6.3.1-6.3.3 平面向量基本定理、正交分解及坐标表示、加、减运算的坐标表示-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第二册）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页6.3.1-6.3.3平面向量基本定理、正交分解及坐标表示、加、减运算的坐标表示【考点梳理】考点一：平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.考点二平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.考点三平面向量的坐标表示1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).，在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).考点三平面向量加、减运算的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，数学公式文字语言表述向量加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法a－b＝(x1－x2，y1－y2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.【题型归纳】题型一：基底的概念问题1．（2022秋·湖南株洲·高一校联考期中）已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·甘肃武威·高一统考期末）如图所示，每个小正方形的边长都是1，则下列说法正确的是（

）A．，是该平面所有向量的一组基底，B．，是该平面所有向量的一组基底，C．，不是该平面所有向量的一组基底，D．，不是该平面所有向量的一组基底，3．（2022秋·江苏扬州·高一统考期中）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和题型二：基底表示向量问题4．（2022秋·湖南株洲·高一校联考期中）在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若，则（

）A． B． C． D．5．（2022秋·四川绵阳·高一校考期末）在中，点D在BC边上，且.设，，则可用基底，表示为（

）A． B．C． D．6．（2022·高一课时练习）在平行四边形中，点在对角线上，点在边上，，，且，，则（

）A． B． C． D．题型三：平面向量基本定理7．（2022秋·四川凉山·高一统考期末）在中，点D在边AB的延长线上，，则（

）A．， B．， C．， D．，8．（2022秋·河南驻马店·高一统考期末）已知D，E分别是边AB，AC上的点，且满足，，，连接AO并延长交BC于F点．若，则实数的值为（

）A． B． C． D．9．（2022秋·江苏宿迁·高一统考期末）在中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（

）A．1 B．4 C． D．5题型四：平面向量的坐标表示10．（2022秋·河南郑州·高一郑州外国语学校校考期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（

）A． B． C． D．11．（2022秋·河南许昌·高一统考期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，则点P的坐标为（

）A． B．C． D．12．（2021秋·河北保定·高一校考阶段练习）设，是平面直角坐标系内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，为坐标原点，若，，则的坐标是（

）A． B． C． D．题型五：由向量线性运算结果求参数13．（2022秋·河南平顶山·高一统考期末）已知向量，，，则可用与表示为（

）A． B． C． D．14．（2022·全国·高一假期作业）在中，角、、所对的边分别为、、，，，是内切圆的圆心，若，则的值为（

）A． B． C． D．15．（2021秋·广东河源·高一校考阶段练习）已知，，为坐标原点，点在第二象限内，，且，设，则的值为（

）A． B． C． D．题型六：由向量线性运算解决几何问题16．（2021秋·天津南开·高一南开中学校考期末）如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（

）A． B． C． D．117．（2021秋·重庆垫江·高一校考阶段练习）在中，，，，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为（

）A． B． C． D．18．（2020秋·四川雅安·高一校考期末）如下图，四边形是边长为1的正方形，点D在的延长线上，且，点P为内(含边界)的动点，设，则的最大值等于(

)A．3 B．2 C． D．题型七：利用坐标求向量的模19．（2022秋·山东东营·高一统考期中）已知向量，，则（

）A． B．2 C． D．20．（2021秋·安徽安庆·高一安徽省怀宁中学校考阶段练习）已知向量，，则与共线的单位向量为A． B．C．或 D．或21．（2021秋·辽宁丹东·高一统考期末）在中，，，则的最小值是（

）A． B． C． D．题型八：由向量线性运算解决最值和范围问题22．（2022秋·山东·高一山东师范大学附中校考期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（

）A．3 B． C． D．223．（2021秋·四川成都·高一成都七中校考期中）如图，点C是半径为6的扇形圆弧上的一点，，若，则3x+2y的最大值为（

）A． B． C． D．24．（2020秋·山西朔州·高一校考阶段练习）在矩形中，，，为矩形内一点，且，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．【双基达标】单选题25．（2022·全国·高一假期作业）若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（

）A．与 B．与C．与 D．与26．（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）在中，已知为上的一点，且满足，则（

）A． B． C． D．27．（2022·高一单元测试）在中，点线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（

）A． B． C． D．28．（2022秋·四川成都·高一统考期末）设平面向量，点，则点B的坐标为（

）A． B． C． D．29．（2022秋·四川德阳·高一四川省罗江中学校校考阶段练习）已知、满足，点C在内，且，设.若，则(

)A． B．4 C． D．30．（2021秋·江西赣州·高一校联考期中）已知，点满足且，则等于（

）A． B．1 C． D．31．（2021秋·云南曲靖·高一校考期末）已知平面向量，，，则___________.32．（2022秋·山东临沂·高一）在中，点是边上（不包含顶点）的动点，若，则的最小值______.33．（2022·全国·高一假期作业）如图，在梯形中，，且，设.(1)试用和表示；(2)若点满足，且三点共线，求实数的值.34．（2022秋·湖南邵阳·高一统考期中）设向量.(1)求；(2)若，，求的值；【高分突破】一、单选题35．（2022秋·山西朔州·高一）已知两点，则与向量同向的单位向量是（

）A． B．C． D．36．（2022春·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）已知正方形的边长为2，点满足，则的值为（

）A． B． C． D．437．（2022秋·山东德州·高一校考阶段练习）已知向量（1，1），（﹣1，1），（4，2），若，λ、μ∈R，则λ+μ＝（

）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．238．（2022秋·北京·高一北京八中）与向量和夹角均相等，且模为2的向量的坐标是（

）A． B．C．或 D．39．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第三十中学校联考期中）若，，，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题40．（2022秋·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期末）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（

）A．给定向量，总存在向量，使；B．给定向量和，总存在实数和，使；C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；D．若，存在单位向量和正实数，使，则.41．（2022秋·广东湛江·高一校考阶段练习）如图所示，是的边上的中点，则向量（

）A． B．C． D．42．（2022·全国·高一）已知向量，对坐标平面内的任一向量，下列说法错误的是（

）A．存在唯一的一对实数，使得B．若，则，且C．若x，y∈R，，且，则的起点是原点OD．若x，y∈R，，且的终点坐标是，则43．（2021春·湖南长沙·高一长沙市第二十一中学校考期中）已知向量，，若，则（

）A．或 B．或C．或 D．或44．（2022秋·福建福州·高一校联考期末）已知向量，若存在实数，，使得，则，可以是（

）A．， B．，C．， D．，45．（2021秋·河北·高一阶段练习）已知，如下四个结论正确的是（

）A．； B．四边形为平行四边形；C．与夹角的余弦值为； D．46．（2021秋·浙江·高一期末）已知向量，则（

）A．B．C．向量在向量方向上的投影是D．与向量方向相同的单位向量是三、填空题47．（2022·高一单元测试）如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若，则_________48．（2022秋·上海杨浦·高一校考期末）已知点，，，，则向量在方向上的数量投影为______．49．（2022秋·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）已知点，则满足的的坐标为______.50．（2022·高一课时练习）如图，A，B，C，D为平面内的四个点，，为线段的中点，若，则______．51．（2022·高一单元测试）在中，，过点O的直线分别交直线于两个不同的点，若，其中为实数，则的最小值为_________52．（2022秋·江苏南京·高一南京市中华中学校考期中）如图，在中，是边上一点，是线段上一点，且，过点作直线与、分别交于点、，则___________.四、解答题53．（2022春·辽宁大连·高一统考期末）如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．(1)用，表示；(2)若，，求的值．54．（2022秋·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围．55．（2022秋·广东韶关·高一校考阶段练习）已知向量，，.(1)求；(2)求满足的实数，；56．（2022秋·江苏镇江·高一江苏省镇江中学校考期中）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，，点M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图所示．(1)求与共线的单位向量的坐标；(2)求∠OCM的余弦值；(3)是否存在实数λ，使若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：1．C【分析】根据平面向量基底的意义，逐项判断即可作答.【详解】是平面内两个不共线的向量，对于A，，即向量共线，A不是；对于B，，即向量共线，B不是；对于D，，即向量共线，D不是；对于C，因为，即向量与不共线，则向量与能作为平面的一个基底，C是.故选：C2．A【分析】根据基底的概念及平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：由图可知，平面向量，不共线，是该平面所有向量的一组基底，且，故选：A.3．C【分析】根据基底不共线的性质，判断是否存在使基底间有数乘关系，即可判断.【详解】A：不存在，使，故可作为基底；B：不存在，使，故可作为基底；C：存在，使，不可作为基底；D：不存在，使，故可作为基底；故选：C4．C【分析】根据给定条件，结合平行四边形性质，用表示出即可求解作答.【详解】平行四边形的对角线与交于点，如图，则，而点为的中点，有，由得：，则有，所以.故选：C5．C【分析】根据向量的加减运算法则、数乘运算即可求解.【详解】因为，所以.所以故选：C6．C【分析】运用向量的分解和加减运算即可得出结果.【详解】解析：．故选：C．7．B【分析】利用平面向量基本定理即可求解.【详解】因为点D在边AB的延长线上，，所以，即,所以.又，由平面向量基本定理可得：，.故选：B8．D【分析】根据三点共线，可得，再根据三点共线，可求出，由平面向量基本定理可得，所以可求出，所以知，再由，即可求出的值.【详解】由题意可得，，因为三点共线，则，所以，同理，三点共线，，又因为，所以，所以，所以，所以，所以，，所以故选：D.9．C【分析】利用、表示出，再利用三点共线得到，再把转化为关于的式子，即可求出最小值.【详解】三点共线即故的最小值为.故选：C.10．C【分析】设平面直角坐标系为O，则.【详解】设平面直角坐标系为O，由题得，.则.故选：C11．D【分析】利用新定义，根据两个向量坐标形式的运算法则，即可求解【详解】由题意可得，把点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，即把点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，则，设，则，解得，所以故选：D12．D【分析】已知在平面直角坐标系内，，是平面直角坐标系内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，向量的横纵坐标为被为，前面的系数；利用向量线性运算的坐标法计算.【详解】因为，，所以．故选：D.13．A【分析】设，根据坐标关系建立方程可求出.【详解】设，x，，则，即，解得，∴.故选：A.14．D【分析】计算出的内切圆半径，以直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算可求得、的值，即可得解.【详解】，，所以，内切圆的圆心在边高线上（也是边上的中线），，，以直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则、、，设的内切圆的半径为，根据等面积法可得：，解得，即点，则，，，因为，则，解得，则.故选：D.15．C【分析】由题可得，再根据可求.【详解】，，为坐标原点，，即，点在第二象限内，，，解得（舍负），.故选：C.16．D【分析】借助于矩形建立直角坐标系，利用坐标法求解.【详解】建立如图示坐标系，由则有：因为E为上一点，可设所以.因为，所以，即，解得：，所以.由得：，解得：，所以.故选：D17．D【分析】以为原点，以所在的直线为轴，建立坐标系，设点为，根据向量的坐标运算可得，当直线与直线相交时最大，问题得以解决【详解】以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，，，，，，，设点为，，，，，，，，，，，①直线的方程为，②，联立①②，解得，此时最大，，故选：．【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的坐标运算，解题的关键是建立直角坐标系将几何运算转化为坐标运算，同时考查了学生的数形结合的能力，属于中档题18．D【分析】以为原点，边和所在的直线分别为和轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，易得，则，再将原问题转化为线性规划问题，求目标函数在可行域内(含边界)的最大值，即可求出结果．【详解】以为原点，边和所在的直线分别为和轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，如下图所示：设，∵，∴，∴，即，∴，令则，其中为直线在轴上的截距，由图可知，当该直线经过点时，其在轴上的截距最大为，∴的最大值为．故选：D．【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，建立坐标系后，可将原问题转化为线性规划中的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19．C【分析】求出，求模即可.【详解】∵，，∴，∴.故选：C.20．D【解析】根据题意得，设与共线的单位向量为，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出即可得出答案.【详解】因为，，则，所以，设与共线的单位向量为，则，解得或所以与共线的单位向量为或.故选：D.【点睛】本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.21．D【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，转化为函数最值问题进而得出答案.【详解】如图建立平面直角坐标系，设，∴，，∴，∴，∴时，的最小值为：.故选：D.22．C【分析】构建直角坐标系，令，，根据向量线性关系的坐标表示列方程组得，结合辅助角公式、正弦函数性质求最值.【详解】构建如下直角坐标系：，令，，由可得：，则且，所以当时，的最大值为.故选：C23．C【分析】根据，则，建立以O点为原点的坐标系，设，写出向量的坐标表示形式，用的三角函数表示出x，y，从而求得的三角函数表达式，利用辅助角公式求得最大值.【详解】由，则，，建立如图所示坐标系，则，，设，，由知，，化简得：，，则，其中，则当时，最大，值为故选：C24．B【解析】由题意，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，根据题中条件，得到，，令，，化所求式子为，根据正弦函数的性质，即可求出最值.【详解】由题意，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设，则，，因为，所以，又为矩形内一点，且，则，不妨令，，则，又，所以，因此，当时，取得最大值，即的最大值为.故选：B.【点睛】本题主要考查由平面向量的坐标表示求参数的最值，涉及求正弦型三角函数的最值，属于常考题型.25．C【分析】根据向量共线定理逐一判断.【详解】对于A，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，A不选；对于B，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，B不选；对于C，假设存在实数，使，则，解得，即与共线，选C；对于D，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，D不选；故选：C26．C【分析】利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解；【详解】因为，所以,所以.故选：C.27．D【分析】由题设且，结合向量数乘、加法的几何意义可得，再由已知条件即可得的值.【详解】由题意，且，而，所以，即，由已知，，则.故选：D28．B【分析】设B点坐标为，则可得的坐标，根据题意，列出等式，即可得答案.【详解】设B点坐标为，所以，解得，所以B的坐标为.故选：B29．C【分析】由知，根据题意，作出图像，根据几何关系即可求解.【详解】根据题意可作出如图所示的几何图形，∵，∴.∵，故可分别作向量在方向上的分向量，，其中.∵点在内，且，∴，即.又，∴，∴.故选：C.30．D【分析】建立平面直角坐标系，求得，由此确定正确选项.【详解】由于，以为原点建立如图所示平面直角坐标系，所以，则.故选：D31．3【分析】由得，代入可得答案.【详解】由题意可得，，由得，所以，则故答案为：.32．##【分析】由向量共线定理可得，结合基本不等式即可求出的最小值.【详解】如图，可知x，y均为正，且，，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为.故答案为：.33．(1)(2)【分析】（1）利用向量三角形法则可得：，，，化简整理即可得出；（2）由，，三点共线，可得存在实数使得，又，，可得，又，可得，再利用向量基本定理即可得出．【详解】（1）解：，，，，则整理得：．（2）解：，，三点共线，．，，，又．．，解得，．．34．(1)1(2)2【分析】（1）先求得，然后求得.（2）根据列方程组，化简求得，进而求得.(1)，；(2)，所以，解得：，所以.35．A【分析】求出，再求与同向的单位向量即可．【详解】因为两点,所以，所以＝＝，所以与向量同向的单位向量为，故选：A.36．D【分析】建立坐标系，画出图形，判断的位置，利用向量的坐标运算求解即可．【详解】建立坐标系如图，正方形的边长为2，则，点满足，所以，则，故选：D．37．D【分析】由题意，根据平面向量加法的坐标表示，可列方程，可得答案.【详解】由，则，即，解得，故，故选：D.38．C【分析】根据题意可得，，故所求向量与共线，再根据共线向量的性质求解即可【详解】设所求向量为，因为，故，又与向量和夹角均相等，根据平行四边形法则可得与共线，设，则，故，即，故或故选：C39．C【分析】利用向量的运算，求出，再利用向量的数量积公式，得到且不同向，进而可求解.【详解】由已知得，，，所以，，且不共线同向，即且，所以，且，故.故选：C40．ABD【分析】根据向量减法说明A；根据平面向量基本定理判断B；举例说明C；根据平面向量基本定理，结合三角形的性质，即可判断D.【详解】对A，给定向量，总存在向量，使，即，显然存在，所以A正确.对B，因为向量，，在同一平面内且两两不共线，由平面向量的基本定理可得：总存在实数和，使，故B正确．对C，给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使，当分解到方向的向量长度大于时，向量没办法按分解，所以C不正确.对D，存在单位向量、和正实数，，由于，向量、的模为1，由三角形的三边关系可得，所以D成立.故选：ABD41．AD【分析】利用向量的加、减以及数乘运算即可求解.【详解】.故选：AD.42．BCD【分析】对于A，由平面向量基本定理判断，对于B，举例判断，对于C，由平面向量的定义判断，对于D，由平面向量的性质判断【详解】由平面向量基本定理，可知A正确；例如，，但1＝1，故B错误；因为向量可以平移，所以与的起点是不是原点无关，故C错误；当的终点坐标是时，是以的始点是原点为前提的，故D错误.故选：BCD.43．AC【解析】根据向量垂直的坐标表示，由题中条件求出，再由向量模的坐标表示，求出，即可得出结果.【详解】因为向量，，所以，若，则，即，解得或，故A正确，B错；当时，；当时，；故C正确，D错.故选：AC.44．BCD【分析】对选项分别验证是否存在实数，，满足即可.【详解】对于A.由，得，所以，无解，所以不存在实数，，使得，所以此选项错误；对于B.由，得，所以，，存在实数，，使得，所以此选项正确；对于C.由，得，所以，解得，所以存在实数，，使得，所以此选项正确；对于D.由，得，所以，所以存在实数，，使得，所以此选项正确；故选：BCD.45．BD【分析】求出向量坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断.【详解】由，所以，，，,对于A，，故A错误；对于B，由，，则，即与平行且相等，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确；故选：BD【点睛】本题考查了向量的坐标运算、向