2023年山东考研数学二试题及答案（真题）

2023年山东考研数学二试题及答案

一、选择题：PlO小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项

是最符合题目要求的，请将所选项前的字瑁填在答题纸指定位置上.

1.y=Λln(e+-!-)的斜渐近线为()

X-I

A.y=x+eB.y=χ+!

e

C.y=xD.y=X——

e

【答案】B.

【解析】由已知y=xln[e+±],则

1

Iimxln1+

x→∞e(x-l)

X1

Iim

x→∞e(x-l)e

所以斜渐近线为y=χ+L故选B.

e

II-------,X<O

2.函数/(X)=Ji77的一个原函数为().

I(x+l)cosx,x>0

In(∖∕l+x2-x),x≤0

A.F(x)=I\)

(x+1)cosx-sinx,x>0

In(Jl+x，—ʃʌ÷1,x≤O

B.F(x)={∖)

(X+1)cosX-SinMX>0

In(Vl+x2-x),x≤0

C.F(x)={∖)

(x+1)sinx+cosx,x>0

ln(Vl+x2+x)+l,x≤0

D.JF(X)={∖)

(X+1)sinx+cosx,x>0

【答案】D.

【解析】由已知Iim/(x)=Iim/(%)="O)=1,即/(x)连续.

x→O+x→O

所以F(X)在X=O处连续且可导，排除A,C.

又x>0时，[(x+l)cosx—SinX]'=CoSX-(X+1)SinX-CoSX=-(X+1)SinX,

排除B

故选D.

3∙设数列入｝,｛%｝满足内=M=；,当+I=SinX“，先+1=3笫，当〃78时().

A.X“是)，”的高阶无穷小B-y“是X”的高阶无穷小

C∙X“是％的等价无穷小D.X“是”的同阶但非等价无

穷小

【答案】B.

【解析】在(0卷)中，sinx>∣x21

从而K=Si-，•又/「产，从而

ɪ

⅛‹∑Λ=ΞZ;‹代汨/

⅞+12Xn4X,

π

所以Iim9=0.故选B.

∏→ocY

%+1

4.若y"+ay'+by=O的通解在(-∞,+∞)上有界，这().

A.a<0,b>0B.a>0,b>0

C.a=0,b<0D.a=0,b>0

【答案】D

【解析】微分方程/+@'+=0的特征方程为r2+czr+⅛=0.

——X\14/?/7~\14/?/7"

①若Q?一4bv()z则通解为y(x)=e2(GCoS---------x÷C2sin----------x);

②若"—助>(),则通解为yM=C,e

③若1-4b=O,则通解为y(χ)=(G+Gx)e2.

由于y(χ)在(-8,+∞)上有界，若-∙∣>。，则①②③中χ→用时通解无界，若-1∙<0,

则①②③中X→-8时通解无界，故α=0.

α=0时，若〃>0,贝!|q.2=〃7，通解为y(x)=(C]cosGx+C?SinaX),在(一8,+oo)

上有界.

α=0时，若A<0,则七=±y[b,通解为Xx)=Ca+Ge-向，在(-∞,+∞)上无界.

综上可得a=0,。>0.故选D.

X-2∕+∣11

5.设函数V=/(X)由参数方程,'确定，则().

J=IflSlnf

A.f(x)连续，∕,(0)不存在B.尸(0)存在，∕,(x)在X=0处不连续

C.尸(X)连续，/70)不存在D./70)存在，f∖x)在X=0处不连续

【答案】C

【解析】Iimy=IimlrlSinf=O=y(0),故)(x)在尤=0连续.

x→0∕→0

/'(0)=Iim"幻一"0)=Iimlflsmf=0.

a→0X-。2r÷111

sin∕+rcosr

t>0

3，

0Z=O

x(∕)

-SinfTcos//<0

f=0时，X=O;∕>0时，尤>0;r<θ0⅛,x<0,故/'(X)在X=O连续.

sinz+ZCOSZ

---------------------ʊC

/'(xf(0)..32

=Iim----------------------=—

X—o'3/9

r(0)=Iim八划一/⑼=IimTin-8S"°=_2

XfO-X∕→0-t

故/"(O)不存在.故选C∙

+∞1

∫2而h在…。处取得最小值，则4=()

1

A.-------------B.-ln(ln2)

ln(ɪn2)

c∙^⅛D.In2

【答案】A.

・田1近_r+∞d(lnʃ)1_||++<8⅛⅛，则

【解析】已知/⑷=2x(lnxΓ+ldx^J2QnX严

111InIn211-ɪ-+InIn2

f'(a)=~

a2(In2)aa(In2)αa(In2)aa

1

令((0)=0,解得小

InIn2

故选ʌ.

7.设函数/(X)=(x2+∏)ev.若/(x)没有极值点但曲线y=/(ɪ)有拐点,则a的取值范

围是().

A.[0,l)B,[l,+∞)C.[1,2)D.[2,+∞)

【答案】C.

【解析】由于/(X)没有极值点,但曲线y=/(X)有拐点，则f'(x)=(X2+2x+g)e'有两

个相等的实根或者没有实根，/"(x)=(f+4x+α+2)e'有两个不相等的实根.于是知

4—4α≤0,

解得l≤α<2.故选C

“16-4(α+2)>0,

、*

AE、

8.A,B为可逆矩阵，E为单位阵，M*为M的伴随矩阵，则

OB,

IAI3,-BtAy'∣3∣A*-ABy

A.B.

<0IBlAikO∖MB∖

'∣5∣A*—5*A*、IAlzr

C.D.∣B∣AJ

IO∣A∣B*;;o

【答案】B

【解析】由于

AEYAEYAEfEO、"∖A∖∖B∖O、

~O31θ

B,E,、OIAlI研

故

7Ey∖_(AEY(IAIlBlO、

BJ3月O∣A∣∣B∣,

"A-'-A-'^IV∣A∣∣B∣O、

、OB'OIAIl研

IAlATI3|一IAlATIBIBT)

、OB-'∖A∖∖B∖)

/A*∣6∣-AKʌ

、oBsIAl/

故选B.

222

9./(x1,x2,x3)=(x1+x2)+(x1+Λ3)-4(X2-X3)的规范形为

A.$B.y；—y；C.#+£—4代D.y；+y；一y

【答案】B

222

【解析】/(x1,x2,x3)=(x1+x2)+(X,+X3)-4(X2-X3)

2

2x1-3考-3x；+2xlx2+2xlx3+8x2x3,

211、

二次型的矩阵为A1-34

14-3

7

2-Λ112-210

IA-ΛEI=I-3-24Q+7)1-3-21

14-3-214-1

2-210

=(4+7)21—Λ0=-Λ(Λ+7)(Λ-3)=0,

14-1

4=3,4=—7,4=0,故规范形为弁-货，故选B.

2、2、

10.已知向量组四=2,a=1,β5,若7既可由名,4线性表

2x4J

V

示，又可由回,凡线性表示，则7=()

3，3、

A.k,keRB.k5,k£R

2

1、

C.k1,keRD.kJ,keR

J√

【答案】D

［解析】设T=KaI+k2a2=k3βi+k4β2,则klai+k2a2-k3βl-k4β2=0,对关于

kl,k2,ki,k4的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形,

∩2-2-∏(\003、

A=(al,a2,-βx,-β2)=21-50→010-1

(31-9-IJ0011

ττττ

解得解,k2,k3,k4)=C(-3,l,-l,l)+(3,-l,l,0)=(3-3C,-l+C,l-C,C),故

(I-C、1

γ=⅛l<z∣+k2cx2=(3—3C)a∣+(C—l)α2=5(1—C)=Z∣5∣,ZeH.故选I).

18(1-C)J8

二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.

11.当x→∙0时，/(x)=αx+bχ2+ln(l+x)与g(χ)=e"-COSX是等价无穷小，则

ab-

【答案】-2

【解析】由题意可知，

5mZi‰l+加+m…=Hm"+Ti)

02

ιog(x)…。e'-cos%^l+χ+o(√)-[l-l√+o(√)]

(a+I)X+(b——)x2+O(X2)

=Iim-----------——Z--------------,

-X2+o(x2)

_13

于是α+1=01——=—,即。=-l,b=2Z从而Q力=-2.

22

12.曲线y=的孤长为______.

J—y3

【答案】—+√3

3

【解析】曲线y=「；G^dt的孤长为

J—y/3

J；yjl+y'2dx=Jtλ∕l+3-x2dx=Jt∖j4-x2dx=2『,4-x2dx

x=2sin∕八-,ʌ.Crl9,Crfl+cos2r,

—2∫;2cosZd2smt=jcos疝=sʃθɜ~^~dt

=4(f+gsin2,=与+后

Q2z

13.设函数Z=Zay)由方程e…z=2f确定，则言

(M)

3

［答案】

【解析】将点(1,1)带入原方程，得z=().

方程寸+xz=2x-y两边对X求偏导，得e'—+z+x一=2,

∂x∂x

两边再对X求偏导，得片(*Jz丫+e2¾4z÷2∂^z÷x∣4z=0,将X=Ly=I,z=0代入以

上两式，得当

14.曲线3/=寸+2>3在χ=ι对应点处的法线斜率为

【答案】

【解析】当χ=l时，>=1.

方程城=V+2>3两边对X求导，得9f=(5y4+6y2)y,,将χ=l,y=1代入，得

J⑴=A•于是曲线3/=V+2/在％=1对应点处的法线斜率为--.

117

15.设连续函数/(X)满足/(x+2)-/(X)=X,∫o7(Λ)dA-=O,则。(X)Ck=.

【答案】ɪ

2

【解析】J：f(x)dx=ʃɜ/(ɪ)dʌ--J；/(X)dr=J：/(x)dx-ʃɑ/(x)dr-ʃ'/(ɪ)dr

J：/(x)dΛ-ʃɑ/(xMr=∫θ∕(r+2)d∕-∫θ/(x)cLr=∫θAdr=-

0x1+x3=1,

x+ɑrɔ+X.=0,

16.1-3]有解，其中为常数，若1。1=4,则

x1+2X2+OX3=0,

Cixy+bx2=2

1a1

12。=

abO

【答案】8

QO11

1a1aO1

-↑aIO

【解析】方程组有解，则IAI=ICC=-12α+21a1=O,故

12。O

1a1

12α=8.

abO

三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本题满分10分)

设曲线L：y=y(x)(x>e)经过点(e2,0),L上任一点P(x,y)到y轴的距离等于该点

处的切线在y轴上的截距，

(I)求y(χ);

(H)在L上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积.

【解】(I)曲线L在点P(x,y)处的切线方程为y-y=y,(x)(X-x),令X=0,贝彻线

在y轴上的截距为Y=y-W(x)，则X=y-W(X),即y'-ɪ∙y=-1,解得

X

y(x)=X(C-InX),其中C为任意常数.

又y(e?)=O,则C=2,故y(x)=x(2-InX).

(H)设曲线L在点(x,x(2-Inx))处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程

为

Y-x(2-InX)=(I-InX)(X-x).

令y=0,则X=；令X=0,则y=χ.

Inx-I

11Yrɔ

故切线与两坐标轴所围三角形面积为S(x)=-XY=-∙-——-∙X=———-,

22Inx-I2(InX-I)

贝US'(X)=岂.令S'(x)=(),得驻点X=£.

2(lnx-l)

333

当evx<e?时，S,(x)<0；当天>「时，S,(x)>0,故Sa)在X=J处取得极小值，同

3

时也取最小值，且最小值为S(e2)=ei.

18.(本题满分12分)

Y

求函数/(%,y)=xecos∙v+ɪ-的极值.

【解】由已知条件，有

AX,y)=e"+x,

f；(x,y)=AecoSsiny)

令f；(x，y)=O,4(x，y)=O,解得驻点为，3次乃卜其中攵为奇数；(-e,kπ),其中

k为偶数.

£(x，))=l，f;(x,y)=eca,y(-siny),£(x,y)=xecos,sir?yτe∞s>cosy.

在点1号0J处，其中人为奇数，

A=/；(一号女乃)=1,8=乃)=0,C=/;卜Jlbr]=e-2,

由于AC-B?<(),故[-:,左〃)不是极值点，其中攵为奇数.

在点(-e,kπ)处，其中％为偶数，

A=f:(-e,k^=l,B=fK~e,k4)=0,C=f^-e,k^=e2,

由于AC-笈>0,且A>0,故(-e,版■)为极小值点，其中人为偶数，且极小值为

2

/(-e,⅛æ)=-y.

19.(本题满分12分)

已知平面区域。=(X,y)∣O≤y≤—=,龙≥1∣,

、x√l+x2,

(1)求平面区域。的面积S.

(2)求平面区域D级X一周所形成的旋转体的体积.

【解】⑴

1πI21

S=Isec

tan/seer

π

(Sinf—~i-ʃdeosr

-n1-cosr

4

π

lncosr-12ɪln^lɪ.

4cosr+1π2√2-l

4

「+81

(2)V=U<U=

x2(l+x2)

20.（本题满分12分）

设平面区域。位于第一象限，由曲线/+y2一孙=1,f+y2—孙=2与直线

y=下＞χ,y=（）围成，计算ʃʃ

D

π[2

<jχ-dy^∫⅞4,,--I

l-c<>s^sin0-p^p

陶CoS26+p2sin2Θi

S7V!-cos^sinP

1I2ɪ

呵11一cos&sin。AC

sin2^+3COS2θ二L-p

l-cosθsin0'

π1

=∖n2lɪdθ

2，1Osin26+3COS2。

I-1

=—In2[f3——--------dtanθ

2J。tan2^+3

In2tanΘɪIn2

=­j=arctan

2√3κ二k

21.（本题满分12分）

设函数/（%）在［-α,a］上有二阶连续导数.

(1)证明：若/(O)=O，存在4∈(-α,α),使得/C)=="(α)+/(F)］；

a^

(2)若f(x)在(-«,«)上存在极值，证明：存在ηe(-a,a),使得

IΓ(∕7)l≥AI/(«)-/(-«)I.

2a^

【证明】⑴将/(x)在XO=O处展开为

〃加八。)+，((M*=〃%十等.

其中b介于()与X之间.

分别令X=-4和X=α,则

/(一。)=八0)(一。)+，呼矿,-fl<⅞<0,

/(α)=尸(0)(α)+,0<多<。，

两式相加可得

又函数/(X)在［-α,α］上有二阶连续导数，由介值定理知存在JC［。42］U(-a,α),使得

一焰)；/④)="J,

即/G)=/［f(-α)+∕(α)］∙

⑵设/(X)在X。处取得极值，则八Xo)=0.

将/(x)在小处展开为

n22

V.fWx-X0)f./Wx-X0)

/(x)=/(x0)+ʃ(χ0)(Λ-⅞)+-------------=/(X0)+------------—，

其中5介于.%与X之间.

分别令x=-α和x=α,贝U

、，、,ffβ2

/∕(7lι)(+⅞)

/(-«)=∕(⅞)+~~-~~—,-a<ηt<X0,

/(a)=/"。)+/"1%)'—/)?

,x0<η2<a,

两式相减可得

/⑷_/(_。)=/"(〃2)3-/)2_/"(7)(a+-)之

所以

If(a)_/(_a)I=/“(%)(♦—ZN_/"W-+/1

“(/"(a+。I""(%)∣(a-/I

22

22n

≤ɪ^ʃɪ[