03选填题之函数与方程、不等式（解析版）

☆注：请用MicrosoftWord2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.高中数学二轮复习讲义——选填题部分第3讲函数与方程、不等式高考对函数应用的考查主要是函数零点个数的判断、零点所在的区间．近几年全国卷考查函数模型及其应用较少，但也要引起重视.题型一、零点个数问题1．已知函数f（x）=2x-x2，x≥01-ln(x+6)，A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：函数f（x）=2x≥02x-x2=0，解得x＝2，x＝函数的零点个数为3个．故选：C．2．已知偶函数y＝f（x），x∈R满足：f（x）＝x2﹣3x（x≥0），若函数g（x）=log2x，x＞0-1xA．1 B．3 C．2 D．4【解答】解：y＝f（x）﹣g（x）的零点个数即函数y＝f（x）与函数g（x）=lo作函数y＝f（x）与函数g（x）=lo有3个交点，故选：B．3．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈（﹣1，1]时，f（x）＝x2，g（x）=log3(x-1)，x＞12x，x≤1，那么函数h（x）＝f（A．9 B．8 C．7 D．6【解答】解：∵f（x+2）＝f（x），∴f（x）是周期为2的函数，作出f（x）与g（x）的函数图象如图所示：由图象可知两函数在[﹣5，5]上有8个交点，∴h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]上有8个零点．故选：B．4．已知函数f（x）＝|lnx|，g（x）=0，0＜x≤1|x2-4|-2，x＞1，则方程|A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：当0＜x≤1时，f（x）＝﹣lnx，g（x）＝0，∴|f（x）+g（x）|＝|﹣lnx|＝1有一实根；当x＞1时，f（x）＝lnx，g（x）＝|x2﹣4|﹣2，∴|f（x）+g（x）|＝|lnx+g（x）|＝1，∴|x2﹣4|＝1﹣lnx或|x2﹣4|＝3﹣lnx，分别画出函数的图象如图，由图可知共有2个交点，故实根的个数为3个，故选：B．5．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+1）＝﹣f（x），且当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝|x|，函数g（x）=sin(πx)，x≥0-1x，x＜0，则函数h（x）＝f（x）﹣A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：由f（x+1）＝﹣f（x），得f（x+2）＝﹣f（x+1）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），∴f（x）是以2为周期的周期函数，又当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝|x|，∴作出函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象如图：由图可知，函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]上的零点的个数为10个．故选：C．题型二、已知零点个数求参1．已知关于x的方程2•（14）﹣x﹣（12）﹣x+a＝0在区间[﹣1，0]上有实数根，则实数A．[0，18] B．[﹣1，0]∪（0，18] C．[﹣1，0] D．[﹣1，【解答】解：分类参数可得：a＝﹣2×（2x）2+2x（x∈[﹣1，0]）令2x＝t（t∈[12，1]，a＝﹣2t2+t＝﹣2（t-14∴函数在[12，1]∴a∈[﹣1，0]故选：C．2．已知函数f（x）＝2x+x3﹣8的零点x0∈（m﹣1，m），则整数m的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：函数f（x）＝2x+x3﹣8，因为f（1）＝2+1﹣8＝﹣5＜0，f（2）＝4+8﹣8＝4＞0，又函数f（x）在R上为单调递增函数，所以存在唯一的零点x0∈（1，2），又零点x0∈（m﹣1，m），所以m＝2．故选：D．3．设f（x）＝|lnx|，若函数g（x）＝f（x）﹣ax在区间（0，e2）上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．(0，1e) B．(1e2，【解答】解：∵函数g（x）＝f（x）﹣ax在区间（0，e2）上有三个零点，∴y＝f（x）与y＝ax在区间（0，e2）上有三个交点；由函数y＝f（x）与y＝ax的图象可知，k1=2-0f（x）＝lnx，（x＞1），f′（x）=1设切点坐标为（t，lnt），则lnt-0t-0=1t，解得：∴k2=1e．则直线y＝ax的斜率a∈（2e故选：D．4．已知函数f（x）=x2-2A．（-178，﹣2） B．（-178，﹣2] C．[1，1716） D【解答】解：当x＞0时，f（x）＝x2﹣2关于原点对称的图象对应的函数解析式为y＝﹣x2+2（x＜0），由题意可得方程2﹣x2＝﹣3|x+a|+a在x＜0时有三个不等的实根．若a≤0时，方程即为x2+3x+4a﹣2＝0最多有2个不等实根，故不成立；当a＞0时，若x≥﹣a时，方程即为x2﹣3x﹣2a﹣2＝0，解得x=3±17+8a2，舍去正的，可得若x＜﹣a，方程即为x2+3x+4a﹣2＝0，由题意可得判别式大于0，即为9﹣4（4a﹣2）＞0，解得a＜1716．解得x由3-17+8a2≥-a，-3-17-16a2可得a≥1且0＜a＜＜1716且1＜a即有a的范围是（1，1716故选：D．5．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）＝|x2﹣2x+12|．若函数y＝f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数A．[0，12） B．（0，1） C．（0，12） D．（0【解答】解：由y＝f（x）﹣a＝0得f（x）＝a，作出函数f（x）在[﹣3，4]上的图象如图：∵f（0）＝f（1）＝f（2）=1∴当a=12时，方程f（x）=12在[﹣3，当a＝0时，方程f（x）＝0在[﹣3，4]上有5个根，则要使函数y＝f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点，即方程f（x）＝a在区间[﹣3，4]上有10个根，则0＜a＜1故选：C．6．已知定义在R上的函数f（x）=x2+2，x∈[0，1)2-x2，x∈[-1，0)，且f（x+2）＝f（A．{13，1} B．{13，-13} C．{﹣1，1} 【解答】解：作函数f（x）=x2+2，x∈[0，1)2-直线g（x）＝kx+2恒过点（0，2），若直线y＝kx+2与f（x）的图象有2个交点，结合图象可知，k＝1，或﹣1，故选：C．7．设a∈R，函数f(x)=f(x+3)，x＜ax2-(2a+1)x+a2+3，x≥aA．（114，3）⋃（9-6，9） B．（114，3）∪（6，9C．（3，134）⋃（9-6，9） D．（3，134）⋃（6，【解答】解：由题意y＝f（x）在[a，+∞）上有零点，而y＝x2﹣（2a+1）x+a2+3的对称轴为x＝a+12∴Δ＝（2a+1）2﹣4（a2+3）＞0，解得a＞114，注意到f（a）＝3﹣①当3﹣a＞0时，即114＜a＜3时，f（x此时（a﹣3，a）⊇（0，a），且f（x）在（a﹣3，a）上有两个零点，又∵a+12-3=a-52＞0，f（0）＝f（3）＝9﹣3（2a+1）+a2+3＝a2﹣6a+9＝（a﹣∴f（x）在（0，a）上有两个零点，∴当114＜a＜3时，f（x）在区间（0②当3﹣a＜0时，即a＞3时，f（x）在[a，+∞）内有一个零点x0，要使f（x）在区间（0，+∞）内恰有4个零点，则x0必在区间（a，a+3）上，从而f（a+3）＝（a+3）2﹣（2a+1）（a+3）+a2+3＞0，解得a＜9，又区间（0，a）的长度大于6，得a＞6，此时0∈（a﹣9，a﹣6），即6＜a＜9，此时f（x）在[a﹣6，a﹣3），[a﹣3，a），[a，+∞）上各有一个零点，∴当f（0）＜0时，f（x）在区间（0，+∞）内恰有4个零点，∴f（0）＝f（9）＝81﹣9（2a+1）+a2+3＝a2﹣18a+75＜0，解得9-6∴当9-6＜a＜9时，f（x）在区间（0，+∞）内恰有③当3﹣a＝0，即a＝3时，易知f（x）在区间（0，+∞）内仅有两个零点，不符合题意，综上所述，a的取值范围是（114，3）∪（9-6，故选：A．题型三、等高线问题1．设函数f（x）＝|2x+1﹣1|，若互不相等的实数a，b满足f（a）＝f（b），则a+b的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣2，+∞）【解答】解：由题意可知，函数f（x）＝|2x+1﹣1|在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减，在区间（﹣1，+∞）上单调递增，因为互不相等的实数a，b满足f（a）＝f（b），所以a＜﹣1＜b，则1﹣2a+1＝2b+1﹣1，故2＝2a+1+2b+1≥22a+1⋅2b+1=22a+b+2解得a+b≤﹣2，因为实数a，b不相等，所以等号不成立，故a+b＜﹣2，所以a+b的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：A．2．已知函数f（x）=|log2x|，0＜x＜213x2-83x+5，x≥2，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）＝f（b）＝A．（8，24） B．（10，18） C．（12，18） D．（12，15）【解答】解：函数f（x）=|lo由图可得：ab＝1，c+d＝8，c∈（2，3）∴abcd＝c（8﹣c）＝﹣c2+8c＝﹣（c﹣4）2+16∈（12，15），故选：D．3．已知函数f（x）=xex，x≤02-|x-1|，x＞0若函数g（x）＝f（x）﹣m有两个零点x1A．2 B．2或2+1e C．2或3 D．2或3或【解答】解：当x≤0时，f（x）＝xex，f′（x）＝（x+1）ex，当x＜﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上为减函数，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上为增函数，∴当x≤0时，f（x）的最小值为f（﹣1）=-又在R上，f（x）的图象如图所示：∵g（x）有两个不同的零点，∴方程f（x）＝m有两个不同的解即直线y＝m与y＝f（x）有两个不同交点．且交点的横坐标分别为x1，x2，故1＜m＜2或m＝0或m=-若1＜m＜2，则x1+x2＝2．若m＝0，则x1+x2＝3．若m=-1e，则x1+x2＝﹣1+3+综上，x1+x2＝2或3或2+1故选：D．4．在R上的函数f（x）满足f（x）=x2，x∈[0，1)x，x∈[-1，0)，且f（x+2）＝f（x），g（x）=1x-2，则方程fA．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：∵f（x+2）＝f（x），∴函数f（x）是周期为2的周期函数，∵g（x）=1x-2，∴g（x）关于直线x＝分别作出函数f（x），g（x）在[﹣1，5]上的图象，由图象可知两个函数的交点个数为6个，设6个交点的横坐标从小到大为x1，x2，x3，x4，且这4个交点接近点（2，0）对称，则12（x1+x4）＝2，x1+x4＝4所以x1+x2+x3+x4＝2（x1+x6）＝2×4＝8，由图象可知，x1+x4≈4，x2＝x3＝1，∴x1+x2+x3+x4≈6，∴所有根之和约为6故选：B．题型四、唯一零点问题1．已知函数f（x）＝3e|x﹣1|﹣a（2x﹣1+21﹣x）﹣a2有唯一零点，则负实数a＝（）A．-13 B．-12 C．﹣3【解答】解：函数f（x）＝3e|x﹣1|﹣a（2x﹣1+21﹣x）﹣a2有唯一零点，设x﹣1＝t，则函数f（t）＝3e|t|﹣a（2t+2﹣t）﹣a2有唯一零点，则3e|t|﹣a（2t+2﹣t）＝a2，设g（t）＝3e|t|﹣a（2t+2﹣t），∵g（﹣t）＝3e|t|﹣a（2t+2﹣t）＝g（t），∴g（t）为偶函数，∵函数f（t）有唯一零点，∴y＝g（t）与y＝a2有唯一的交点，∴此交点的横坐标为0，∴3﹣2a＝a2，解得a＝﹣3或a＝1（舍去），故选：C．2．已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）+cos（x﹣1）﹣1有唯一零点，则a＝（）A．1 B．-13 C．13 【解答】解：令t＝x﹣1，则x＝t+1，则函数f（x）＝x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）+cos（x﹣1）﹣1可化为：g（t）＝t2+a（et+e﹣t）+cost﹣2，显然g（﹣t）＝g（t）．该函数g（t）为偶函数，且由题意知g（t）有唯一零点，所以g（0）＝0，即2a﹣1＝0，解得a=1故选：D．3．已知函数g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且g（x）+h（x）＝ex+x，若函数f（x）＝2|x﹣1|+λg（x﹣1）﹣6λ2有唯一零点，则正实数λ的值为（）A．12 B．13 C．2 D【解答】解：根据题意，g（x）+h（x）＝ex+x，①则g（﹣x）+h（﹣x）＝e﹣x﹣x，而函数g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，则g（﹣x）+h（﹣x）＝g（x）﹣f（x）＝e﹣x﹣x，②，①+②可得：g（x）=12（ex+e﹣当x＞0时，g′（x）=12（ex﹣e﹣x）＞0，则g（x）在（0，g（x）为偶函数，其图像关于直线x＝1对称，则g（x﹣1）的图像关于直线x＝1对称，在区间（1，+∞）上为增函数，对于f（x）＝2|x﹣1|+λg（x﹣1）﹣6λ2，其图像必定关于直线x＝1对称，当x＞1时，f（x）＝2x﹣1+λg（x﹣1）﹣6λ2，且λ＞0，则f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，若函数f（x）＝2|x﹣1|+λg（x﹣1）﹣6λ2有唯一零点，则有f（1）＝20+λg（0）﹣6λ2＝1+λ（1+12）﹣6λ2＝1+λ﹣6λ2＝0解可得：λ=12或故选：A．题型五、复合函数零点问题1．设定义域为R的函数，若关于x的函数f（x）=|lgx|，x＞0-x2-2x，x≤0，若关于x的函数y＝2f2（x）+2bf（x）+1【解答】解：令t＝f（x），则原函数等价为y＝2t2+2bt+1．做出函数f（x）的图象如图，图象可知当由0＜t＜1时，函数t＝f（x）有四个交点．要使关于x的函数y＝2f2（x）+2bf（x）+1有8个不同的零点，则函数y＝2t2+2bt+1有两个根t1，t2，且0＜t1＜1，0＜t2＜1．令g（t）＝2t2+2bt+1，则由根的分布可得△=4解得b＞2或故实数b的取值范围是-32＜故答案为：-322．已知函数f（x）=|x+1x|，x≠00，x=0则关于x的方程f2（x）+bf（A．b＜﹣2且c＞0 B．b＞﹣2且c＜0 C．b＜﹣2且c＝0 D．b≥﹣2且c＝0【解答】解：∵方程f2（x）+af（x）+b＝0有且只有5个不同实数解，∴对应于f（x）等于某个常数有4个不同实数解，由题意作出f（x）的简图：由图可知，只有当f（x）＝0时，它有一个根．且f（x）＝﹣b时有四个根，由图可知﹣b＞2，∴b＜﹣2．故所求充要条件为：b＜﹣2且c＝0，故选：C．3．已知函数f（x）=a⋅ex，x≤0-lnx，x＞0，（a＞0，其中e为自然对数的底数），若关于x的方程A．（1，+∞） B．（1，2） C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=a⋅ex，x≤0-lnx，∴图象如下：根据函数的图象可判断f（x）的零点为：1．f（1）＝0∵关于x的方程f（f（x））＝0，有且只有一个实数解，∴f（x）＝1，有且只有一个实数解，∵关于x的方程f（f（x））＝0，有且只有一个实数解，∴f（x）＝1，这时候要分段讨论∵x＞0时﹣lnx＝1，这时关于x的方程f（f（x））＝0有且只有一个实数解．当x≤0时，a•ex＝1无解（根据图象）∴即ex=1a在x≤0时无解．根据图象即1a＜0或1a＞1．，题中（∴a∈（0，1）．故选：C．4．已知函数f（x）=ex-2(x≤0)lnx(x＞0)，则下列关于函数y＝f[f（kx）A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有4个零点 B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有3个零点 C．无论k为何值，均有3个零点 D．无论k为何值，均有4个零点【解答】解：令f[f（kx）+1]+1＝0得，f(kx)+1≤0e解得，f（kx）+1＝0或f（kx）+1=1由f（kx）+1＝0得，kx≤0e即x＝0或kx=1由f（kx）+1=1kx≤0e即ekx＝1+1e，（无解）或kx综上所述，x＝0或kx=1e或kx故无论k为何值，均有3个解；故选：C．题型六、函数与不等式问题1．已知不等式9x2﹣logax＜0，当x∈(0，13)时恒成立，则实数a的取值范围是【解答】解：不等式9x2﹣logax＜0，当x∈(0，13)时恒成立⇔logax＞∴[logax]min＞[9x2]max，又0＜a＜1，∴y＝logax在区间（0，13）上单调递减，又y＝9x2在区间（0，1∴loga13≥9×∴13≤a＜故答案为：[13，12．设函数f(x)=2x+1，x≤04x，x＞0，则满足f（x）+f（x﹣1【解答】解：∵函数f(x)=2x+1满足f（x）+f（x﹣1）≥2，当x≤0时，x﹣1≤﹣1，f（x）+f（x﹣1）＝2x+1+2（x﹣1）+1＝4x≥2，解得x≥1当x＞0x-1≤0，即0＜xf（x）+f（x﹣1）＝4x+2（x﹣1）+1＝4x+2x﹣1≥2，解得12当x﹣1＞0时，f（x）+f（x﹣1）＝4x+4x﹣1≥2，解得x＞1．综上，x的取值范围是[12故答案为：[13．已知函数f（x）=2x-1，x≤0-x2-3x，x＞0，若不等式A．[3﹣22，3+22] B．[0，3﹣22] C．（3﹣22，3+22） D．[0，3+22]【解答】解：作出函数|f（x）|=1-直线g（x）＝mx﹣2过定点（0，﹣2），由图象知当m＞0时，|f（x）|≥mx﹣2不恒成立，不满足条件．当m＝0时，|f（x）|≥mx﹣2恒成立，满足条件，当m＞0时，要使|f（x）|≥mx﹣2恒成立，则只要想x＞0时，|f（x）|≥mx﹣2，即x2+3x≥mx﹣2即可，得x2+3x+2≥mx，得x+2x+3当x＞0时，x+2x+3≥3+2x即m≤3+22，∵m＞0，∴0＜m≤3+22，综上0≤m≤3+22，即实数m的取值范围是[0，3+22]，故选：D．4．已知函数f（x）=x2-x，x≤0ln(x+1)，x＞0，若存在x0∈R使得f（A．（0，+∞） B．[﹣3，0] C．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣3]∪（0，+∞）【解答】解：根据题意，函数f（x）=x直线y＝ax﹣1恒过定点（0，﹣1），若存在x0∈R使得f（x0）≤ax0﹣1，则函数f（x）的图象在直线y＝ax﹣1下方有图象或有交点，则直线y＝ax﹣1与函数f（x）的图象必定有交点，分析可得：当a＞0时，直线y＝ax﹣1经过第一三四象限，与函数f（x）的图象必有交点，符合题意，当a＜0时，直线y＝ax﹣1经过第二三四象限，若直线y＝ax﹣1与f（x）的有交点，必然相交于第二象限，则有y=x2-xy=ax-1，即ax﹣1＝x2﹣x，变形可得x2﹣（a+1）x令Δ＝0，解可得a＝﹣3或1（舍），则有a≤﹣3，综合可得：a的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪（0，+∞）；故选：D．5．已知函数f（x）＝|（12）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2A．﹣1＜x1＜0 B．0＜x2＜2 C．（12）x1+（12）x2=2 D【解答】解：函数f（x）＝|（12）x﹣1|﹣b有两个零点，即b=|(问题即转化为y＝b与g（x）=|(1做出函数g（x）的图象如右：其函数解析式为：g(x)=1-(由题意两交点横坐标分别为x1，x2（x1＞x2），①若有两个交点，则0＜b＜1，D对；②当x＜0时，令g（x）＝1，得x＝﹣1，故﹣1＜x1＜0，A对；③易知1-(12)④由③得(12)x2=2-(12故选：ACD．一、单选题1．函数f(x)=x2-4xA．

B．

C．

D．

【答案】A【详解】令fx>0，得x>4或令fx<0，得故排除CD，又当x→+∞时，f(x)=x故选：A.2．已知定义在R上的函数fx=13x，记a=f0.30.3，b=flnlog43A．b<a<c B．a<c<bC．c<a<b D．c<b<a【答案】C【详解】∵0<0.3又0<log43<1而30.2>1，且函数fx=13x在故选：C.3．已知定义在R上的奇函数fx，对任意的x∈R，都有fx-1=-fx+1，当x∈2,4时，A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【详解】因为fx-1所以fx所以fx是周期为4所以f-2019又因为fx是R上的奇函数，所以f因为f3所以f-3=-f3故选：A．4．已知函数y=fx是定义在R上的偶函数，对任意x1,x2∈0,+∞，且x1≠xA．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．a<c<b【答案】A【详解】因为0<log153<所以0<logcos1150.1又因为函数y=fx是定义在R所以b=fcos又因为对任意x1,x2∈所以函数y=fx在0,+又由上可知，0<log所以a<b<c.故选：A5．已知函数fx=x2023x，若方程x+sinxfx-ax2=0A．0,+∞ B．2023,+∞ C．-∞【答案】A【详解】由函数fx=x则方程x+sinxf当x≠0时，可得a=x+令gx=x+可得gx=-x+所以直线y=a与gx的图象有两个交点且关于y设方程的三个根x1,x2,x3则sinx2-2023故选：A.6．定义在R上的偶函数fx满足：对任意x1，x2∈0,+∞，有x2A．-4,13 BC．-4,13∪【答案】D【详解】不妨设x2由x2所以该函数是[0,+∞f(x)>0⇒f(x)>(4)⇒f(x)>(4)⇒|x|>4⇒x>4或f(x)<0⇒f(x)<(4)⇒f(x则3x-1fx<0⇒由3x-1>0f由3x-1<0f综上所述：不等式(3x-1)f(x)<0的解集是-∞故选：D7．已知a=13e，b=log3A．b<c<a B．a<c<bC．c<a<b D．c<b<a【答案】D【详解】因为1.1>π3，而y=cos故cos1.1<又y=sinx在故c=sin令fx=x-sinx，则故fx=x-sinx在故f12>0故c=sin又a=13e则g'x=ex-1，当故g-13因为23<32，所以因为y=log3x故log3又log32>log故c<b<a故选：D8．已知函数fx=-a-x2-1x2,x<0log3x-2,x>0，若方程fx=a有A．2,6 B．-∞,-6 C．【答案】D【详解】当x<0时，fx=-a-x令f'x>0，即1-所以fx在-∞,-1上单调递增，在-1,0当x>0时，fx=log若方程fx=a有4个不同实根，则-2<a<-a-2，解得-2<a<-1当x<0时，易知x1，x2是方程即方程x4+2ax2+1=0所以x1x2因为-2<a<-1，所以-6当x>0时，因为x3，x4是log3易知0<x3<1<x4所以x1+x2x故选：D．9．今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度cBqL与时间t（年）近似满足关系式c=k⋅at(k,a为大于0的常数且a≠1).若c=16时，t=10；若c=112时，t=20.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度A．43年 B．53年 C．73年 D．120年【答案】B【详解】由题意得:16=k⋅a所以c=1当c=1120时，得1120两边取对数得t10所以t=5.32×10=53.2，即这种有机体体液内该放射性元素浓度c为1120时，大约需要53年故选：B.10．已知定义在R上的函数fx满足对任意实数x有fx+2=fx+1-fx，若y=f2x的图象关于直线x=A．2 B．1 C．-1 D．-2【答案】C【详解】因为fx+2=fx+1从而可得fx+3=-fx，所以fx+6=f因为y=f2x的图象关于直线x=所以f1-2x=f1+2x，即函数f又f1=2，所以f2=f0所以f1+f2+⋅⋅⋅+f6=0．由于所以k=123f(k)=f(1)+故选：C．11．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x-1)为奇函数，f(x-2)为偶函数．若f(2)=2，则f(2024)=（

）A．-2 B．0 C．2 D．2024【答案】A【分析】根据函数的奇偶性以及对称性即可得函数周期性，进而可求解.【详解】由f(x-1)为奇函数，f(x-2)为偶函数，可知函数f(x)的图像关于点(-1,0)中心对称，且关于直线x=-2轴对称，故fx所以函数f(x)是周期为4的函数，由f(-1)=0．f(2)=2得f(0)=-f(-2)=-f(2)=-2，所以f(2024)=f(506×4+0)=f(0)=-2．故选：A12．已知函数fx=lnx2+1+x+2xA．fxB．fxC．fD．g【答案】D【详解】易知函数fx,gx的定义域均为R．当x≥0时，易知函数fx又f-x+fx=易知f0=0，所以函数fx因为gx是定义在R上的偶函数，且在-∞,0上单调递增，所以g选项A：因为f-x⋅g-x=-f选项B：因为f-x⋅g-x=f选项C：因为g2023>g2024，所以f选项D：因为0=f0<f2023<f2024故选：D.13．已知函数f(x)=2x+log2A．a>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．b>c>a【答案】D【详解】令g(x)=12x-log2x=0令f(x)=2x+log2x=0，可得即0<a<1；令h(x)=x3+log2x=0，可得即0<c<1，作y=2

由图象可知，a<c，所以a<c<b.故选：D14．已知函数gx=ax-12x+1-lnA．-∞,4 B．-∞,163【答案】B【详解】由gx=a因为函数gx在1,+∞上单调递减，所以g'x设φx=-8x2+利用二次函数的图象与性质及数形结合思想，可得-6a-82×-8≤1解得a≤163，所以实数a故选：B．15．已知定义在R上的函数fx满足∀x,y∈R，f2xy-1=fx⋅fy+fA．1,+∞ B．-1,+∞ C．-∞【答案】A【详解】令x=y=0，得f(-1)=f(0)⋅f(0)+f(0)-3=-3.令y=0，得f(-1)=f(x)f(0)+f(0)+2x-3，解得f(x)=2x-1，则不等式f(x)>3-2x转化为因为y=2x+2x-4所以不等式f(x)>3-2x的解集为故选：A二、多选题16．已知函数fx=logA．fx在区间-∞,0上单调递增 BC．fx的最小值为1 D．方程f【答案】BC【详解】因为fx所以f-x=log22当x<0时，0<2x<1则g'x=2x+12所以fx在区间-∞,0由偶函数对称性可知，fx在区间0,+所以f(x)min=f令gx=fx由零点存在性定理可知方程fx=2x有解，D故选：BC.17．设函数y=fx的定义域为R，其图象关于直线x=-2对称，且fx+2=fx-2.当x∈0,2A．fx为偶函数 B．C．fx的图象关于直线x=2对称 D．fx在区间【答案】AC【详解】因为函数y=fx的定义域为R，且f所以fx+4所以函数fx是以4又因函数fx的图象关于直线x=-2所以f-2+x=f-2-x又fx+2=fx-2所以fx所以fx为偶函数，故A当x∈0,2时，ff2023=f-1+4×506因为fx为偶函数且fx的图象关于直线所以fx的图象关于直线x=2对称，故C因为当x∈0,2时，f而函数y=13x所以函数fx在x∈又因fx所以fx在区间-2,0上单调递增，故D错误故选：AC.18．已知函数f(x)=ax2A．对于任意的a∈R，存在偶函数g(x)，使得y=eB．若f(x)只有一个零点，则a=1C．当a=1时，关于x的方程f(x)=m有3个不同的实数根的充要条件为0<m<D．对于任意的a∈R，f(x)一定存在极值【答案】ACD【详解】若y=exf(x)+g(x)=ax2由f(x)=0，得ax当a=0时，解得x=12；当a≠0时，Δ1所以若f(x)只有一个零点，则a=0或a=1，故选项B错误；当a=1时，f(x)=x2-2x+1ex，则f'(x)=当x∈-∞,1时f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈1,3时，f'(x)<0，所以f(x)的极小值为f(1)=0，极大值为f(3)=4又当x=1时，f(x)=0；当x≠1时，f(x)>0，当x→+∞时，f(x)→0；当x→-∞时f(x)的大致图象如图，由图可知，当y=f(x)的图象与直线y=m有3个交点时，有0<m<4所以关于x的方程f(x)=m有3个不同的实数根的充要条件为0<m<4e3f'若a=0，则f'(x)只有一个变号零点x=3若a≠0，因为-ax2+(2a+2)x-3=0所以f'(x)有两个变号零点，此时函数f(x)既存在极大值又存在极小值，故选项故选：ACD．19．已知函数fx和gx分别为R上的奇函数和偶函数，满足fx+gx=2ex，f'A．fB．当x>0时，gx的值域为C．当x≥0时，若fx≥ax恒成立，则aD．当n∈N*【答案】ACD【详解】对于A，因为fx和gx分别为R上的奇函数和偶函数，满足即可得f-x所以可得fx=ex-对于B，gx当且仅当x=0时，等号成立，又因为x>0，所以gx的值域为2,+∞，故对于C，分两种情况．①a≤2，令hx当x≥0时，则h'x=所以hx≥h0②a>2，方程h'x=0若x∈0,x1，则hhx<h0=0，即综上，a的取值范围是-∞,2，故对于D，gx则g1g2…gn累乘得g1g2故g1g2故选：ACD20．已知函数f(x)=x2-8x+6lnx，且函数g(x)=f(x)-mA．f(x)的单调递减区间为(1,3)B．实数m的取值范围为(6C．曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=-x+14-6D．x【答案】ABD【详解】解：对于A，由题设得，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且当x∈(0,1)∪(3,+∞)时，f'(x)>0；当所以f(x)的单调递增区间为(0,1),(3,+∞)，单调递减区间为(1,3)，故对于B，因为函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+∞所以f(x)的极大值为f(1)=1-8+0=-7，极小值为f3当x趋向于0时，f(x)趋向负无穷，当x趋向于正无穷时，f(x)趋向于正无穷．由于函数g(x)=f(x)-m有三个零点，因此6ln3-15<m<-7，故对于C，由已知条件，得f2=6ln所以切线方程为y=-x-2+6ln2-12，即对于D，由选项B的分析知，0<x构造函数F(x)=f(x)-f(2-x)，x∈(0,1)，则F'所以F'x>0在(0,1)上恒成立，即F(x)=f(x)-f(2-x)所以F(x)<F(1)=0，即f(x)<f(2-x)在(0,1)上恒成立．又x1∈(0,1)，所以又x2,2-x1∈(1,3)所以x2>2-x1，即故选：ABD．21．已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R，f(x+1)+g(x-2)=3，f(x-1)-g(-x)=1，且g(-1)=2，g(x-1)为偶函数，下列结论正确的是（

）A．f(x)的周期为4 B．g(3)=1C．k=12024f(k)=4048 D【答案】ACD【详解】由于gx-1为偶函数，图象关于y所以gx图象关于x所以gx-2所以fx+1+g而fx-1-g两式相加得fx-1+fx+1=4所以fx+4所以4是fx的一个周期，A选项正确由③令x=1得f1由①令x=1得f2由②令x=1得f0-g-1所以f1所以k=12024f(k)=20244由①令x=-1由fx+1得fx两式相减得gx-3+g-x-1且gx关于-2,1对称，g所以gx+g所以gx+4所以gx是周期为4的周期函数，所以g3=g-1由④令x=2得g2+g4所以k=12024g(k)=20244故选：ACD.22．已知函数fx=xexA．存在a使hx有3B．存在a使hx有4C．不存在a使hx有5D．若hx有6个零点，则a的取值范围为【答案】ABD【详解】当x≤0时，fx=-xex,当x<-1时，f'x>0,fx单调递增，当在x=-1处取得极大值，f-1当x>0时，fx=2x-1exx-1，显然x≠1，当0<x<32时，f'x<0,fx单调递减，当x>32时，又x趋向于0时，fx趋向于1，x=1时，f所以函数fx

令fx=t，则（1）若关于t的方程仅有一解，则Δ=①当a=-12时，令求得t=-1由图可知a=-12时，②当a=12时，求得t=14,f（2）若关于t的方程有两解，则Δ>0,a>12或a<-则t1+t2=a,①若使原函数有4个零点，情况如下：（1）t1=0,t2=（2）t1<0,t（3）0<t（4）0<t若情况（3）成立，即：t1⋅4e32=情况（4）无需再考虑；②若原函数有5个零点，则必有0<t则t2-at+116=0的两根分别落在0,

1e2-a⋅1e③若原函数有6个零点，则0<t1<

Δ=a2-14>0故选：ABD.三、填空题23．已知把函数fx=ax+1+a-xax+a-x（a>0且a≠1【答案】3【详解】由hx得gx是奇函数，（提示：奇函数×所以g