经典相似梯形练习题

经典相似梯形练习题题目一已知梯形$ABCD$满足$AD\parallelBC$，且$AB$和$CD$分别与$AD$垂直，$BC=2AD$。若$AD=4$，$AE=\frac{9}{5}$，求$BD$的长度。解答：首先，我们知道对于互相平行的两条直线，过这两条直线的平行线所分割的线段之比等于这两条直线所分割的线段之比。根据题目条件，我们可以得到下面的等式：$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{CD}$代入已知的值，得到：$\frac{AB}{4}=\frac{2\cdot4}{CD}$化简后得到：$\frac{AB}{4}=\frac{8}{CD}$进一步，我们可以得到：$AB\cdotCD=32$又根据题目条件$AD=4$，可以得到梯形的面积$S$为：$S=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdotAD=8$我们把题目中的已知量放入到面积公式中，得到：$S=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot4=8$化简后得到：$AB+CD=4$现在我们有了两个等式：$\begin{cases}AB\cdotCD=32\\AB+CD=4\end{cases}$我们可以用代入法或者将第一个等式转化为因式分解的形式进行求解。这里我们选择因式分解法：设$AB=x$，则$CD=4-x$，代入第一个等式得到：$x(4-x)=32$化简后得到二次方程：$x^2-4x+32=0$求解该二次方程，可得到两个解，但由于题目中已知$AE=\frac{9}{5}$，所以我们只需考虑正根即可。求根公式为：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$代入已知的系数得到：$x=\frac{-(-4)+\sqrt{(-4)^2-4(1)(32)}}{2(1)}$$x=\frac{4+\sqrt{16-128}}{2}$$x=\frac{4+\sqrt{-112}}{2}$但是由于求解得到的结果不能为负数，所以我们知道该二次方程没有实数解，也就是说这个题目的题设是不成立的。因此，我们无法得到$BD$的长度。题目二已知梯形$WXYZ$的上底$WX$的长度是下底$YZ$长度的$\frac{4}{7}$，同时斜边$WZ$的长度是底边$YZ$长度的$\frac{3}{5}$。若面积为$15$平方单位，求底边$YZ$的长度。解答：根据题目中给出的比例关系，我们有以下两个等式：$\frac{WX}{YZ}=\frac{4}{7}$$\frac{WZ}{YZ}=\frac{3}{5}$我们可以利用这两个等式求解$YZ$的长度。首先，我们可以得到：$WX=\frac{4}{7}YZ$根据梯形面积的公式，我们有：$S=\frac{1}{2}(WX+YZ)\cdoth=15$其中$h$表示梯形的高。将已知的值代入上面的公式，得到：$15=\frac{1}{2}(\frac{4}{7}YZ+YZ)\cdoth$化简后得到：$15=\frac{11}{14}YZ\cdoth$进一步，我们可以将$h$表示为$\frac{15\cdot14}{11YZ}$，代入到上述两个等式中，得到：$WX=\frac{4}{7}YZ$$WZ=\frac{3}{5}YZ$代入已知值后得到：$WX=\frac{4}{7}YZ=\frac{4}{7}\cdot\frac{15\cdot14}{11YZ}=\frac{60}{11YZ}$$WZ=\frac{3}{5}YZ=\frac{3}{5}\cdot\frac{15\cdot14}{11YZ}=\frac{42}{11YZ}$根据题目中给出的两个条件，我们可以得到：$\