2023年高考第三次模拟考试卷-数学（天津B卷）（解析）

2023年高考数学第三次模拟考试卷

数学・全解全析

一、选择题(本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.)

L设全集U={TO,1,2,3,4,5},集合A={-1,0,1,2},8={T,1,3,5},C={TO,4,5},则(AC施)u(AcUe)=

()

A.{0,l,2}B.{-l,0,1,2}C.{3,4,5}D.{-1}

【答案】A

【分析】按照交集，并集和补集运算法则进行计算.

【详解】46={0,2,4},A⅛,β={0,2},^C={1,2,3},ACaC={1,2},

所以(AC施MACIzC)={0,1,2}

故选：A

2.已知XeR,“x3-2x>0”是“卜+1|>3”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】分别解不等式χ3-2x>0和卜+1]>3,求得它们的解集，看二者的关系，根据其逻辑推理关系，

可得答案.

【详解】解不等式χ3-2x>0,B[Jx(x+Λ∕2)(X-Λ∕2)>0

得xe(-√Σ,O)(√2,+∞)；

解不等式∣x+l∣>3,即χ+l>3或x+l<-3,

解得xe(-∞,Y)(2,+∞),

由于x∈(-V∑,O)(V∑,+∞)推不出xe(-∞,-4)(2,+∞),

xe(-∞,-4)U(2,+∞)也推不出χ∈(-V2,0)∣(>∕2,+∞),

½tt√-2x>0,>⅛t∣^+1|>3”的既不充分也不必要条件,

故选：D

【分析】分析函数.f(x)的定义域、奇偶性、单调性及其在(-8,0)上的函数值符号，结合排除法可得出合适

的选项.

【详解】函数"X)=匕』的定义域为{χ∣χ≠o},

—XX

函数f(x)为奇函数，A选项错误；

又当x<0时，〃x)=忙二ll≤θ,C选项错误；

当x>l时，f(χ)=ET=^=函数单调递增，故B选项错误；

XXX

故选：D.

4.学校组织班级知识竞赛，某班的12名学生的成绩(单位：分)分别是：58、67、73、74、76、82、82、

87、90、92、93、98,则这12名学生成绩的第三四分位数是()

A.88分B.89分C.90分D.91分

【答案】D

【分析】根据一组数据百分位数的定义计算第三四分位数，即75%百分位数.

【详解】12名学生成绩由小到大排列为58、67、73、74、76、82、82、87、90、92、93、98,

12x75%=9,这12名学生成绩的第三四分位数是90生+9产2=91,

故选：D

5.设α=log。/,b=-~,c=O.304,则三者的大小顺序是（）

IUg2U.D

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【分析】先根据符号判断三个数的大小，在符号相同时，根据函数的单调性再判断即可.

【详解】由对数函数的性质可知，<0,0.3ft4>0,

Iog20.3

由对数换底公式得：logo∙42=∙r=7，

Iog20.4

11

由对数函数的性质可知Iog2θ∙3<log2θ∙4<0,□I。。03〉lo。04，

由以上判断得：c>b>a；

故选：A.

6.正三棱锥底面边长为3,侧棱与底面成60。角，则正三棱锥的外接球的体积为（）

C〃16»C32π

A.44B.16τrC.-----D.-----

33

【答案】D

【解析】由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积.

【详解】如图，正三棱锥A-BeD中，M是底面ΔfiCD的中心，则AM是正棱锥的高，NABM是侧棱与底

面所成的角，即NAW=60。，由底面边长为3得=2χ*叵=Q,

32

□ΛM=BΛ∕tan60o=√3×√3=3.

正三棱锥A-BCD外接球球心。必在40上，设球半径为7?,

2

则由BO?=。用2+3加2得代=(3-R)2+(√3),解得R=2,

__4344c3324

□V=-πriRi=—×23=——.

333

故选：D.

A

【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系.掌握正棱锥性质是解题关键.

7.已知抛物线V=8x的准线与双曲线/-1=1（机>0）相交于£）、E两点，且OZWOE（。为原点），则双

曲线的渐近线方程为（）

ʌ,42√3„,√3C√15

A.y=±—XBd.V=±-------XC.y=±XD.y=±------X

3324

【答案】B

【分析】根据对称性求得RE的坐标，从而求得加，进而求得双曲线的渐近线方程.

【详解】抛物线V=8x的准线为x=-2,

由于8LOE,根据双曲线的对称性可知：（不妨设）D（-2,2）,E（-2,-2）,

24442

2

代入T=IGn>0）得4τ=ly-=3,m=^,m=F,

mv7tnm3√3

所以双曲线的渐近线方程为y=±5x=±竿x∙

故选：B

若/传）=4,/仔）=。，则/（x）在［0,2可上的

8,设函数/（力=4Sin（3+0）,其中OVGVLIavπ

单调减区间是（）

当,2兀315

A.0B.C.-π,—πD.[0,π]

⅛888

【答案】C

【分析】根据/（力的对称中心、零点求得进而求得。，结合三角函数单调区间的求法求得正确答案.

【详解】据题意可以得出直线I=在和点［*））分别是的图象的一条对称轴和一个对称中心,

m.9兀3π3π2左一12%—12π（2⅛-l）π

Jyr以------=—=-----1=-------------=-------------，

88444ω2ω

44_2

即G=-ʒ-（⅛eZ）,

所以0=∣;又由/年)=4得sin(gχ∣7t+S)=1,

ππ

即一+*=2kπ+—(ΛeZ),

42

|同<兀，所以夕=彳，所以/(x)=4SinEX+：)；

TT'TTɜjr3]S

由2E+W≤3x+t≤2E+三得/(x)的单调减区间为3kπ+-π,3kπ+^-π(keZ),

2342Lθθ_

「315

所以f(x)在[0,2可上的单调减区间是-π,-π.

|_oo

故选：C

9.已知定义在R上的偶函数/(*)满足f(x+4)=F(X),且当0≤x≤2时，/(x)=min{-x2+2x,2-x),若方

程f(χ)-(2r+Dx=O恰有.两个根,则f的取值范围是()

P_3_2\U]<_32}r1∩

,-u-,B.——u

ʌ'L^23j[32.‹^2,I32)

-321(1Γ

cD.————o---，—

∙(-i-⅛[-¼),2ɜjI32J

【答案】B

【分析】根据题意，得至Uf(X)=:『+2x'O≤j≤l,再由根据函数奇偶性与周期性，将方程/(χ)-(2∕+l)χ=0

2-x,l<x<2

恰有两个根，转化为y=f(χ)与y=(2f+i)χ的图象有2个交点，结合函数图像，即可得出结果.

【详解】当0≤xW2时，-X2+2x>2-x,解得：l<x≤2,

-X2+2x,Q<x≤i

所以f(x)=∙

2-X,1<X≤2

又因为函数是偶函数，关于y轴对称，并且周期τ=4,

若方程“X)-(2f+l)x=O恰有两个根，

即函数y=ʃ(ɪ)与y=⑵+I)X的图象有2个交点，

如图，画出函数y=f(χ)和y=⑵+i)χ的图象，

当O≤x≤l时，f∖x)=-2x+2,/,(0)=2,当直线过点(3,1)时，此时直线的斜率Z=g,由图象可知若函数

I1132

y=∕Q)与y=(2r+l)x的图象有2个交点，只需满足耳<|2/+11<2,解得—或一耳〈，〈―,即r的

取值范围是.,'∣L'l)∙

故选：B.

第II卷

二、填空题：(本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对

的给5分。)

10.i为虚数单位，若片为纯虚数，则实数α的值为_________.

1-2ι

【答案】-4

【分析】根据复数得除法运算化简，再根据纯虚数的定义即可得解.

a-2i(Q-2i)(l+2i)α+4+(2α-2)ia+4^2a-2.

【详解】解:l-2i-(l-2i)(l+2i)^5-^^+5ɪ

因为E为纯虚数,

所以2；一2了解得"4

故答案为：-4.

10

11.二项式-∙^L∙)

I的展开式中常数项为..(用数字作答)

【答案】210

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令X的次数为0,求出，I从而可求出展开式中的常数项.

2O-5r

【详解】

=(-ιy-c∖0-x~

20-5r

令=0得r=4,

6

所以展开式中的常数项为(-D4«；。=210.

故答案为：210

12.直线h√Σx+y+m=0与圆C:f+(y—2)2=5相交于两点4闵4却=2/则m=.

【答案】1或-5/-5或1

【分析】由圆的弦长公式，结合点到直线的距离可得答案.

【详解】设圆心C到直线/的距离为"，则J网〕=√5≡2=√3

VI2,

又圆C(0,2),直线Aλ∕Σx+y+zn=O,.∙.d=∙^id=6,

√2+l

即〃=|2+叫=3,解得加=1或加=-5

故答案为：1或-5

13.若“SeR,ab>0,则荷+∙4+4的最小值为_________.

ab

【答案】8

【分析】444+∕+4=%*;然后利用基本不等式求解即可.

abbaab

【详解】因为">(),

-4a4+⅛4+44aib344aibi4-4I,4

所fiF以rl----------=----1-----1-----≥2------------F—=4ab4----->2J4ab-----=8o,

abbaab↑Nbaababvab

当且仅当它=Q,4^=4≡∣Jα2=-,⅛2=√2时等号成立，

baab2

故答案为：8

14.某校在高一年级一班至六班进行了“社团活动''满意度调查(结果只有“满意”和"不满意''两种)，从被调

查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：

班号一班二班三班四班五班六班

频数451181012

满意人数328566

现从一班和二班调查对象中随机选取4人进行追踪调查，则选中的4人中恰有2人不满意的概率为

;若将以上统计数据中学生持满意态度的频率视为概率，在高一年级全体学生中随机抽取3名

学生，记其中满意的人数为X,则随机变量X的数学期望是

109

【答案】

215

【分析】第一空：利用古典概型的概率公式计算即可;

第二空：X的所有可能取值为0,1,2,3,求出分布列，进而通过数学期望计算公式即可得出.

【详解】解：第一空：从一班和二班调查对象中随机选取4人进行追踪调查，则选中的4人中恰有2人不

.2IO

满意的概率为P=-H

21

第二空：在高一年级全体学生中随机抽取1名学生,

3÷2÷8÷5+6÷63

其满意概率为P=

505

X的所有可能取值为0,1,2,3.

2?8

P(X=O)=

5J125

分布列如下:

X0123

8365427

P

^125125125125

~s36c54c279

E(X)=—+2×——+3×—=-

'71251251255

109

故答案为：ɪɪ；~

【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列马数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档

题.

15.在平面四边形ABCZ)中，AB=BC=ICD=I,NABC=60,ZAE)C=90,若赢=£>=n=笈，则

2AE∙DC+AE.AF=；若尸为边BC上一动点，当以.质7取最小值时，则CoS/PDC的值为.

.135∖∣7

【答案】——

214

【分析】根据题意可知是等边三角形，AADC是有一个内角为60。的直角三角形，又知道它们的边长，所

以可以建立坐标系，将问题坐标化后进行计算求解.

【详解】解：□平面四边形ABa)中，AB=BC=2CD=2,ZABC=60,ZADC=90,

□-AfiC是边长为2的等边三角，

在RtADC中，AC=2,CD=1,所以/AC,Γ)--60>

又NE=F=FG=4c，

□E,EG是BC边的四等分点.

如图建立坐标系：则:Λ(0,√3),B(-l,0),C(l,0),

再设P(χO),贝∣J-l≤x≤l,

1

PA-PC—,

4

显然X=；时，己.正最小，此时p(g,o

故答案为：F,蛀.

214

三、解答题(本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

16.在AABC中,角A在C的对边分别为a,Cc,已知3(SinA-SinC)2=SsiMB-ZsinAsinC

(1)求CoSB的值;

(2)若5a=3b,

(i)求tan4的值:

TT

(ii)求sin(2A+^)的值.

6

【答案】⑴I；(2)(i)ɪ;(ii)量+3.

【分析】(1)化简原式，直接利用余弦定理求CoSB的值即可：

(2)(i)由(1)可得sin8=亚，再利用正弦定理求SinA的值；

3

(ii)由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式可得结果.

【详解】在ABC中，由正弦定理V=名=，

可得：3(a-c)l=3b2-2ac,整理得之土土心1=2,

2ac3

?

由余弦定理，可得CoSB=§；

(2)(i)由(1)可得SinB=好，又由正弦定理三=工，

3sinAsinB

及已知54=3h,可得SinA=^^=3χ好=好，

b535

由已知5α=3i>,可得故有A<8,

.∙.A为锐角，可得CoSA=口叵，.∙∙tanA=2;

52

34

(ii)由(i)可得CoS2A=1-Zsin?A=w,sin2Λ=2sinAcosA=—,

•/公4万、∙ωλ冗Æ4ʌ/ɜ314∕3+3

/.sin2A+—=sin2Acos—÷cos2Asin—=—×——+-×-=--λ--------.

I6)66525210

17.如图，PAn平面ABCD,四边形ABCD是矩形，AB=I,AO=6，点F为PB中点，点E在边BC

上移动.

（□）求证：PD□平面AFC；

（□）若上4=1,求证：AFLPC-,

（□）若二面角尸-3C-A的大小为60。，则CE为何值时，三棱锥F-ACE的体积为

O

【答案】（□）见解析：（□）见解析；（□）CE=".

3

【分析】（口）连接AC,83,设ACCB£>=0,底面是矩形,可知。是Q的中点,利用中位线的性质、直线与平面

平行的判定定理，可证出PDU平面AFC；

（［：）由Λ4=l,AB=I,点F为PB中点，可知由PA匚平面ABa）,可得5C1Λ4,由四边形ABCD

是矩形,可知BCj_Afi,这样可以得到BC1平面8Λ4,因此可证出BC_L■,这样可以证出AF_L平面PBC,这

样就可以证明出Af'■LPC；

（口）建立空间直角坐标系,通过若二面角P-BC-A的大小为60。,可以求出P点的坐标,由三棱锥尸-ACE的

体积为5,可以求出CE的长.

O

【详解】（□）连接4C,BO,设ACC*O,如下图所示：

四边形ABCD是矩形,所以。是80的中点,F为PB中点,所以有POOF,

而OFU平面AFC,POa平面AFC,由直线与平面平行的判定定理可知:PD］平面AFC；

（口）由R4=l,AB=∖,所以ΔE4B是等腰三角形,点F为PB中点，所以有AFLPB,因为PA□平面A8CD,

而8Cu平面A6C。,于是有BC-LPA,

因为四边形ABCD是矩形,所以BCJ_AB,又.ABCp4=AA8,PAu平面/¾β,.∙.BCI平面8Λ4,AFu平面

BPA,所以BC，AF,!ft'BCCPB=B,BC,PBUPBC,

所以AFL平面P8C,而PCU平面PBC,所以AFlPC;

（）建立如上图所示的空间直角坐标系，

设P(O,O,r)α>0),B(l,0,0),C(l,√3,0),A(O,O,O),,

设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),BC=(0,√3,0),PB=(1,0,T)则有

ffU="3V=0="=（∕,°,1）,而PA口平面ABCQ,所以AP=（0,0J）是平面ABCD的法向量，所以有

mPB=O[x-zt=O

w∙AP=∣∕M∣∙∣AP∣∙cos600=>r=√zr+I√∙^=>z=√3,

AF=设CE=6-X,VF-ABE=VF-ABC-VF-ACE，

三棱锥尸―ACE的体积为!，L.@LX=解得x=®,.∙.CE=逼,

6322322633

所以当CE=2g时，三棱锥F-ACE的体积为

36

【点睛】本题考查了直线与平面的平行的判定定理的应用、利用线面垂直证明线线垂直.考查了二面角的计

算、棱锥的体积计算，考查了运算能力.

X2y2

18.已知椭圆=l（a>⅛>0）的右焦点为尸（2,0）,且过点（2石,√J）∙

（1）求椭圆的标准方程:

（2）设直线/：y=奴（%>0）与桶圆在第一象限的交点为M,另一个交点为G,过点尸且斜率为-1的直线与

/交于点N,学L=:，求4的值.

X2J39

【答案】⑴⅛+⅛-=l;（2）或A=N

1612226

cr—b~—4

【分析】（1）由题意可得123,可得/、〃的值，可得答案；

-7+-7=l

y2

（2）设点M的坐标为（西,无），点N的坐标为（4，人），由题意可得可得"=三，联立直线1与椭圆及直线

y↑ɔ

1与NF,可得k的值.

a2-b2=4

【详解】解：（1）由题意得：一12+”3，解得：/=16,/=12（负值舍去），

22

所以椭圆的标准方程为：—r+2v-=l;

1612

（2）设点M的坐标为（毛,匕），点N的坐标为（々，/），由题意可得X>%>0,

由沁=?，可得沁=：,沁=今即:

^MNFɔ,zMNFJJA柘Mɔ

y=kx4限

可得Y/消去X,可得％=∣"

b+⅛=1百百

易得NF的解析式为：x+y-2=0,

y=辰、&+-χ2k

由x+y-2=。'消去X，可r得θ以=有

可得-津4言,整理得：52/—96^+27=0,

*+32k+1

解得：U3或％=9∙⅛

2ZO

【点睛】本题主要考查椭圆的性质及直线与椭圆的关系，综合性大，由已知得出三=W是解题的关键.

>1ɔ

19.已知数列{4,,},{bn},5,为数列{4}的前，项和，a2=4⅛l,Sn=2all-2

ni>n+l-(rt+l)⅛=/+“(〃eN)

(1)求数列｛4｝的通项公式;

｛3｝为等差数列.

(2)证明

-也,〃为奇数

,2，令为优｝的前〃项的和，求

(3)若数列｛%｝的通项公式为G=<B=C2"T+C2,,.7;7”.

也,〃为偶数

4

■田士▼/八5八、/八712〃一7仆

【答案】(1)%=2；(2)见解析；(3)—÷---------4

S=2a-2

nπ

【详解】试题分析：(1)根据题意得到qɔ0两式作差得到4=2%τ,根据等比数列的公式得到

Sti7=2%-2

4=2"；(2)由题意得到4-缰=1,可得

是公差为1,首项为1的等差数列.(3)由

H+1n

H

P,,=c2,,-l+C2,,=(4H-1)∙4-',由错位相减得到数列之和.

解析:

S=2a-2

(1)当”>1时,cɔɔ=q=2。“-261=≠>an=2an_,

当”=1时，5l=2al-2=>q=2,

综上，｛%｝是公比为2,首项为2的等比数列，%=2”.

(2).凡=4b∣,Λ⅛=1,nb-(n+i]b=n2+n,-——=1

n+lfj/?+1n

综上，｛勺｝是公差为1,首项为1的等差数列.

(3)由(2)知：^=l+∕z-l=»=/

n

p

--,,=c2n-i+c2n

_(2"l)eJ2〃)3=(4.7)∙22f(4"f∙4"T

24

02nl

Tn=3×4+7×4'+ll×4+∙∙∙+(4w-l)∙4^

47；,=3×4I+7×42+11×4-,+∙∙∙÷(4∕J-5)4,,^'+(4Λ-1)∙4"

两式相减得：

-37；,=-3×40+4×4'+4×42+…+4∙4"∣-(4〃一1)4”

4(1-4"-')T7∖2n-7,

.∙.-37>3+4x\_41-(4〃-1)4"，ʌ=ξ+~4λi•

点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知S“和

。”的关系，求明表达式，一般是写出Se做差得通项，但是这种方法需要检验n=l时通项公式是否适用；

数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.

20.已知函数/(x)=InX+dχ2+(α+2)x,α∈R.

(1)当。=-2时，讨论/(x)的单调性；

(2)当α<0时，若关于X的不等式“》)钎*+分-1恒成立，求实数6的取值范围；

一〃In2.

【答案】⑴/(x)在(()，；)上单调递增，在6，+8)上单调递减

(2)[-l,-w>)

(3)证明见解析

【分析】(1)将。=-2代入f(x),对其求导，利用导数与函数的单调性的关系即可得解；

(2)先利用导数求得了(x)的最大值，再将问题转化为/(x)nιa*≤q+匕T，从而得到人≥ln(-j+/构

造函数g⑺=InrTa>0),求得gG)心即可得解：

、2

(3)结合(2)中结论取特殊值得到InX42f-l恒成立，进而得至∣Jln("-l)-ln"≤ln2--,利用累加法即

可得证，注意“=1的验证.

【详解】(1)当。=一2时，/(x)=lnx-2x2,X∈(O,M),则/(司=L-4X=≥^.