同角三角函数的基本关系与诱导公式椭圆考点解读

基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα).2．角的对称(1)α与π＋α关于原点对称，(2)α与π－α关于y轴对称，(3)α与－α(或2π－α)关于x轴对称，(4)α与eq\f(π,2)－α关于直线y＝x对称．3．诱导公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cos_α，tan(α＋2kπ)＝tan_α其中k∈Z.公式二：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α.公式三：sin[α＋(2k＋1)π]＝－sin_α，cos[α＋(2k＋1)π]＝－cos_α，tan[α＋(2k＋1)π)]＝tanα.拓展：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α.公式四：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α.拓展：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα.诱导公式可概括为k·eq\f(π,2)±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝taneq\f(π,4)＝….三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．双基自测1．(人教B版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝eq\f(1,2)，则cosα的值为()．A．±eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．±eq\f(\r(3),2)解析∵sin(π＋α)＝－sinα＝eq\f(1,2)，∴sinα＝－eq\f(1,2).∴cosα＝±eq\r(1－sin2α)＝±eq\f(\r(3),2).答案D2．(2012·杭州调研)点A(sin2011°，cos2011°)在直角坐标平面上位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析2011°＝360°×5＋(180°＋31°)，∴sin2011°＝sin[360°×5＋(180°＋31°)]＝－sin31°＜0，cos2011°＝cos[360°×5＋(180°＋31°)]＝－cos31°＜0，∴点A位于第三象限．答案C3．已知cosα＝eq\f(4,5)，α∈(0，π)，则tanα的值等于()．A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．±eq\f(4,3)D．±eq\f(3,4)解析∵α∈(0，π)，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(3,5)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4).答案B4．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))的值是()．A.eq\r(2)B．－eq\r(2)C．0D.eq\f(\r(2),2)解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))＝coseq\f(17π,4)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))＝－sineq\f(17π,4)＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,4)))＝－sineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))＝eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2).答案A5．已知α是第二象限角，tanα＝－eq\f(1,2)，则cosα＝________.解析由题意知cosα＜0，又sin2α＋cos2α＝1，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2).∴cosα＝－eq\f(2\r(5),5).答案－eq\f(2\r(5),5)考向一利用诱导公式化简、求值【例1】►已知f(α)＝eq\f(sinπ－αcos2π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))tanπ＋α)，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(31π,3))).[审题视点]先化简f(α)，再代入求解．解f(α)＝eq\f(sinαcosα,cosαtanα)＝cosα，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(31π,3)))＝coseq\f(31,3)π＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10π＋\f(π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).(1)化简是一种不指定答案的恒等变形，其结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．(2)诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了．【训练1】已知角α终边上一点P(－4,3)，则eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin－π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))的值为________．解析原式＝eq\f(－sinαsinα,－sinαcosα)＝tanα，根据三角函数的定义，得tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(3,4).答案－eq\f(3,4)考向二同角三角函数关系的应用【例2】►(2011·长沙调研)已知tanα＝2.求：(1)eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα)；(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α.[审题视点](1)同除cosα；(2)利用1＝sin2α＋cos2α，把整式变为分式，再同除cos2α.解(1)eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα)＝eq\f(2tanα－3,4tanα－9)＝eq\f(2×2－3,4×2－9)＝－1.(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝eq\f(4sin2α－3sinαcosα－5cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(4tan2α－3tanα－5,tan2α＋1)＝eq\f(4×4－3×2－5,4＋1)＝1.(1)对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(2)关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．【训练2】已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5.则sin2α－sinαcosα＝________.解析依题意得：eq\f(tanα＋3,3－tanα)＝5，∴tanα＝2.∴sin2α－sinαcosα＝eq\f(sin2α－sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－tanα,tan2α＋1)＝eq\f(22－2,22＋1)＝eq\f(2,5).答案eq\f(2,5)考向三三角形中的诱导公式【例3】►在△ABC中，sinA＋cosA＝eq\r(2)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三个内角．[审题视点]要求三角形的内角，需求得某一内角的某一三角函数值，故结合条件sinA＋cosA＝eq\r(2)知先求角A，进而求其他角．解由已知可得eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))＝eq\r(2)，因为0＜A＜π，所以A＝eq\f(π,4).由已知可得eq\r(3)cosA＝eq\r(2)cosB，把A＝eq\f(π,4)代入可得cosB＝eq\f(\r(3),2)，又0＜B＜π，从而B＝eq\f(π,6)，所以C＝π－eq\f(π,4)－eq\f(π,6)＝eq\f(7π,12).在△ABC中常用到以下结论：sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝coseq\f(C,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝sineq\f(C,2).【训练3】若将例3的已知条件“sinA＋cosA＝eq\r(2)”改为“sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B)”其余条件不变，求△ABC的三个内角．解由条件得：－sinA＝－eq\r(2)sinB，即sinA＝eq\r(2)sinB，eq\r(3)cosA＝eq\r(2)cosB，平方相加得：sin2A＋3cos2A＝2⇒2cos2A＝1，cosA＝±eq\f(\r(2)若cosA＝－eq\f(\r(2),2)，则cosB＝－eq\f(\r(3),2)，A，B均为钝角不可能．故cosA＝eq\f(\r(2),2)，cosB＝eq\f(\r(3),2)，故A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(7π,12).阅卷报告3——忽视题设的隐含条件致误【问题诊断】涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误．【防范措施】一要考虑题设中的角的范围；二要考虑题设中的隐含条件．【示例】►若sinθ，cosθ是关于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos2θ的值．错因忽视隐含条件，产生了增解eq\f(7,25).实录由题意知，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ))2＝eq\f(1,25)，∴sin2θ＝－eq\f(24,25)，∵θ∈(0，π)，∴2θ∈(0,2π)，∴cos2θ＝±eq\r(1－2sin22θ)＝±eq\f(7,25).正解由题意知，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5).∴(sinθ＋cosθ)2＝eq\f(1,25).∴sin2θ＝－eq\f(24,25).即2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)＜0，则sinθ与cosθ异号，又sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)＞0，∴eq\f(π,2)＜θ＜eq\f(3π,4)，∴π＜2θ＜eq\f(3π,2).故cos2θ＝－eq\r(1－sin22θ)＝－eq\f(7,25).【试一试】已知sinθ＋cosθ＝eq\f(7,13)，θ∈(0，π)，求tanθ.[尝试解答]∵sinθ＋cosθ＝eq\f(7,1