安徽省十校2022-2023学年高二下学期4月期中联合考试数学试卷（含解析）

2021级高二下学期4月期中考数学(人教A版)试题

本试卷分第I卷(选择题)和第U卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时

间120分钟.请在答题卡上作答.

一、选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的

1.在正项等比数列｛4｝中,%+%=5,%+%=20,则｛%｝的公比等于()

a∙⅛b∙2c∙4d-±2

答案：B

解析：设数列｛%｝的公比为4,则^==4，

解得4=2(负值舍去).

故选：B.

2设1加1(4+3-"43)=-10,贝"'(4)=()

V

ArToAχ'

A.-5B.-20C.5D.20

答案：A

解析：Iim八4+©)_/«_∆x)=2Iim/⑷+泡-2-醺)-2/(4)=70,即

∆Λ→0ΔΛAtTO2∖x一

∕,(4)=-5.

故选：A.

3.已知函数/(x)导函数为r(χ),则“>=∕'(x)在(0,2)上有两个零点”是“/(无)在

(0,2)上有两个极值点”的()

A充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案：D

解析：只有当/'(x)在(0,2)上有两个变号零点时，/(x)在(0,2)上才有两个极值点，故

充分性不成立；若/(x)在(0,2)上有两个极值点，则r(χ)在(0,2)上有两个变号零点，

则/'(X)在(0,2)上至少有两个零点，故必要性不成立.综上，“尸(X)在(0,2)上有两个零

点''是"/(x)在(0,2)上有两个极值点”的既不充分也不必要条件，

故选：D.

4.传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把1,3,6,10,叫做三角形数；把

1,4,9,16,叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是()

A.36B.49C.64D.81

答案：A

解析：三角形数：1,3,6,10,,可得其通项公式为％=；

正方形数：1,4,9,16,,可得其通项公式为a=A?,

'an=49,4=64,%=81均无正整数解,且b7=49也=64也=81,

所以49,64，81是正方形数不是三角形数，

又∙.6=36,4=36,.∙.36既是三角形数，又是正方形数.故选：A.

5.某厂安排5名工人到三个岗位值班，每名工人只去一个岗位，每个岗位至少安排1名工人,

则安排工人甲、乙到同一个岗位值班的方法数为()

A.24B.36C.60D.90

答案：B

解析：依题意，可分两步安排：

第一步，将5人分为3个小组，按小组人数可分为2人、2人、1人和3人、1人、1人两类,

2人、2人、1人分组，甲、乙同组，另外3人中，选出2人同组，有C；种方法，

3人、1人、1人分组，除甲、乙的另外3人中，选出1人与甲、乙同组，剩余2人各自一组,

有C；种方法，

.∙.第一步共有C：+C；种方法；

第二步，将3组分别安排到三个岗位，有A：种方法，

...满足题意的安排方法数有(c；+CDA：=(3+3)x6=36种.故选：B.

6.已知数列｛%｝的前〃项和为S,,,α,=(2〃一I)Sin皇，则立必=()

A.-1012B.1012C.-2024D.2024

答案：C

解析：=(2〃-I)Sin万，

.71..3Tl.

则aλ=sin—=1,a2=3sinπ=O,%=5sinɪ=-5,a4-7sin2π=0,

a5=9,4=0,%=—13,%=0，

.∙.4+%+4+%=-4,%+&+%+/=—4,依次类推，

，々2021+β2022+。2023+β2024=T'

*

..S2O24=4+%+/+4++¾024=506(α∣+/+/+4)=506X4)=-2024.

故选：C.

7.已知a=l+C‰2+Co22+C023++C^2">,则。被10除所得的余数为()

A.9B.3C.1D.O

答案：C

解析：∙α=l+C12+Co22+0o23++C∞220=(1+2)20=320=910.

109829

.∙.a=(IO-I)=Cθ010'°+CJ0IO(-l)+Cf010(-l)++C^010(-l)+1,又

ιl0982

qoιo,c]oιo(-1),croιo(-1),fc：°io(—i)9都是10的倍数，

•X被10除所得的余数为1.故选：C

8.在等比数列｛4,,｝中，4=1,4=9,函数/(x)=x(x-q)(X—。2)…(X—4o)，则

/⑼=()

A.0B,1C.-3'°D.310

答案：D

解析：^g(x)=(x-0∣)(x-a2)∙(∙v-010)-则

〃X)=Xg(X),∙∙∙∙f(x)=g(x)+xg'(x),(O)=g(O)=a/％«io>

数列｛α,,｝是等比数列，且4=1,%=9,

10

.'.ai∙ato-a2∙ag=a3∙aii-a4∙a7-a5∙a6-9,.'.f'^O)-g(0)-al∙a2«10—3.

故选：D.

二.多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.)

9.若曲线〃x)=2d+χ-3的一条切线垂直于直线x+7y-l=0,则切点的坐标可以是

()

A.(0,-3)B.(1,0)C.(-1,-6)D.(2,15)

答案：BC

解析：由题意，

在直线x+7y-1=0中，>=一！％+1

77

设切点为尸(分，人)，

/(X)=2ΛJ+X-3中，∕,(X)=6X2+1,一条切线垂直于直线x+7y—1=0

.∙.∕'(XO)=6片+1=7,解得x0=±l,

当Λ0=1时，%=/(%)=2+1-3=0,此时点P的坐标为(1,0)；

当/=-1时，％=/(%)=—2—1—3=-6,此时点尸的坐标为(―1,-6).

故选：BC.

10.下列各式正确的是()

0

ʌ-Co=C/B,Cj0+Cj0+Cj0++C,θ=2^

C∙A：I=西FD/+":=A解

答案：AD

解析：对于A,由C：=C；"'得CO=CI,A正确；

对于B,Go+(⅛+(⅛++C∞=220-l,B错误;

-∣n∖n∖

对于C‘Aa"wFY"1)旷西而'C错误；

对于D,("+DA"。］)•温r所镖旬『A*D≡

故选：AD

11.已知正项数列｛4｝前”项和为s“，且满足4S.=(α,,+l)2()

A.数列&｝是等差数列B.q=l

C.数列｛向+4｝不是等差数列D.S20=400

答案：ABD

,22

解析：数列｛q,｝中，∀∕ι∈N,a,,>0,4S,,=(a,,+l),当〃≥2时，4S,1.∣=(a,,-1+1),

则44=a：+2an+l-(<l+2a„_,+1),即(%+anJ(aπ-a„_,)=2(an+a„_,),

因此α,,一α,ι=2,而44=(4+if,解得％=1,即数列｛α,,｝是首项为1,公差为2的

等差数列，A,B都正确：

%=4+2(〃-1)=2〃-1,S,,=""」)=",叵+a,,=3n-Λ,

于是(历+。,出)一(底+%)=3(〃+1)—1一(3〃-1)=3,数列｛#7+"“｝是等差数列,

C错误；

2

S2O=2O=4OO,D正确.

故选：ABD

—X>0

12.已知函数"x)=Je，'，若函数g(x)=/(X)-I恰有3个零点，则实数

2xi-mx-3,x≤0

用的值可以为()

A.5B.6C.7D.8

答案：CD

解析：令g(x)=∕(x)-1=0,解得/(χ)=l,故问题转化为方程/(x)=l恰有3个实数

根.

2

当x>0时，令一=1,解得％=ln2,

e

故当x<0时，方程/(x)=l有2个实数根.

令2d—Mx—3=1，即Zr?-4=Znr，显然X=O不是该方程的根，

.*.m-2X2--.⅜^(X)=2X2--(X<0),

XX

则心)=4X+%≤⅛1L1⅛上,

XJr厂

故当x<-l时，夕'(x)<0,当χ>-l时，°'(x)>0,

故当尸一1时，e(x)有极小值6,而χ→-8时，^(χ)→+∞,当x<O,且χ→0时，

夕(X)->+∞,

故实数〃?的取值范围为(6,+8).故选：CD

第∏卷(非选择题共90分)

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)

13.在(3x-l)6的展开式中，含/的项的系数为.

答案：135

解析：在(3x-1)，展开式中，第&+1项为M=C：(3X严(一1);C>36-*(TyX6M,

0≤Z≤6,左∈N,

令％=4,得含有产的项的系数为c：•32.(-1)4=135

故答案为：135.

14.某乡村道路上有12盏照明路灯，为了节约用电，需要关闭其中两两不相邻的4盏，但

考虑行人夜间出行安全，两端的路灯不能关闭，则关灯方案的种数为.(用数字

作答）

答案：35

解析：由题意得，让4盏需要关闭的灯插空到8盏亮灯的7个空中，有C；=35种关灯方案.

故答案为：35

15.已知等差数列｛凡｝的前〃项和为S,，若q>0,公差d<0,当且仅当〃=8时，S“取

得最大值，则&的取值范围是.

a

答案：（一30,-18）

¾>0a1+7d>0∩

解析：由题意得，<八，即1+8公。’解得一8</一7.又

佝<0

S∣,=12q+66d,.∙.也=」+66,玉的取值范围是（-30,-18）.

ddd

故答案为：（-30,-18）

16.如图，某款酒杯的上半部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为96cm2的正三角形.若

在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，当放置的圆柱形冰块的

体积最大时，其高度为__________cm.

答案：√3

解析：由题意作出圆锥轴截面的平面图，如图所示，过等边三角形ABC顶点。作

CDlAB,则Ar）=BZ），NACO=NfiCO=30°,

设圆锥底面圆的半径为RCm,则AQ=R,Ae=2R,

所以8=JAC2-AD2=√4/?2-/?2=√3∕?-

因为圆锥的轴截面是面积为96cπ√，

所以LAB∙CD=L∙2R/R=拒R2=9下,

22

解得R=3,

易知冰块体积最大时上底与杯口齐平,

设圆柱形冰块的底面圆半径为XCm,其中0<χ<3,高为Acm,则AP=(3-X)C加,

NPhf-

在RjAPN中，IanZNAP=——=——=下,

AP3-X

则∕Z=6(3-X)(0<X<3),

设圆柱形冰块的体积为Vcm3,

则V=Gπχ2.(3-X)(O<χ<3).

设/(X)=招πr2(3-x)(0<x<3),

则∕,(X)=3^7U(2-X),

当0<x<2时，f↑χ)>Oi

当2<无<3时，∕,(χ)<0,

∖/(χ)在X=2处取得极大值，也是最大值，

即/(x)ma×="2)=4后，

所以∕ι=gχ(3—2)=JL

故当放置的圆柱形冰块的体积最大时，其高度为JKm,

故答案为：G∙

四、解答题（本题共6小题，第17题10分，第1822题每题12分，共70分.解

答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.）

17.若(l+∕nx)"=4)+qx+a2》？+，+4/"'其中%=—252.

(1)求实数加的值；

(2)求(q+/+%+%+为『-(%+/+04+4+4+4。)二

答案：(1)-1

(2)0

1.由题意，

在(l+mx)o=<⅞+α∣x+o2χ2++α∣oX∣°中，a5=-252,

∙.∙(1+小)’°展开式的通项为小=C%•(皿)*=C：。•“f,

a5=-A/?=-252,

解得：∕w=-l.

2.由题意及(1)得，

l

在(l+mrjo=%+qx+02χ2++α10x°Φ,

令X=],得。()+4+/+/++Go=。，

2α+fl++α2+fl+a+fl-flα-fla

.∙.(01+α3+α5+6z7+α9)-(αo+α2+46⅞∣o)=(⅜ι2+ιo)(o+ι2+~∖o)

18.已知数列｛aj满足：a2=-6,4=0,αn+2+α,l=2α,,+1,

(1)求｛4,｝的通项公式；

(2)若数列3,气,％,,⅛,是等比数列，且K=8,求女“关于”的表达式•

答案：⑴an=2n-W

(2)ξ,=3×2/,-'+5

aa

ɪ--4+2+n~2a〃+i9・・Cln+2~4+1=4"+l—n

所以数列｛qj是等差数列，

设其公差为"，则I=X2=2,

3

,

..an=a2+^n-2)d=2/1-10.

所以数列｛4｝的通项公式为q=2〃70.

2.⅛(1)知％=2〃一10,二.%“=2勺-10.

因为数列3,气,气，,”，是等比数列，且乂=8,

.•.数列3,%,%,,akn,的公比q=牛=3∣1°=2,

由等比数列的通项公式可得4“=3x2”

2(,—10=3X2",.∙.k,,=3×2"-'+5

19.(1)用五种不同的颜色给下图中的四块区域涂色，要求相邻的区域颜色不同，则一共

有多少种不同的涂色方法？

(2)记正方体中两条平行的棱为一对“平行棱”，现从正方体所有棱中任取4条，要求至少

得到2对“平行棱”，则一共有多少种不同的取法？

答案:(1)180；(2)207

解析：(1)若选择四种颜色，则有A；=120种不同的涂色方法;

若选择三种颜色，则有C；A；=60种不同的涂色方法,

故一共有120+60=180种不同的涂色方法.

(2)正方体中一共有3组，每组4条分别平行的直线，则：

若4条棱中恰有2对“平行棱”，则2对分别来自不同2组，每组2条，不同的取法有

C©C=IO8种;

若4条棱中恰有3对“平行棱”，则3对分别来自不同2组，一组1条，一组3条，则不同的

I

取法有Cie：C；=96种；

若4条棱中恰有6对“平行棱”，则6对均来自同一组，一组4条，则不同的取法有C；C；=3

种.

故从所有棱中任取4条，且至少得到2对“平行棱”一共有108+96+3=207种不同的取法.

20.若函数/(x)=2Sin(X+0)(0<0<»),且/(x)+/'(x)为偶函数.

(I)求9的值;

(2)设函数g(x)=/(X)+x,xw(0,2π),求g(x)的单调区间.

..Tt

答案：(1)-

4

(2)单调递增区间是(0,^,2πj,单调递减区间是5π13兀

l2,~12^

1./(x)+∕,(x)=2sin(x+⅞c>)+2cos(x+⅞9)=2V2sinlx+φjr兀-I,

4

/(χ)+/'(X)为偶函数，则夕+：=E+],Z∈Z,.∙.夕=：+EZ∈Z,

π

又0＜夕＜兀，.∙.°二一；

4

ππ

2.由(1)知/(x)=2SinX+一，则g(x)=2sinXH--+x,x∈(θ,2π),

44

π

则，(X)=2cosX+一+l,x∈(θ,2π),

4

令g'(x)>0,得O<x<—，或——<%<2π;令g'(x)<0,得二<%<——,

v'1212`,1212

故g(x)的单调递增区间是［θ,^∣%,2π；单调递减区间是5π13n]

^12,"12^J-

21.已知数列｛q,｝的前〃项和为S“，满足25.=%+|+2(〃-2)且4=4.

(1)求证：｛%-1｝是等比数列；

(I—11

(2)设a=」一，数列抄“｝的前〃项和为《，求证：Tn<-.

anan+∖8

答案：(1)证明见解析

(2)证明见解析

［由2Sn=%+2(〃-2)得:2S.T=q+2(〃-3)(〃N2),

两式相减得2(S“一Si)=α,用一4+2,则2。“=%+∣-α,,+2,

所以%7=3(α,,T("≥2),

又4=4,则2α∣=%+2x(l—2),解得4=10,满足4-1=3(α∣-1),

综上，a”+1-1=3(。“一1)(〃∈N*),又α∣-l=3,

所以｛凡一1｝是以3为首项，3为公比的等比数列.

ππ

2由(1)知：an-l=3×3-'=3,则α.=3"+l,

1y

hn-⅜-_,,fl+1-ɪp___/