1.3 集合的基本运算（六大题型）（解析版）

1．3集合的基本运算【题型归纳目录】题型一：集合的交集运算题型二：并集运算题型三：补集运算题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算题型五：已知集合的交集、并集、补集求参数题型六：韦恩图在集合运算中的应用【知识点梳理】知识点一：集合的运算1、并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}Venn图表示：知识点诠释：（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只出现一次）．2、交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：知识点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合．3、补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementaryset），简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示：知识点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集．（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）．4、集合基本运算的一些结论，若A∩B=A，则，反之也成立若A∪B=B，则，反之也成立若x（A∩B），则xA且xB若x（A∪B），则xA，或xB求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．【典型例题】题型一：集合的交集运算例1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，则＝（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，可知，故选：C.例2．（2023·四川成都·高一统考期中）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】,故选：B.例3．（2023·浙江台州·高一校联考期中）集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据交集定义以及，可得.故选：B变式1．（2023·辽宁大连·高一大连市第十二中学校考阶段练习）已知集合，则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，所以.故选：C变式2．（2023·江苏南京·高一校考阶段练习）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】集合，，则，故选：A变式3．（2023·黑龙江大庆·高一大庆中学校考阶段练习）设集合，，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意.故选：C变式4．（2023·海南省直辖县级单位·高一校考期中）设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，.故选：B【方法技巧与总结】求集合A∩B的步骤与注意点（1）步骤：①弄清两个集合的属性及代表元素；②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式；③把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可（相同元素只写一个）．（2）注意：若A，B是无限连续的数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．题型二：并集运算例4．（2023·新疆和田·高一统考期中）已知集合，，则.【答案】【解析】因为，，所以，故答案为：例5．（2023·全国·高一专题练习）已知集合}，，则．【答案】【解析】因为集合}，，则.故答案为：例6．（2023·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习）已知集合，则.【答案】【解析】根据并集运算法则，画数轴表示出集合如下图所示易知.故答案为：变式5．（2023·安徽阜阳·高一校考阶段练习）已知集合，，若，则．【答案】【解析】集合，，，，且，，，.故答案为：．变式6．（2023·北京朝阳·高一统考期末）已知集合，集合，则．【答案】【解析】因为，，所以，故答案为：变式7．（2023·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）已知集合，则.【答案】【解析】，则.故答案为：变式8．（2023·上海长宁·高一上海市延安中学校考期中）已知集合，或，则．【答案】，或【解析】因为集合，或，所以，或，故答案为：，或【方法技巧与总结】求集合并集的两个方法（1）若集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集．（2）若集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集，但应注意端点是否能取得．题型三：补集运算例7．（2023·湖北黄冈·高一校考阶段练习）设集，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，，而，则，又，所以.故选：C例8．（2023·全国·高一课堂例题）已知全集，集合，则（

）A． B．或C． D．或【答案】D【解析】因为全集，，所以或，故选：D.例9．（2023·全国·高一课堂例题）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为集合，，所以．故选：C.变式9．（2023·全国·高一假期作业）设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，故选：B.变式10．（2023·高一单元测试）集合，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，因为，所以，故选：D变式11．（2023·高一课时练习）已知全集，如图所示，阴影部分表示的集合是（）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由题图可知，阴影部分表示的集合是，因为，可得，所以.故选：D.【方法技巧与总结】补集的求解步骤及方法（1）步骤：①确定全集：在进行补集的简单运算时，应首先明确全集；②紧扣定义求解补集．（2）方法：①借助Venn图或数轴求解；②借助补集性质求解．题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算例10．（2023·河南南阳·高一校考阶段练习）如图所示，用集合A、B及它们的交集、并集、补集表示阴影部分所表示的集合，正确的表达式是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】阴影部分由两部分构成，左边部分在内且在外，转换为集合语言为，右边部分在内且在外，转换为集合语言为，故阴影部分表示的集合为，C正确；其他选项，经过验证均不合要求.故选：C例11．（多选题）（2023·江苏徐州·高一统考期中）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（

）

A． B． C． D．【答案】ACD【解析】由图可知，阴影部分中的元素在集合中但不在集合中，所以阴影部分所表示的集合是，，，故选：ACD.例12．（多选题）（2023·广东佛山·高一统考期中）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由，，解得，所以；由，解得，所以.对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，，故C正确；对于D，由选项C可知，，故D正确.故选：ACD.变式12．（多选题）（2023·浙江杭州·高一校考期中）已知集合M、N的关系如图所示，则下列结论中正确的（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由图可知，,A错误；，B正确；，C错误；,D正确，故选:BD.变式13．（2023·高一课时练习）已知集合，，若，，则.【答案】3【解析】由题意得1，，，当时，则不满足元素互异性，当即时，，，满足要求.所以.故答案为:变式14．（2023·河南周口·高一校考阶段练习）已知集合，，则等于．【答案】【解析】分别求得集合，，再集合集合的交集和补集的运算，即可求解.由集合，，可得或，所以.故答案为：变式15．（2023·高一课时练习）设全集，若，，，则．【答案】【解析】全集，作出韦恩图如下图所示：由图形可知集合，，因此，.故答案为.变式16．（2023·四川遂宁·高一遂宁中学校考阶段练习）设全集，，，，则集合.【答案】【解析】，则，，，，设集合中的另一个元素为，由韦达定理得，得，.，又，，设集合中另一个元素为，由韦达定理得，得，因此，，故答案为.【方法技巧与总结】求解与不等式有关的集合问题的方法解决与不等式有关的集合问题时，画数轴（这也是集合的图形语言的常用表示方式）可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到．题型五：已知集合的交集、并集、补集求参数例13．（2023·高一课时练习）集合，集合，(1)若，求实数的取值范围.(2)若，求实数的取值范围.【解析】（1）①当时，，此时,解得，②当时，为使，需满足，解得，综上所述：实数的取值范围为.（2）先求时，实数的取值范围，再求其补集，当时，由（1）知，当时，为使，需满足或，解得，综上知，当或时，，所以若，则实数的取值范围是.例14．（2023·高一课时练习）已知集合，，或，若，求实数a的取值范围.【解析】因为，而，所以，即.当满足条件，此时，即.当时，如图所示，则或由，解得；由解得.综上，满足条件的实数a的取值范围是或.例15．（2023·全国·高一专题练习）设集合.(1)讨论集合与的关系；(2)若，且，求实数的值.【解析】（1），当时，；当时，，是的真子集.（2）当时，因为，所以，所以.当时，解得（舍去）或，此时，符合题意.当时，解得，此时符合题意.综上，或.变式17．（2023·全国·高一假期作业）已知集合A＝{x|2a<x<3－2a}，B＝{x|x<5a＋1}(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．【解析】（1）由A∪B＝B，知A⊆B.若，即，时符合题意．当时，由题意得得,综上得a的取值范围是；（2）当，即时.当时，由题意得，解得，综上，的取值范围是或．变式18．（2023·高一课时练习）已知集合，集合，，求k的值．【解析】由题意可知，解得.所以k的值为3.变式19．（2023·全国·高一专题练习）设集合．(1)若，求实数a的值；(2)若，求实数a的取值集合．【解析】（1）由题意可得：，若，则，可得，解得，此时，可得，即符合题意，故实数a的值为3.（2）由（1）可知，对于方程，解得或，若，则，当时，则，满足，符合题意；当时，则，可得；综上所述：或.故实数a的取值集合为.变式20．（2023·湖南常德·高一临澧县第一中学校考期末）已知集合，．(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围．请从条件①，条件②，这两个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．【解析】（1）∵当时，集合，∴．（2）选择①若，∴，∴当时，，解得；当时，，解得，满足题意；综上所述：实数的取值范围是．选择②若，∵或，∴时，，解得；当时，，解得满足题意；综上所述：实数的取值范围是．变式21．（2023·高一课时练习）已知集合，集合，．（1）若，求实数m的值；（2）若，求实数m的取值范围．【解析】（1）因为，所以，所以，所以；（2），或，由已知可得，所以或，所以或，故实数m的取值范围为，或．【方法技巧与总结】利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点（1）方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B=B，A∩B=A等这类问题，解答时常借助交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B．（2）关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A=∅的情况，否则易漏解．题型六：韦恩图在集合运算中的应用例16．（2023·全国·高一随堂练习）建党百年之际，影片《》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止年月底，《长津湖》票房收入已超亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《》的有人，观看了《长津湖》的有人，观看了《革命者》的有人，数据如图，则图中；；.【答案】【解析】由题意得：，解得：.故答案为：；；.例17．（2023·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期末）某城市数，理，化竞赛时，高一某班有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛，其中参加数，理，化三科竞赛的有7名，只参加数，物两科的有5名，只参加物，化两科的有3名，只参加数，化两科的有4名．若该班学生共有48名，问没有参加任何一科竞赛的学生有名．【答案】3【解析】画三个圆分别代表参加数学，物理，化学的人．因为参加数，理，化三科竞赛的有7名，只参加数，物两科的有5名，只参加物，化两科的有3名，只参加数，化两科的有4名．分别填入图形中，又因为有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛，故单独参加数学的有8人，单独参加物理的有13人，单独参加化学的有5人，故是参加竞赛的人数，所以没参加的人数为人．故答案为：3．例18．（2023·全国·高一假期作业）某班30人，其中17人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，9人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为．【答案】11【解析】设喜欢篮球且喜欢乒乓球的人数为x人，则只喜爱篮球的有(17－x)人，只喜爱乒乓球的有(10－x)人，由(17－x)＋(10－x)＋x＋9＝30，解得x＝6，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为17－x＝11人．故答案为：11．变式22．（2023·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期末）某班有40名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和化学小组的有人，同时参加物理和化学小组的有人，则同时参加数学和物理小组的人数为．【答案】4【解析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和物理小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如图所示：由图可知：，解得，所以同时参加数学和化学小组有人.故答案为：4变式23．（2023·全国·高一假期作业）向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则赞成的不赞成的有人.【答案】【解析】由已知得赞成的人数是，赞成的人数是，设都赞成的学生数为，则都不赞成的学生数为，，解得，则赞成的不赞成的有人.故答案为：.变式24．（2023·全国·高一专题练习）疫情期间，某社区因疫情防控需要招募志愿者进行连续3天的核酸采样工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人.则这三天参加的人数最少为.【答案】29【解析】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合A，B，C，设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为，根据题意可作维恩图如图：依题意必有均为自然数，所以，，故这三天参加的志愿者总人数为：当时，总人数最少，最少人数为.故答案为：29.变式25．（2023·广东深圳·高一校考期中）深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动．已知高一（1）班有名同学，其中名同学参加了数学活动，名同学参加了物理活动，名同学同时参加了数学、物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是．【答案】【解析】以集合、分别表示该班参加数学、物理活动的同学组成的集合，表示这个班所有的同学构成的集合，如下图所示：由图可知，这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数为.故答案为：.【过关测试】一、单选题1．（2023·高一课时练习）设，，，则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，则，所以．故选：D.2．（2023·江西萍乡·高一萍乡市安源中学校考期末）已知集合或，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为或，则集合，又集合，则.故选：D.3．（2023·甘肃武威·高一校考期中）若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，故选：A4．（2023·湖北黄冈·高一校联考期中）已知集合，，，则（

）A．或 B．或 C．或 D．或或【答案】B【解析】集合，，且，或，解得：或或，由元素的互异性得不合题意，舍去，则或．故选：B5．（2023·全国·高一课堂例题）设集合，其中t为实数．令，．若C的所有元素之和为6，则C的所有元素之积为（

）A．1 B． C．8 D．【答案】D【解析】由条件知，1，2，4，，（允许有重复）为C的全部元素．因为（恒成立），，所以与其余几个数重复，故只可能是，且，于是（经检验符合题意），此时C的所有元素之积为．故选：D.6．（2023·陕西渭南·高一校考阶段练习）集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合A中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合A，B，有.2020年高考后某校考生再创佳绩，其中收到重点大学录取通知书的有172人，收到师范类大学录取通知书的有121人，这些人中收到重点师范类大学（既是重点大学又是师范类大学）录取通知书的有33人，那么该校考生2020年收到重点大学和师范类大学录取通知书的总人数为（

）

A．293 B．260 C．205 D．154【答案】B【解析】设收到重点大学录取通知书的学生构成集合，收到师范类大学录取通知书的学生构成集合，根据，.故选：B7．（2023·高一课时练习）设集合.若，则（

）A． B．C．1 D．3【答案】B【解析】因为，故，故或，若，则，，此时，符合；若，则，，此时，不符合；故选：B8．（2023·全国·高一专题练习）对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据新定义，数集，，定义，，，集合，，，则可知所有元素的和为，故选：D.二、多选题9．（2023·高一课时练习）（多选）设集合，若，则a的值为（

）A．0 B．C．1 D．2【答案】AB【解析】,∵，∴或.①当时，则方程无解，此时.②当时，此时，∴，得.综上得或.故选：AB10．（2023·高一课时练习）设全集，若，，，则下列结论不正确的是（）A．，且 B．，且C． D．，且【答案】ACD【解析】根据题意利用韦恩图可得：可知：且，故A、C、D错误，B正确.故选：ACD.11．（2023·湖北黄冈·高一校考阶段练习）设集合，则下列说法不正确的是（

）A．若有4个元素，则 B．若，则有4个元素C．若，则 D．若，则【答案】ABD【解析】依题意，，当时，，当时，，若有4个元素，则有且且，，A错误；若，必有或，则，C正确，只有3个元素，B错误；若，则或或，当时，，D错误.故选：ABD12．（2023·高一课时练习）我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（

）A．已知，，则B．如果，那么C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则D．已知或，，则或【答案】BD【解析】对于A：由且，故，故A错误；对于B：由且，则，故，故B正确；对于C：由韦恩图知：如下图阴影部分，所以，故C错误；对于D：或，则或，故D正确.故选：BD.三、填空题13．（2023·高一课时练习）已知或，，则.【答案】【解析】将或与在数轴上表示出来，根据交集的定义，得.故答案为：.14．（2023·全国·高一课堂例题）设，，，则的所有元素之和为．【答案】12【解析】用列举法表示集合，，所以，所以的所有元素之和为12．故答案为：12.15．（2023·江苏·高一假期作业）已知.若，则实数m的取值范围为.【