高中人教A版数学选修1-1测评第三章习题课利用导数研究函数的单调性

习题课——利用导数研究函数的单调性课后篇巩固提升1.已知实数x,y满足2x+2x<2y+2y,则()A.x>y B.x=yC.x<y D.x,y大小不确定解析设f(t)=2t+2t,所以f'(t)=2+2tln2>0,所以函数f(t)在R上单调递增,由题得f(x)<f(y),所以x<y.故选C.答案C2.若函数f(x)=exex+2sinx,则满足f(2x21)+f(x)>0的x的取值范围为()A.-B.(∞,1)∪1C.-D.-∞,-12∪解析函数f(x)=exex+2sinx,定义域为R,且满足f(x)=exex2sinx=(exex+2sinx)=f(x),∴f(x)为R上的奇函数;又f'(x)=ex+ex+2cosx≥2+2cosx≥0恒成立,∴f(x)为R上的增函数;又f(2x21)+f(x)>0,得f(2x21)>f(x)=f(x),∴2x21>x,即2x2+x1>0,解得x<1或x>12,所以x的取值范围是(∞,1)∪12,+答案B3.若定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f'(x)>f(x),则f(2020)与e·f(2019)的大小关系为()A.f(2020)<e·f(2019) B.f(2020)=e·f(2019)C.f(2020)>e·f(2019) D.不能确定解析构造函数g(x)=f(x)ex,则g'(因为f'(x)>f(x),所以g'(x)>0,即函数g(x)在R上为增函数,则f(2020)e2020>f(2019答案C4.已知函数f(x)=12x2+alnx,若对任意两个不等的正数x1,x2,都有f(x1)-f(x2)A.[4,+∞) B.(4,+∞)C.(∞,4] D.(∞,4)解析令g(x)=f(x)4x,因为f(x1)-f(x2)x1-x2>4,所以g故g'(x)=x+ax4≥0在(0,+∞)内恒成立即a≥4xx2,令h(x)=4xx2,x∈(0,+∞).则h(x)=4xx2≤h(2)=4,h(x)max=4,即a的取值范围为[4,+∞).故选A.答案A5.定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意的实数x,都有2f(x)+xf'(x)<2恒成立,则使x2f(x)f(1)<x21成立的实数x的集合为()A.{x|x≠±1} B.(∞,1)∪(1,+∞)C.(1,1) D.(1,0)∪(0,1)解析当x>0时,在2f(x)+xf'(x)<2两边同时乘以x得,2xf(x)+x2f'(x)2x<0,设g(x)=x2f(x)x2,则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)2x<0恒成立,所以g(x)在(0,+∞)内单调递减.由x2f(x)f(1)<x21得x2f(x)x2<f(1)1,即g(x)<g(1),即x>1.当x<0时,函数g(x)是偶函数,同理可得x<1.综上可知,实数x的取值范围是(∞,1)∪(1,+∞),故选B.答案B6.已知函数f(x)=13x3+x2+ax5在(∞,+∞)内总是单调函数,则a的取值范围是.解析依题意得f'(x)=x22x+a,是一个开口向上的二次函数,由于原函数总是单调函数,故导函数的判别式Δ=(2)24a≤0,解得a≥1.答案[1,+∞)7.若函数f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,则a的取值范围是.

解析法一:由于f'(x)=3ax2+1,当a≥0时,显然有f'(x)>0,即函数在R上单调递增,不符合题意;当a<0时,由f'(x)>0,得-13a<x<-13a,由f'(x)<0,得x<-13a或x>-1法二:∵函数f(x)恰有三个单调区间,∴f'(x)=3ax2+1=0有两个不同实数解.∴Δ=4·3a>0,得a<0.答案(∞,0)8.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且当x<0时有f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,g(4)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是.

解析若设h(x)=f(x)g(x),则由f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0得h'(x)>0,因此函数h(x)在(∞,0)内是增函数.又因为f(x),g(x)分别是奇函数和偶函数,所以h(x)是一个奇函数,故h(x)在(0,+∞)上也是增函数,且h(4)=h(4)=0,所以当x<4或0<x<4时h(x)<0,即不等式f(x)g(x)<0的解集是(∞,4)∪(0,4).答案(∞,4)∪(0,4)9.已知函数f(x)=x3ax1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围.解(1)f'(x)=3x2a.①当a≤0时,f'(x)≥0且f'(x)=0不恒成立,所以f(x)在(∞,+∞)上为增函数.②当a>0时,令3x2a=0得x=±3a当x>3a3或x<3a3时,f'(当3a3<x<3a3时,f'(x因此f(x)的单调递增区间为∞,3a3,3a3,+∞,单调递减区间为3a3,3a综上可知,当a≤0时,f(x)在R上单调递增;当a>0时,f(x)的单调递增区间为∞,3a3,3