第五章量纲分析和相似原理

量纲分析第五章和相似原理2021/5/91第五章量纲分析和相似原理§5—1量纲分析§5—2相似理论§5—3相似准则§5—4模型实验

主要内容2021/5/92五2021/5/93学习重点：理解量纲分析的意义及应用；掌握量纲分析方法掌握量纲和谐原理、相似概念及主要相似准则的意义和应用；了解模型实验。2021/5/94§5—1量纲分析（1）量纲——是表征各种物理量性质和类别，是指物理量所属的种类。（质的表征）（2）单位——是人为规定的量度标准，量度各种物理量数值大小的标准量。（量的表征）一、量纲的概念1、量纲与单位物理量q量纲（属性）dimq单位（量度标准）2021/5/951.单位：表征各物理量的大小。

如长度单位m、cm、mm；时间单位小时、分、秒等。质量单位千克、克等2.量纲：表征各物理量单位的种类。

如m、cm、mm等同属于长度类，用L表示；小时、分、秒等同属于时间类，用T表示；公斤、克等同属于质量类，用M表示。2021/5/962、量纲的分类：（1）基本量纲（独立量纲）——不能用其它量纲导出的、互相独立的量纲。（2）导出量纲（非独立量纲）——可由基本量纲导出的量纲。

如：速度量纲：

[LT

–1]；流量量纲：

[L3T

–1]。如：时间量纲：[T]长度量纲：[L]质量量纲：[M]温度量纲：[Θ]2021/5/97对于不可压缩流体运动，则选取M、L、T三个基本量纲，其他物理量量纲均为导出量纲。速度dimv=LT-1；加速度dima=LT-2力dimF=MLT-2；动力粘度dimμ=ML-1T-1综合以上各量纲式，可得任一物理量q的量纲dimq都可用3个基本量纲的指数乘积形式表示。2021/5/982021/5/99Ααalpha角度；系数Ββbeta磁通系数；角度；系数Γγgamma电导系数（小写）Δδdelta变动；密度；屈光度Εε,eepsilon对数之基数Ζζzeta系数；方位角；阻抗；相对粘度；原子序数Ηηeta磁滞系数；效率（小写）Θθ,θtheta温度；相位角∏πpi圆周÷直径=3.1416Ρρ,ρrho电阻系数（小写）∑σ,ssigma总和（大写），表面密度；跨导（小写）Φφphi磁通；角Ψψpsi角速；介质电通量（静电力线）；角Ωωomega欧姆（大写）；角速（小写）；角补充资料2021/5/910Μμ米欧Νν纽Ξξ克西Οο欧米克隆∏π派Ρρ柔∑σ西格玛Ττ陶Υυ玉普西隆Φφ弗爱Χχ凯Ψψ普赛Ωω奥米伽Aα阿尔法Bβ贝塔Γγ伽玛Δδ德尔塔Εε伊普西隆Ζζ泽塔Ηη伊塔Θθ西塔Ιι约塔Κκ卡帕∧λ兰姆达补充资料2021/5/9113、导出量纲公式：dimq=[MaLbTc

]1>当a=0，b≠0，c=0时：为几何学量纲。2>当a=0，b≠0，c≠0时：为运动学量纲。3>当a≠0，b≠0，c≠0时：为动力学量纲。2021/5/9124、无量纲量（纯数、无因次量）：（1）定义：当量纲公式中各量纲指数均为零，即a=b=c=0时,则dimq=1

，这个物理量即无量纲量。①可以由两个具有相同量纲的物理量相比得到；②也可以由几个有量纲物理量乘积组合，使组合量的量纲指数为零得到。（2）特点：2>

其大小与所选单位无关，不受运动规模的限制。3>除能进行简单的代数运算外，也可进行对数、指数、三角函数等超越函数运算。1>

客观性。2021/5/913

用L0M0T0表示，实际是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量，如相似准则数：

2021/5/914量纲和谐原理是指在一个反映客观规律的物理方程式中，各项的量纲必须是一致的，它是被无数事实所证明的一个客观原理。连续性方程

伯努利方程

动量方程

二、量纲和谐原理2021/5/915（3）一个正确的物理方程其量纲必须和谐一致。（2）一个物理量只有一个量纲，不同的量纲不可相加减；（1）量纲与物理量的特性有关，与物理量的大小无关；——凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成立。量纲和谐原理是量纲分析的基础。2、量纲的主要特性：1、定义2021/5/9163、量纲分析的具体应用：（1）量纲分析法——即应用量纲的和谐原理，来推求各物理量之间的函数关系的方法。（2）应用：1>检查所建立的物理方程是否正确；2>可用于同一量纲的单位换算；3>确定各物理量之间的合理形式；4>设计系统实验及分析实验结果。2021/5/9171、瑞利法：2、π定理（布金汉定理）三、量纲分析法2021/5/9181、瑞利法：（1）特点：可直接利用量纲一致原则进行量纲分析；（2）适用范围：

方程中物理量较少（一般4～5个），各量纲间的关系较易确定。2021/5/919（3）基本原理和步骤：

对于某一物理过程，通过观察、实验、分析，从而找出影响该物理量的主要因素：y,x1,x2,x3……

,xn写成指数形式：y=f(x1,x2,x3……

,xn)表示。可用函数式：2021/5/920量纲表示式：据量纲和谐原理有:[L]:1a1＋2a2nan+……+a=[T]:1b1＋2b2nbn+……+b=[M]:1c1＋2c2ncn+……+c=123n……..，，，解出：2021/5/9211>其指数关系式：（4）举例：已知影响水泵输入功率的物理量有：水的重度γ

，流量Q，扬程H

。求水泵输入功率N

的表达式。[ML2T-3]=[ML-2T-2]α1[L3T-1]α2[L]α32>量纲表达式：2021/5/9223>据量纲的和谐原理有：[M]：1=+0+01[L]：212=－2+3+3[T]：21－3=－2－+03=12=11=1[ML2T-3]=[ML-2T-2]α1[L3T-1]α2[L]α3故得：N=kγQ

H2021/5/923例7-1已知作用在做匀速圆周运动物体上的离心力，与物体的质量、速度和圆周半径有关，试用瑞利法推导离心力公式。[解]根据已知条件，离心力可以写成以下指数形式根据量纲和谐性，有

2021/5/9242、π定理（布金汉定理）——是改进了的量纲分析法，可用于物理量相对较多的情况。（1）基本原理：设某一物理过程包含n个物理量：f(x1，x2，……，xn)

=0，其中有m

个为基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量），则该物理过程可由n个物理量构成的(n-m)个无量纲项来描述。F（π1，π1，……，πn-m）=0即：2021/5/925无量纲量数组的组成方式：在n个变量中取m个量纲不同的量作为基本变量，并把基本变量与其它变量中的一个组成数组，共组成（n-m）个无量纲数组，例取x1,x2,x3为基本变量，则数组为：………..…这三个基本量分别表征流体物性、几何特性和运动特征2021/5/926（2）m

个相互独立量纲的物理量选择：

一般可选3个（m=3），通常分别选几何学物理量、运动学物量、动力学物理量各一个。此法一般可满足量纲相互独立。2021/5/927必须相互独立

表征流体物性：密度、粘度等

表征几何特性:管径、管长等

表征运动特性：速度、重力加速度等

2021/5/928（3）确定无量纲量π的方法：1>从

n

个物理量中选出

m

个相互独立的基本量；2>由

m

个基本量纲冪的乘积作为分母，未列入基本量纲的其它各物理量分别作为分子，设分子分母量纲相同，即可求得无量纲量π。2021/5/929如m=3，则有：4>举例：π1

=x4/(x1α1x2β1x3γ1)π2

=x5

/(x1α2x2β2x3γ2)……πn-3

=

xn

/(x1α（n-3）x2β（n-3）x3γ（n-3）)3>按量纲和谐原理求得各指数，即可得出π的具体表达式。2021/5/930例2：管中紊流，单位管长沿程水头损失hf/L，取决于下列因素：流速υ,管径D，重力g，粘度μ，管壁粗糙度△和密度ρ，试用π定理分析确定方程的一般形式。

解：（1）找出有关物理量（2）选基本量。在有关量中取v，D，ρ为基本变量，基本量数m=3（3）组成π项，决定各π项基本指数。π的个数N(π)=n-m=7-3=4，显然hf/L是一个π，因hf和L量纲都是长度。π1=μ/(υa1Db1ρc1)=[ML-1T-1]/([LT-1]a1[L]b1[ML-3]c1)则

L:-a1-b1+3c1-1=0

T:a1-1=0

M:-c1+1=0由此a1=1，b1=1，c1=1。类似有：2021/5/931π2=△/(υa2Db2ρc2

)

π3=g/(υa3Db3ρc3）

可得：

a2=0，b2=1，c2=0

a3=2，b3=-1，c3=0

（4）整理方程式：

即

解得：常用沿程损失公式形式为：——称沿程阻力系数，具体由实验决定。2021/5/932例3：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差△p与下列变量有关：管径d,ρ,υ,l,μ,管壁粗糙度△，试求△p的表达式。

解：（1）找出有关物理量F（d,ρ,υ,l,μ,△,△p）=0

（2）选基本量，组成π项。基本量d,ρ,υ,n=7,m=3,π数n-m=4个（3）决定各π项基本量指数

对π1：2021/5/933

对π2：

同理得：（4）整理方程式设则2021/5/934（2）量纲和谐原理是判别经验公式是否完善的基础。19

世纪，量纲分析原理未发现之前，水力学中积累了不少纯经验公式，每一个经验公式都有一定的实验根据，都可用于一定条件下流动现象的描述，这些公式孰是孰非，无所适从。量纲分析方法可以从量纲理论作出判别和权衡，使其中的一些公式从纯经验的范围内解脱出来。关于量纲分析方法的几点讨论：（1）量纲分析法的理论基础是量纲和谐原理。2021/5/935（3）应用量纲分析方法得到的物理方程式，是否符合客观规律和所选入的物理量是否正确有关。而量纲分析方法本身对有关物理量的选取却不能提供任何指导和启示，可能由于遗漏某一个决定性的物理量，造成方程中出现累赘的量纲量。这种局限性是方法本身决定的。弥补它，需要已有的理论分析方法和实验成果，要依靠研究者的经验和对流动现象的观察认识能力。（4）量纲分析为组织实施实验研究，以及整理实验数据提供了科学的方法，可以说量纲分析方法是沟通流体力学理论和实验之间的桥梁。2021/5/936思考题1.量纲分析有何作用？

答：可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。

2.经验公式是否满足量纲和谐原理？

答：一般不满足。通常根据一系列的试验资料统计而得，不考虑量纲之间的和谐。

3.瑞利法和布金汉π定理各适用于何种情况？

答：瑞利法适用于比较简单的问题，相关变量未知数≤4~5个，π定理是具有普遍性的方法。

2021/5/937相似原理实物模型相似原理实验设备：水池、水槽、风洞。相似理论：模型流场再现实物流场的准则——指导模型实验。

实验结果推广到原型以及应用到相似的流动中。2021/5/938§5—2相似理论

一、相似的概念1、模型实验：从模型上得到的现象可用来推断原型上可能发生的情况。模型：——指与原型（工程实物）有同样的运动规律，各运动参数存在固定比例关系的缩小物。原型：——天然水流和实际建筑物称为原型。2021/5/9392、相似理论：

研究原型与模型之间联系的理论，即为相似理论。是模型实验的理论基础。3、流动相似

是几何相似概念的扩展。即要求在原、模型的流动现象对应点上，同类的物理量（几何学物理量、运动学物理量、动力学物理量）具有固定的比例关系。即流动相似扩展为下面的“相似条件”。2021/5/940二、相似条件——满足力学相似，即几何相似、运动相似、动力相似、初始条件和边界条件相似。2021/5/941一、几何相似模型和实际流场的几何形状相似，即对应的线段成比例，对应的夹角相等。长度比尺

面积比尺

体积比尺

以角标p表示原型（prototype）,m表示模型（model）2021/5/9422021/5/943二、运动相似

两个流场对应点上的速度（或加速度）的方向相同，大小成比例，即速度比尺

加速度比尺

时间比尺

重力加速度比尺

2021/5/9442021/5/945三、动力相似两个流动各对应点上受到的各种同名力方向相同、大小成比例，即粘性力重力压力弹性力表面张力惯性力力的比尺

密度比尺粘度比尺

2021/5/946四、初始条件和边界条件相似1.初始条件和边界条件的相似是保证两个流动相似的充分条件，正如初始条件和边界条件是微分方程的定解条件一样。2.对于非恒定流，初始条件是必须的，而对于恒定流，初始条件则失去了意义。3.边界条件是指两个流动相应边界性质相同，比如，自由表面上的压强等于大气压强，固体边界上的法线速度为零等。几何相似是运动相似和动力相似的前提；动力相似是决定流动相似的主要因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现。2021/5/947

§7-3相似准则

1.相似准则：两个流动要实现动力相似，作用在相应质点上的各种作用力的比尺要满足的约束关系。一、牛顿相似准则

2.牛顿相似准则惯性力比尺

力的比尺

牛顿数

牛顿相似准则是两个流动动力相似的充分与必要条件

2021/5/948二、动力相似准则

1.雷诺准则（粘性力准则）粘性力比尺

雷诺数

雷诺准则：粘性力起主要作用。2021/5/9492.佛汝德准则（重力准则）重力比尺

佛汝德数

佛如德准则：重力起主要作用。2021/5/9503.欧拉准则（压力准则）