高三二轮复习专题07函数概念及函数的基本性质

2024届高三二轮复习第7讲：函数概念及函数的基本性质解析版2023年考情考题示例考点关联考点2023年新I卷，第11题抽象函数、奇偶性极值点2023年新Ⅱ卷，第4题偶函数无2023年天津卷，第4题函数的图像无2023年天津卷，第15题函数的零点无2023年北京卷，第4题函数的单调性无2023年乙卷文科，第5题偶函数无2023年乙卷文科，第8题函数的零点无2023年甲卷理科，第13题偶函数无2023年甲卷理科，第4题偶函数无2023年甲卷文科，第14题偶函数无题型一：函数的概念【典例例题】例1.（2023春·江西省宜春市宜丰县宜丰中学模拟）设函数的最大值为，最小值为，则=___________.【答案】2【解析】【详解】，令，则奇函数，所以的最大值和最小值和为0，又.有，即.答案为：2.【变式训练】1.（2023春·广东省广州市二模）（多选）已知函数的定义域是（，），值域为，则满足条件的整数对可以是（）AB.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由是偶函数及图像可得出结论.【详解】显然是偶函数，其图像如下图所示：要使值域为，且，,则，；，；，.故选：ACD.2.（2024春·广东省广州市模拟）（如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据心形”上部分函数图象关于y轴对称，排除部分选项，再根据函数的最大值判断.【详解】由函数图象知：“心形”上部分的函数图象关于y轴对称，而，，不满足；的图象过（0，0），（2，0），（2，0），当时，，当且仅当，即时，等号成立，不符合要求；的图象过（0，0），（2，0），（2，0），当时，，当时，函数取得最大值1，符合要求；故选：C3.（2024春·广东省东莞市模拟）（多选）下列函数中，定义域与值域相同的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】求出每个函数的定义域和值域即可得到答案.【详解】对A，的定义域为，值域为，错误；对B，的定义域和值域均为，正确；对C，，则，所以y<2，即的定义域和值域均为，正确；对D，的定义域为，因为，且，所以的值域为，则的值域为，正确.故选：BCD.题型二：函数的单调性【典例例题】例1.（2023春·安徽省滁州市定远县育才学校模拟）（多选）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.的单调递减区间为B.的最大值为C.的最小值为D.的单调递增区间为【答案】ABC【解析】【分析】根据图象直接判断单调区间和最值即可.【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确；对于B，当时，，B正确；对于C，当时，，C正确；对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误.故选：ABC.【变式训练】1.（2023春·河北省秦皇岛市青龙满族自治县实验中学模拟）对于函数，下列描述正确的选项是（）.A.减函数且值域为 B.增函数且值域为C.减函数且值域为 D.增函数且值域为【答案】B【解析】【分析】转化条件为，结合指数函数、反比例函数的性质即可得解.【详解】函数,因为函数且单调递增，所以单调递减，为增函数，又，所以，，所以即的值域为.故选：B.2.（2023春·黑龙江省海伦市第二中学模拟）已知函数，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】【分析】由奇偶性定义、导数判断的奇偶性及单调性，再应用奇函数、单调性求解不等式即可.【详解】由题设，且定义域为，故为奇函数，又，在定义域上递增，∴，可得，∴，解得，∴原不等式解集为.故答案为：.3.（2023春·山东省青岛莱西市模拟）（多选）下面给出的函数中，既是奇函数，在上又是增函数的为（）A B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】判断函数的奇偶性与单调性可得到答案.【详解】对A：，，所以为奇函数，又时，，在上为增函数，所以在上为增函数，故A正确.对B：因为在上为减函数，，所以在上为减函数，故B错误.对C：，，所以为偶函数，故C错误.对D：，，，所以为奇函数，又时，为增函数，由复合函数单调性判断原则知在上为增函数，故D正确.故选：AD题型三：函数的奇偶性、周期性【典例例题】例1.（2023春·广东省佛山市第一中学模拟）（多选）设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（）A.是偶函数 B.为奇函数C.函数有8个不同的零点 D.【答案】AB【解析】【分析】根据已知推出函数关于直线对称且关于对称，周期为8，由已知区间上的解析式画出图象判断A、B；结合图象判断交点个数，周期性求函数值的和判断C、D.【详解】由，则函数关于直线对称，且，由，则函数关于对称，且，所以，故，则，故函数的周期为8，当时，则，，根据周期和对称性知：值域为，由函数关于直线对称且关于对称，周期为8，为向左平移1个单位得到，是偶函数，故A正确：为向左平移3个单位得到，是奇函数，故B正确；由在上递减，且，；在上递增，且，，结合图象：看出和的图象有10个交点，即有10个不同的零点，故C错误：由，，，，，，，，则，所以，故D错误，故选：AB【变式训练】1.（2023春·广东省深圳市一模）已知为奇函数，且时，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由奇函数性质及解析式求解即可.【详解】为奇函数，且时，，.故选：D2.（2023春·广东省潮州市一模）已知函数（其中是自然对数的底数，）是奇函数，则实数的值为______.【答案】【解析】【分析】利用奇函数的性质可得出，结合对数运算可得出实数的值.【详解】对于函数，，解得或，所以，函数的定义域为，因为函数为奇函数，则，即，即，解得.故答案为：.3.（2023春·广东省惠州市一模）“家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园．．．．．．”首婉转动听的《美丽惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由图可知，“心形”关于轴对称，所以上部分的函数为偶函数，可排除B、D；再结合基本不等式和二次函数的性质求得A、C的函数最大值，看是否为1，进而判断.【详解】由图可知，“心形”关于轴对称，所以上部分的函数为偶函数，则函数和都不满足，故排除B、D；而的图象过点，，，且时，，当且仅当时，等号成立，即函数的最大值为2，又“心形”函数的最大值为1，故排除A；由的图象过点，，，且时，，当且仅当时，等号成立，即函数的最大值为1，满足题意，故C满足.故选：C．4.（2023春·广东省汕头市一模）已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论不一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先证明为奇函数，再进行合理赋值逐个分析判断.【详解】对A：∵偶函数，则两边求导可得∴为奇函数，则令，则可得，则，A成立；对B：令，则可得，则，B成立；∵，则可得，则可得两式相加可得：，∴关于点成中心对称则，D成立又∵，则可得，则可得∴以4为周期的周期函数根据以上性质只能推出，不能推出，C不一定成立故选：C.5.（2023春·广东省韶关市二模）（多选）已知是周期为4的奇函数，且当时，.设，则（）A.函数是奇函数也是周期函数B.函数的最大值为1C.函数在区间上单调递减D.函数的图象有对称中心也有对称轴【答案】BCD【解析】【分析】根据判断判断奇函数，判断周期性，求出在的解析式，根据图象平移写出在上解析式并判断奇偶性，进而可得解析式，结合周期性判断B、C，最后利用、判断D.【详解】由，令，则，故；令，则，故；所以，综上，一个周期内，由，而，故不是奇函数，但周期为4，A错；所以，是将图象右移一个单位，故在一个周期图象如下：由图象平移知：，且为偶函数，所以，故的最大值为1，B对；由周期性知：在上单调性同区间，即单调递减，C对；由，由，注意：根据周期性有、，综上，关于中心对称、关于轴对称，D对.故选：BCD6.（2023春·黑龙江省鸡西市密山市第四中学模拟）已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则______．【答案】1【解析】【分析】根据函数为奇函数且得到，故的一个周期为4，则，根据求出，进而求出，求出答案.【详解】因为为奇函数，故①，又，所以，即②，由①②得③，用代替得④，由③④得，故的一个周期为4，则，由于为定义在R上的奇函数，故，即，解得，所以当时，，又，所以.故答案为：17.（2023春·广东省高州市一模）（多选）已知定义在上的函数满足，函数为奇函数，且对，当时，都有.函数与函数的图象交于点，，…，，给出以下结论，其中正确的是（）A. B.函数为偶函数C.函数在区间上单调递减 D.【答案】BCD【解析】【分析】根据已知条件可得函数的对称中心和对称轴，然后可得周期，进而可判断A；根据偶函数的定义，结合已知直接验证可判断B；由已知条件先判断在的单调性，然后利用对称性即可判断C；判断的对称性，结合的对称性即可求得所有交点横坐标之和，以及纵坐标之和，然后可判断D.【详解】因为，所以，的图象关于对称，因为函数为奇函数，所以的图象关于点对称，且又，所以，即，所以的周期为4，所以，故A错误；由上可知，，，故B正确；因为，当时，都有，即，所以在区间单调递增，因为的图象关于点对称，所以在区间单调递增，又的图象关于对称，所以在区间单调递减，C正确；因为，所以的图象关于点对称，所以与的交点关于点对称，不妨设则，所以，所以，D正确.故选：BCD题型四：分段函数【典例例题】例1.（2023春·安徽省滁州市定远县育才学校模拟）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】根据分段函数定义，利用一次函数和指数函数单调性，限定端点处的取值列出不等式组即可解出的取值范围.【详解】函数是上的增函数，所以，解得.故答案为：【变式训练】1.（2023春·广东省深圳市二模）已知函数，则（）A.2 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的分段点代入求值.【详解】，因为，所以.故选：A.2.（2023春·广东省一模）已知函数若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由指数函数的性质判断分段函数的单调性，结合已知不等式求参数范围.【详解】由解析式易知：在R上递增，又，所以，则.故选：D3.（2023春·黑龙江省牡丹江市第二高级中学）已知函数若关于的不等式恒成立，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，由题可知直线要在函数的图象的下面，利用数形结合即得.【详解】∵，设，则恒成立，作出函数与的大致图象，由可知过定点，则过的直线要在函数的图象的下面，由图象可知当与相切与点时为一个临界值，把代入，可得，由，可得或(舍去)，当过的直线经过时为另一个临界值，此时，所以.故选：C.题型五：函数的图像【典例例题】例1.（2023春·广东省广州市一模）函数在上的图像大致为（）A.B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答.【详解】函数定义域为，而，且，即函数既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD；而当时，，排除选项A，选项B符合要求.故选：B【变式训练】1.（2023春·广东省大湾区模拟）已知函数部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数零点排除B,C两个选项，再由奇偶性排除A后可得正确选项．【详解】由图像知有三个零点经验证只有AD满足，排除BC选项，A中函数满足为偶函数，D中函数满足为奇函数，而图像关于原点对称，函数为奇函数，排除A，选D．故选：D．2.函数的图象大致为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数的单调性及特殊值即可作出判断．【详解】由易得f（﹣x）+f（x）＝0，∴f（x）是奇函数；当x=1时，排除A，当x＞0时，，函数在上单调递减，故可排除Ｂ，Ｄ故选Ｃ3.（2023春·江西省宜春市宜丰县宜丰中学模拟）函数在上的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性，结合特殊值，即可排除选项.【详解】首先，所以函数是奇函数，故排除D，，故排除B，当时，，故排除A，只有C满足条件.故选：C4.（2023春·广东省汕头市二模）已知函数，则的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数判定单调性结合特殊区间即可得出选项.【详解】，令，所以在和上单调递增，又当时，，.故选：C5.（2023春·安徽省滁州市定远县育才学校模拟）函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由解析式，应用奇偶性定义判断奇偶性，结合的符号确定大致图象即可.【详解】∵，∴为奇函数，A不正确；很显然有三个零点分别为0，±1，，只有C符合.故选：C.6.（2023春·天津市宁河区芦台第一中学模拟）函数的部分图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性排除AB，再根据趋近于时的值判断即可【详解】因为，故为奇函数，排除AB，又当趋近于时，远远大于，所有函数逐渐趋近于0，排除D故选：C题型六：函数的新定义【典例例题】例1.（2023春·广东省一模）（多选）已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有，则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是（）A.是“封闭”函数B.定义在上的函数都是“封闭”函数C.若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数D.若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数【答案】BC【解析】【分析】A特殊值判断即可；B根据定义及函数的性质即可判断；C根据定义得到都有，再判断所给定区间里是否有成立即可判断，D选项可判断出其逆否命题的正误，得到D选项的正误.【详解】对A：当时，，而，A错误；对B：对于集合，使，即，必有，所以定义在上的函数都是“封闭”函数，B正确；对C：对于集合，使，则，而是“封闭”函数，则，即都有，对于集合，使，则，，而，，...，，所以，即，故，一定是“封闭”函数，C正确；对D，其逆否命题为，若是“封闭”函数，则不是“封闭”函数，只需判断出其逆否命题的正误即可，使，则，若，则，由解得，因为，所以，即使，则，满足是“封闭”函数，故逆否命题为假命题，故原命题也时假命题，D错误.故选：BC【变式训练】1.（2023春·广东省惠州市一模）若函数的定义域为，如果对中的任意一个，都有，且，则称函数为“类奇函数”．若某函数是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是（）A.若0在定义域中，则B.若，则C.若在上单调递增，则在上单调递减D.若定义域为，且函数也是定义域为的“类奇函数”，则函数也是“类奇函数”【答案】C【解析】【分析】对A，根据“类奇函数”的定义，代入求解即可；对B，根据题意可得，再结合函数的单调性判断即可；对C，根据，结合正负分数的单调性判断即可；对D，根据“类奇函数”的定义，推导判断即可.【详解】对于A，由函数是“类奇函数”，所以，且，所以当时，，即，故A正确；对于B，由，即随的增大而减小，若，则成立，故B正确；对于，由在上单调递增，所以，在上单调递减，设，在上单调递增，即在上单调递增，故C错误；对于D，由，所以，所以函数也是“类奇函数”，所以D正确；故选：C2.（2023春·广东省惠州市一模）我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列，那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列（）的通项公式为，，记为的值域，为所有的并集，则E为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数可得函数在上单调递增，进而，然后构造函数，利用导数求函数的最值，进而即得.【详解】因为，，，所以，故在上单调递增，又，，所以，设，，令，则，由，可得，由，可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，，所以，，设，则在上单调递减，所以，，综上，，.故选：C.3.（2023春·广东省茂名市二模）黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且p，q为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，，则下列说法错误的是（）A.在上的最大值为B.若，则C.存在大于1的实数，使方程有实数根D.，【答案】C【解析】【分析】根据题意得到，或或时上的无理数，由的值域为，可判定A正确；若，设，，得到；若有一个为0，得到，可判定B正确；由，且的最大值为，可判定C错误；由，设，得到，可判定D正确.【详解】设，（，且为互质的正整数），或或时上的无理数，对于A中，由题意，的值域为，其中p是大于等于2的正整数，所以A正确；对于B中，①若，设，（互质，互质），，则；②若有一个为0，则，所以B正确；对于C中：若为大于1的正数，则，而的最大值为，所以该方程不可能有实根，所以C错误；对于D中：和内的无理数，则，，，若为内的有理数，设（为正整数，为最简真分数），则，所以D正确.故选：C.4.（2023春·广东省韶关市二模）定义为与距离最近的整数（当为两相邻整数算术平均数时，取较大整数），令函数，如：，，，，则（）A.17 B. C.19 D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析的规律，将重新分组，第组为个，则每组中各个数之和为，分析所在的组，进而计算可得答案．【详解】根据题意，函数，当时，有，则，则有，当，有，则，则有，当，有，则，则有，当，有，则，则有，，当时，，，此时，包含，，，，共个整数，由此可以将重新分组，各组依次为、、、，，第组为个，则每组中各个数之和为，前组共有个数，则是第组的第个数，则．故选：C．1.（新课标全国Ⅰ卷）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D2.（新课标全国Ⅰ卷）（多选）已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点【答案】ABC【详解】方法一：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.方法二：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，当时，对两边同时除以，得到，故可以设，则，当肘，，则，令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，显然，此时是的极大值，故D错误.故选：.3.（新课标全国Ⅱ卷）若为偶函数，则（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B【详解】因为为偶函数，则，解得，当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，故此时为偶函数.故选：B.4.（全国乙卷数学（文）(理)）已知是偶函数，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【详解】因为为偶函数，则，又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得.故选：D.5.（全国甲卷数学（文））已知函数．记，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】令，则开口向下，对称轴为，因为，而，所以，即由二次函数性质知，因为，而，即，所以，综上，，又为增函数，故，即.故选：A.6.（全国甲卷数学（文）（理））若为偶函数，则________．【答案】2【详解】因为为偶函数，定义域为，所以，即，则，故，此时，所以，又定义域为，故为偶函数，所以.故答案为：2.7.（新高考天津卷）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；当时、，即A、C中上函数值为正，排除；故选：D8.（新高考天津卷）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为_________．【答案】【详解】（1）当时，，即，若时，，此时成立；若时，或，若方程有一根为，则，即且；若方程有一根为，则，解得：且；若时，，此时成立．（2）当时，，即，若时，，显然不成立；若时，或，若方程有一根为，则，即；若方程有一根为，则，解得：；若时，，显然不成立；综上，当时，零点为，；当时，零点为，；当时，只有一个零点；当时，零点为，；当时，只有一个零点；当时，零点为，；当时，零点为．所以，当函数有两个零点时，且．故答案为：．1.（2024春·广东省东莞市模拟）已知函数，的定义域为R，则“，为周期函数”是“为周期函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据通过反例和周期的性质判断即可.【详解】两个周期函数之和是否为周期函数，取决于两个函数的周期的比是否为有理数，若为有理数，则有周期，若不为有理数，则无周期.的周期为，的周期为，则当时，只有周期的整数倍才是函数的周期，则不是充分条件；若，，则为周期函数，但，为周期函数不正确，故不是必要条件；因此为不充分不必要条件.故选：D2.函数在上单调递减，则实数取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的定义域，结合复合函数单调性得到答案.【详解】的定义域是，令，其在定义域上单调递增，，在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性可知，.故选：A3.（2023春·广东省广州市二模）已知偶函数与其导函数的定义域均为，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由偶函数的定义结合导数可得出，由已知可得出，可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，可知函数在上为增函数，再由可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，①因为函数为偶函数，则，②联立①②可得，令，则，且不恒为零，所以，函数在上为增函数，即函数在上为增函数，故当时，，所以，函数在上为增函数，由可得，所以，，整理可得，解得.故选：B.4.（2024春·广东省中山市模拟）已知函数是奇函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性列方程，从而求得正确答案.【详解】的定义域为，由于是奇函数，所以，所以.故选：B5.（2024春·广东省梅州市模拟）函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式可以判断函数是偶函数，然后取不同的x值，验证函数图像即可.【详解】设，则函数为偶函数；，，则函数应存在一段从负到正的曲线，对比选项，C正确.故选：C.6.（2024春·广东省河源市模拟）已知定义域为的函数满足，，当时，，则（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】依题意可得为奇函数，再由，推出是周期为的周期函数，由求出的值，最后根据周期性计算可得.【详解】因为定义域为的函数满足，则为奇函数，又，所以，所以，则是周期为的周期函数，又因为，即，又当时，，所以，解得，所以，所以故选：A7.（2023春·广东省深圳市龙岗区德琳学校模拟）（多选）已知函数，在R上的导函数分别为，，若为偶函数，是奇函数，且，则下列结论正确的是（）A. B.C.是R上的奇函数 D.是R上的奇函数【答案】AD【解析】【分析】利用函数的奇偶性、周期性、对称性，以及原函数与导函数的奇偶性，即可判断各选项正误.【详解】解：已知为偶函数，可知关于对称，所以关于对称，因为是奇函数，可知关于对称，所以关于对称，又因为，则，即，所以与关于对称，因为关于对称的点为，直线关于对称的直线为，所以关于对称，关于直线对称，是偶函数，而关于对称，，又，则，，，即是周期为4的偶函数，故C选项错误；由关于直线对称，，关于对称，，则，，所以，即是周期为4的偶函数，由于是周期为4的偶函数，则，等号两边同时求导，可得，所以是周期为4的奇函数，同理，由于是周期为4的偶函数，则，等号两边同时求导，可得，是周期为4的奇函数，所以与均是周期为4的奇函数，故D选项正确；由于关于对称，，，则，所以，故A选项正确；，故B选项错误；故选：AD.8.（2023春·广东省高中教育联盟模拟）已知函数及其导函数的定义域都为，且为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性对称性可得函数的周期性以及，再利用复合函数的导数推出的周期以及，进而可求解.【详解】因为为偶函数，所以，即，即函数图象关于对称，则，因为为奇函数，所以，即函数图象关于点对称，则，所以，则，所以函数以4为周期，，因为，所以，即，即，也即，令，则有，所以，由得，所以以4为周期，所以，所以，C正确，对于其余选项，根据题意可假设满足周期为4，且关于点对称，，故A错误；，B错误；，D错误，故选:C.9.（2024春·广东省河源市模拟）（多选）已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（）A.曲线关于直线轴对称 B.是以4为周期的周期函数C. D.关于点对称【答案】ABC【解析】【分析】对A，根据为偶函数即可判断；对B，根据函数对称性化简判断即可；对C，根据周期性与对称性可得，再求解即可；对D，根据对称性与周期性判断即可.【详解】对A，为偶函数，则，故关于直线轴对称，故A正确；对B，关于直线轴对称，则，又是定义在上的奇函数，故，则，且，故，故周期为4.故B正确；对C，，且，图象关于直线轴对称，故，，，故，故C正确；由C知D错误.故选：ABC10.（2024春·广东省梅州市模拟）（多选）已知函数的定义域为，，则（）A. B.C.为奇函数 D.没有极值点【答案】AC【解析】【分析】选项A：赋值法求解判断；选项B:的值不确定；选项C：通过赋值解得，然后赋值，判断函数奇偶性；选项D：根据抽象函数结构利用对数函数求导验证极值点；【详解】令，得，A正确；令，得，故的值不确定，B错误；令，得，令，得，则为奇函数，C正确；由，可得，根据函数结构举例，当时，可设，则，当时，，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，此时有极值点，D错误；故选：AC.11.（2024春·广东省中山市模拟）（多选）是定义在R上的奇函数，对任意，均有，当时，，则下列结论正确的是（）A.4是函数的一个周期B.当时，C.当时，的最大值为D.函数在上有1011个零点【答案】AC【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再结合给定区间上的函数式逐一计算判断得解.【详解】由对任意，均有，得，即，函数的图象关于直线对称，而是定义在R上的奇函数，则，于是，因此4是函数的一个周期，A正确；当时，，而当时，，因此，B错误；当时，，，求导得，当时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，于是，C正确；当时，由，得，由，得，且，显然函数在上递减，在上递增，结合对称性得函数在上只有0和2两个零点，由知，函数在上只有2和4两个零点，因此函数在上只有2个零点，在上有个零点，D错误.故选：AC12.（2023春·山东省聊城市聊城一中东校模拟）（多选）定义域为，为偶函数，且，则下列说法正确的是（）A.的图象关于（1，0）对称 B.的图象关于对称C.4为的周期 D.【答案】ABC【解析】【分析】根据抽象函数的奇偶性和对称性，求出周期，确定对称轴，求函数值的和分别判断各个选项.

【详解】因为为偶函数，则，可知函数关于对称，，把换成可得，两式相加可得，关于对称，又关于轴对称，则可得，，可知4为的周期，所以ABC都正确．令，，，，，D选项错误.故选:ABC．13.（2023春·广东省东莞市第一中学模拟）（多选）已知函数与的定义域均为，且，，若为偶函数，则（）A.函数的图象关于直线对称 B.C.函数的图象关于点对称 D.【答案】BCD【解析】【分析】根据函数的对称性、周期性、函数值等知识确定正确答案.【详解】A选项，是偶函数，图象关于对称，的图象，横坐标放大为原来的两倍，得到的图象，则是偶函数，图象关于对称；的图象，向左平移个单位，得到的图象，则的图象关于对称，A选项错误.B选项，由，以替换得，由得，令得，由于的图象关于对称，所以，B选项正确.C选项，由，以替换得，由得，令得，所以的图象关于点对称，C选项正确.D选项，的图象关于对称，所以，由，得，以替换得，所以，，的周期为4，又，，所以，D选项正确.故选：BCD14.（2023春·广东省东莞市模拟）（多选）已知都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的有（）A.B.函数的图象关于点对称C.D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断ABC，对于D，通过观察选项可以推断很可能为周期函数，结合，的特殊性以及一些已经证明的结论，想到当令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步可得出是周期函数，从而可得出的值.【详解】对于A，令，代入已知等式得，得，再令，，代入已知等式得，可得，结合得，故A正确；对于B，再令，代入已知等式得，将代入上式，得，∴函数为奇函数，∴函数关于点对称，故B正确；对于C，再令，代入已知等式，得，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，故C错误；对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，两式相加易得，所以有，即：，有：，即：，∴为周期函数，且周期为3，∵，∴，∴，，∴，∴，故D正确.故选：ABD.15.（2024春·广东省中山市模拟）（多选）已知函数的定义域为，，，当时，，则（）A.B.的图象关于直线对称C.当时，D.函数有个零点【答案】ACD【解析】【分析】根据抽象函数关系式可推导得到，由周期性知A正确；根据得到为的对称点，知B错误；利用可推导得到在时的解析式；结合可知C正确；将问题转化为，图象交点个数问题，利用数形结合的方式可知D正确.【详解】对于A，，，，即，，即是以为周期的周期函数，，A正确；对于B，，图象关于点对称，B错误；对于C，当时，，.的图象关于点对称，的定义域为，.，满足，当时，，C正确；对于D，由得：，的值域为，则由得：，作出，的部分图象，如图所示，由图可知，它们有个交点，故函数有个零点，D正确.故选：ACD.16.（2023春·广东省汕头市二模）给出定义：设是函数导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.若函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过二次求导可得，求出的图像的对称中心为，得到，据此规律求和即可.【详解】由，可得，令，可得，又，所以的图像的对称中心为，即，所以，故选：B.17.（2023春·广东省梅州市一模）（多选）对于定义在区间上的函数，若满足：，且，都有，则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”，且，，又当时，恒成立，下列命题中正确的有（）A. B.，C. D.，【答案】ACD【解析】【分析】利用已知条件和函数的性质对选项逐一判断即可得正确答案.【详解】A.因为，所以令得，所以，故A正确；B.由当，恒成立，令，则，由为区间上的“非减函数”，则，所以，则，，故B错误；C.，，而，所以，，由，，，则，则，故C正确；当时，，，令，则，，则，即，故D正确.故选：ACD18.（2024春·广东省东莞市模拟）（多选）已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法正确的是（）A.的一个周期是4B.是奇函数C.是偶函数D.的图象关于点中心对称【答案】AC【解析】【分析】对于A：根据周期性的定义分析判断；对于BC：根据题意结合奇偶性的定义分析判断；对于D：根据偶函数的定值结合周期性分析判断.【详解】对于A：由知，所以是周期为4的周期函数，故A正确；对于BC：因为，所以，由为奇函数，得，即，所以的图象关于点中心对称．则，因此，即，且的定义域为，故是偶函数，不一定是奇函数，故B错误，C正确；对于D：因为是偶函数，即图象的一个对称轴是，且是周期为4的周期函数，所以的图象对称轴是，不一定关于点对称，故D错误，故选：AC．19.（2024春·广东省佛山市模拟）函数在区间上所有零点的和等于（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】根据在的零点，转化为的图象和函数的图象在交点的横坐标，画出函数图象，可得到两图象关于直线对称，且在上有8个交点，即可求出.【详解】因为，令，则，则函数的零点就是函数的图象和函数的图象在交点的