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该圆柱的体积为（

）A． B． C． D．题型五：棱锥的体积13．（2023春·全国·高一专题练习）在我国古代数学著作《九章算术》中，“鳖臑”是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在“鳖臑”中，平面，平面，，，，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．14．（2022·全国·高一期末）如图，过圆外一点作圆的切线，，切点分别为，现将沿折起到，使点在圆所在平面上的射影为圆心，若三棱锥的体积是圆锥体积的，则（

）A． B． C．或 D．或15．（2022·高一课时练习）中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代，其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它根据细沙从一个容器漏到另一个容器的时间来计量时间．如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（两圆锥连接处长度忽略不计）．若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为（

）A． B． C． D．题型六：棱台的体积16．（2023·高一单元测试）米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能以及吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用.如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形边长分别为、，侧棱长为，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重千克，则该米斗盛装大米约（

）A．千克 B．千克 C．千克 D．千克17．（2023春·全国·高一专题练习）已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，求这个四棱台的表面积为（

）A．24 B．44 C． D．18．（2023春·全国·高一专题练习）已知在三棱锥中，平面，为等腰直角三角形，且，，点为棱上一点，且，过点作平行于底面的截面，那么三棱台的体积等于（

）．A． B． C． D．题型七：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积综合19．（2022春·福建泉州·高一校考阶段练习）如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H是的中点，O为底面中心，，(1)求出正六棱锥的高；斜高；侧棱长(2)求出六棱锥的表面和体积20．（2022·高一）如图，已知斜三棱柱的底面为正三角形，侧棱与底面所成角为30°，侧棱的长为3cm，三棱柱的体积为，求该三棱柱底面边长．21．（2023·高一课时练习）已知在正方体中，截下一个四棱锥，，E为棱中点.(1)求四棱锥的表面积；(2)求四棱锥的体积与剩余部分的体积之比；(3)若点F是AB上的中点，求三棱锥的体积.【双基达标】单选题22．（2023·全国·高一专题练习）若一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，圆柱的体积是圆锥体积的2倍，则圆柱的高是圆锥高的（

）A． B． C． D．23．（2023·高一课时练习）已知三棱柱的体积为1，、Q、R分别为侧棱、、上的点且，则（

）A． B． C． D．24．（2023·全国·高一专题练习）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上､下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（

）A． B． C． D．25．（2023秋·吉林·高一吉林一中校考阶段练习）已知用斜二测画法画梯形OABC的直观图如图所示，，，，轴，，为的三等分点，则四边形OABC绕y轴旋转一周形成的空间几何体的体积为（

）A． B． C． D．26．（2023·全国·高一专题练习）《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载有如下一个问题：“今有圆亭，下周三丈，上周两丈，高一丈，问积几何”.意思为“今有一圆台体建筑物，下周长为3丈，上周长为2丈，高为1丈，问它的体积为多少”，则该建筑物的体积（单位：立方丈）为（

）A． B． C． D．27．（2023春·全国·高一专题练习）木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的体积为（

）A． B． C． D．28．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正三棱锥S﹣ABC的底面边长为2，正三棱锥的高SO＝1．(1)求正三棱锥S﹣ABC的体积；(2)求正三棱锥S﹣ABC表面积．29．（2022·高一）如图，在正三棱柱中，D为棱的中点．若截面是面积为6的直角三角形，求此三棱柱的表面积．【高分突破】一、单选题30．（2023·全国·高一专题练习）已知圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．31．（2023春·全国·高一专题练习）已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为、，高为，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．32．（2023春·全国·高一专题练习）在各棱长均为1的正三棱柱中，、分别为、的中点，过、、三点的截面将三棱柱分成上下两部分，记体积较小部分的体积为，另一部分的体积为，则的值为（

）A． B． C． D．33．（2023·全国·高一专题练习）“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量粮食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为（

）A． B．32 C． D．34．（2023春·全国·高一专题练习）“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术．商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即一个长方体沿对角面斜解（图1）．得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱维称为鳖臑（图4）．若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．二、多选题35．（2022·高一课时练习）用一张长为、宽为的矩形铁皮围成圆柱的侧面，则这个圆柱的体积为（

）A． B． C． D．36．（2023春·全国·高一专题练习）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（

）A．底面边长为6米 B．侧棱与底面所成角的余弦值为C．侧面积为平方米 D．体积为立方米37．（2022春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期末）中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°，若取，则下列结论正确的是（

）A．正四棱锥的底面边长为24m B．正四棱锥的高为C．正四棱锥的体积为 D．正四棱锥的侧面积为38．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）某工厂生产出一种机械零件，如图所示零件的几何结构为圆台，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝4cm，CD＝2AB，则下列说法正确的有（

）A．该圆台的高为B．该圆台轴截面面积为C．该圆台的体积为D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为10cm39．（2023·高一课时练习）已知正四棱台上、下底面边长分别为，侧棱长为，则（

）A．正四棱台的高为 B．正四棱台的斜高为C．正四棱台的表面积为 D．正四棱台的体积为40．（2022春·广东惠州·高一统考期末）已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（）A．圆锥的体积为B．圆锥的侧面展开图的圆心角大小为C．圆锥截面的面积的最大值为D．从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为41．（2023·全国·高一专题练习）如图，四边形为正方形，平面，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，则（

）A． B．C． D．三、填空题42．（2023·全国·高一专题练习）将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在直线旋转一周得到一个圆柱，则该圆柱的体积为______．43．（2023·高一课时练习）在三棱台中，三棱锥体积为，三棱锥体积为，则该三棱台体积为______.44．（2023·高一课时练习）如图，圆锥形量杯的口径（圆锥底面的直径）为d，高为h，则圆锥形量杯侧面上刻度V（容积）与液面深度x的函数关系为______.45．（2023·全国·高一专题练习）“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为12cm，外层底面直径为16cm，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为20cm的球面上，则此模型的体积为_____cm3.46．（2023·全国·高一专题