专题11 模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题

-2024学年九年级数学下册常考压轴题专题11专题：解直角三角形应用中的基本模型姓名：_________班级：_________学号：_________【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】 1【类型二不含特殊角的非直角三角形】 10【类型三“独立”型】 15【类型四“背靠背”型】 19【类型五“叠合”型】 25【类型六“斜截”型】 29【典型例题】【类型一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】例题：（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，小明在游玩时想利用手中的无人机测量一山崖CD（垂直于地面）的高度，小明从A点看向无人机B的仰角为45°．从无人机B处测得看山崖顶端C的仰角为30°，测得看山崖底部D处的俯角为60°，无人机B与山崖的水平距离BE为50米．（图中各点均在同一平面内）．

（1）求山崖的高度（结果保留根号）；（2）若点A距离地面2米，求小明到山崖的水平距离（结果取整数）．（参考数据：，）【变式训练】1．（2023秋·山东潍坊·九年级昌乐二中校考阶段练习）如图，要测量铁塔的高AB，在地面上选取一点C，在AC两点间选取一点D，测得CD=14米，在C、D两点处分别用测角仪测得铁塔顶端B的仰角为α=30°和β=45°．测角仪支架的高为1.2米，求铁塔的高（精确到0.1米）．

2．（2023·四川甘孜·统考中考真题）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为45°，看底部C的俯角为60°，无人机A到该建筑物BC的水平距离AD为10米，求该建筑物BC的高度．（结果精确到米；参考数据：，）

3．（2023·海南·统考中考真题）如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．

（1）填空：度，度；（2）求灯塔到轮船航线的距离（结果保留根号）；（3）求港口与灯塔的距离（结果保留根号）．4．（2023春·海南·九年级校联考期中）如图，小明为测量宣传牌的高度，他站在距离建筑楼底部处6米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为．同时测得建筑楼窗户处的仰角为（在同一直线上．）然后，小明沿坡度为的斜坡从走到处，此时正好与地面平行，小明在处又测得宣传牌顶部的仰角为．（1）填空：__________度，__________度；（2）求距离地面的高度（结果保留根号）；（3）求宣传牌的高度（结果保留根号）．5．（2023春·安徽亳州·九年级校考开学考试）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为.已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．

（1）填空：______.（2）求此时无人机距离地面高度．【类型二不含特殊角的非直角三角形】例题：（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，在每个边长均为1的正方形网格中，点A、B、C均在网格的交点上，则．【变式训练】1．（2023·广东汕头·校考三模）由边长为1的小正方形构成的网格图形中，的顶点A、B、C都在格点上，则．

2．（2023·北京·校联考一模）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为．3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知在中，，，．（1）求；（2）求．4．（2022·湖南·统考中考真题）阅读下列材料：在中，、、所对的边分别为、、，求证：．证明：如图1，过点作于点，则：在中，CD=asinB在中，根据上面的材料解决下列问题：（1）如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，【类型三“独立”型】例题：（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度，无人机在离教学楼底部处米的处垂直上升米至处，测得教学楼顶处的俯角为，则教学楼的高度约为米．（结果精确到米）【参考数据：，，】

【变式训练】1．（2023春·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习）如图，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到达点，沿坡度（坡度坡面铅直高度与水平宽度的比）斜坡走到点，再继续沿水平方向向左走米到达点、、、、在同一平面内，在处测得建筑物顶端A的仰角为，已知建筑物底端与水平面的距离为米，则建筑物的高度约是参考数据：，，（

）

A．米 B．米 C．米 D．米2．（2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为米；

3．如图，小明在公园放风筝，拿风筝线的手离地面高度为，风筝飞到处时的线长为，这时测得，求此时风筝离地面的高度．（精确到，）

【类型四“背靠背”型】例题：（2023春·山东青岛·九年级统考开学考试）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西67°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东23°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：，，，，）．

【变式训练】1．（2023春·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为．

2．（2023春·海南省直辖县级单位·九年级统考期中）某校举办以“测量”为主题的数学实践活动，该校数学兴趣小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度．如图所示，无人机从地面点A处沿着与地面垂直的方向上升，至点B处时，测得大楼底部C的俯角为30°，E测得大楼顶部D的仰角为45°．无人机保持航向不变继续上升50米到达点E处，此时测得大楼顶部D的俯角为60°．已知A、C两点在同一水平线上．

（1）填空：＝_________度，＝_________度；（2）求A、C两点间的距离：（结果保留根号）（3）求这座大楼的高度．（结果保留根号）3．（2023·黑龙江大庆·统考一模）如图，某无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得教学楼顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为57米．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）

（1）填空：______度，______度；（2）求此时无人机与教学楼之间的水平距离的距离；（3）求教学楼的高度．【类型五“叠合”型】例题：（2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习）文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，因塔建于天宁寺内，又名天宁寺塔；文峰塔建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，风格独特，具有上大下小的特点．由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．活动课上，数学社团的学生计划测量文峰塔的高度．如图所示，先在点C处用高1.6m的测角仪测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进12m到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你相关数据求出文峰塔的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，，．）

【变式训练】1．（2023秋·山东聊城·九年级聊城市实验中学校考阶段练习）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为，，A，在同一水平线上．

（1）求小明从点A到点的过程中，他上升的高度．（2）大树的高度约为多少米参考数据：，，2．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶点处测得古树顶端的仰角为，在这棵古树的正前方处，测得古树顶端的仰角为，在点处测得点的俯角为，已知为米，且、、三点在同一条直线上．

（1）求平房的高度；（2）请求出古树的高度．（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）【类型六“斜截”型】例题：（2023春·辽宁阜新·九年级校考阶段练习）如图，在南北方向的海岸线上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号，已知A，B两船相距海里，船C在船A的北偏东方向上，船C在船B的东南方向上，上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东方向上．

（1）求出A与C之间的距离．（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：，）【变式训练】1．（2023·内蒙古·统考中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）．2．（2023春·江苏苏州·九年级统考期中）如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东30°方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．（1）求出此时点A到港口C的距离（计算结果保留根号）；（2）若该渔船从A处沿AC方向向港口C驶去，当到达点A’时，测得港口B在A’的南偏东75°的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）．参考答案【典型例题】【类型一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】例题：【答案】（1）米；（2）135米【分析】（1）利用锐角三角函数求得和，根据，即可得到答案；（2）过点作于点，过点作于点，得矩形，进而求得，利用锐角三角函数求得，即可得到答案．【详解】（1）解：由题意可知：，，，在中，，，在中，，，米答：山崖的高度约为米；（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，得矩形，

则，，，在中，，，，米，答：小明到山崖的距离约为135米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当辅助线是解题的关键．【变式训练】1．铁塔的高约为20.3米【分析】设米，在中，，可得米，则米，在中，，求出，根据可得出答案．【详解】解：由题意得，米，米，，，设米，在中，，米，米，在中，，解得，，铁塔的高约为20.3米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．2．该建筑物的高度约为米【分析】由题意可知，，，，根据三角形内角和定理和等角对等边的性质，得到米，再利用锐角三角函数，求出米，即可得到该建筑物的高度．【详解】解：由题意可知，，，，，，米，在中，米，米，答：该建筑物BC的高度约为米．

【点睛】本题考查的是解直角三角形——仰俯角问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数，熟练掌握直角三角形的特征关键．3．（1）30，45（2）灯塔到轮船航线的距离为海里（3）港口与灯塔的距离为海里【分析】（1）作交于，作交于，由三角形外角的定义与性质可得，再由平行线的性质可得，即可得解；（2）作交于，作交于，由（1）可得：，从而得到海里，再由进行计算即可；（3）作交于，作交于，证明四边形是矩形，得到海里，，由计算出的长度，证明是等腰直角三角形，得到海里，即可得到答案．【详解】（1）解：如图，作交于，作交于，

，，，都是正北方向，，，，故答案为：30，45；（2）解：如图，作交于，作交于，

，由（1）可得：，海里，在中，，海里，海里；灯塔到轮船航线的距离为海里；（3）解：如图，作交于，作交于，

，，，、都是正北方向，四边形是矩形，海里，，在中，，海里，海里，在中，，是等腰直角三角形，海里，海里，港口与灯塔的距离为海里．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．4．（1）45，120（2）距离地面的高度为米（3）宣传牌的高度约为米【分析】（1）由题意，得，，则，，即可由，求解；（2）过点作于，先证明四边形是矩形，得，解，求出的长，即可求解．（3）解，求得（米），再根据是等腰直角三角形，即可求解．【详解】（1）解：由题意，得，∴∴，由题意，得，∴∴．（2）解：如图，过点作于，

由题意得，，∴四边形是矩形．．在中，（米），（米）．答：距离地面的高度为米；（3）解：∵斜坡的坡度为，中，（米），（米）．∴在中，，米．在中，（米），（米）．答：宣传牌的高度约为米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角及坡度坡角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．5．（1）；（2）【分析】（1）作，垂足为，作，垂足为，先求出，，再根据三角形的内角和定理即可得；（2）作，垂足为，作，垂足为，则，先在中，解直角三角形可得，再根据等腰三角形的判定可得，然后在中，解直角三角形可得，最后根据即可得．【详解】（1）解：如图，作，垂足为，作，垂足为，

，，，，，，故答案为：．（2）解：如图，作，垂足为，作，垂足为，

∴，在中，，，，由（1）可知，，∴，在中，，，，又，∴，答：此时无人机距离地面的高度为．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、解直角三角形的应用等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．【类型二不含特殊角的非直角三角形】例题：【答案】1【分析】取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据，得到．【详解】解：如图所示，取格点D，连接，∵，，，，∴是直角三角形，，∵，∴．故答案：1．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，锐角三角函数等，添加辅助线，熟练掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形，正切的定义，是解决问题的关键．【变式训练】1．【分析】先根据勾股定理求出，，，可知，再过点B作，然后根据勾股定理求出，即可得出答案．【详解】根据勾股定理，得，，，∴．过点B作，交于点D，∴．在中，，∴．故答案为：．

【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质等，构造直角三角形是解题的关键．2．【分析】取格点D，连接，根据勾股定理分别求出，，，即得出，说明为直角三角形，最后根据余弦的定义求解即可．【详解】解：如图，取格点D，连接．∴，，，∴，∴为直角三角形，∴．故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，余弦的定义．正确的连接辅助线是解题关键．3．（1）1；（2）【分析】（1）过点作于点，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出；（2）利用勾股定理求出即可．【详解】（1）解：过点作于点，则，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：由（1）知，在中，．【点睛】本题考查解直角三角形．通过作高，构造直角三角形是解题的关键．4．（1）见解析；（2）【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．【详解】（1）证明：如图2，过点作于点，在中，，在中，，，；（2）解：如图3，过点作于点，，，，在中，又，即，，．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．【类型三“独立”型】例题：【答案】【分析】过作于点，可得，根据题意可知米，米，由作图知，米，在中利用三角函数可求出的长，即可求得的长【详解】过作于点，

，米，米，，米，在中，，，米，米，答：教学楼的高度约为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，借助仰角构造出直角三角形，然后利用三角函数进行求解是关键．【变式训练】1．C【分析】延长交的延长线于，作于，首先根据坡度求出，再根据锐角三角函数构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，延长交的延长线于，作于，

由题意得：米，米，米，在中，：，米，在中，，米，，米，米；即建筑物的高度约为米．故选：．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2．【分析】在中，由可求，再由，即可求解．【详解】解：如图，

由题意得：米，米，，在中，，，，甲楼的高为（）米；故答案：．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握解法是解题的关键．3．此时风筝离地面的高度为【分析】根据矩形的判定和性质，直角三角形的性质，三角函数的计算方法即可求解．【详解】解：如图所示，，，

由图可知，人垂直于地面，即垂直于地面，点到地面的高度为，即垂直于地面，且，∴四边形是矩形，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴此时风筝离地面的高度为．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，矩形的判定和性质，三角函数的计算方法，掌握以上知识的运用是解题的关键．【类型四“背靠背”型】例题：【答案】B，C两地的距离约是10千米．【分析】根据平行线的性质可知，推出，再根据正切的定义求出的长．【详解】解：如图：

∵，∴，∴，∴（千米）．答：B，C两地的距离约是10千米．【点睛】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．【变式训练】1．【分析】根据题意得，，，，过B作于E，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：根据题意得，，，，过B作于E，

∴，在中，∵，，∴，在中，∵，∴，∴，∴，∴A，C两港之间的距离为，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．2．（1）；；（2）米；（3）米【分析】（1）根据俯角和仰角的定义求解即可；（2）设，在中可得，在中可得，在中可得，最后由列方程求解即可；（3）由求解即可．【详解】（1）如图，

由题意可得，，，，，，，∴,，故答案为：；；（2）设，则，在中可得，在中可得，在中可得，∴解得：，∴；（3）由（2）可得，，∴【点睛】本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．3．（1）105，135（2）无人机与教学楼BC之间的水平距离BE的距离为米（3）教学楼BC的高度为米【分析】（1）延长交于点，根据题意可得，，，则，再根据三角形的外角定理求出即可；（2）过点A作，垂足为F．根据题意可得，米，米，则，再根据即可求解；（3）在中，，则，即可求解．【详解】（1）解：如图：延长交于点，

由题意得：，，，∴，∵是的一个外角，∴，故答案为：105，135；（2）解：过点A作，垂足为F．

由题意得：，米，米，在中，，（米），∴米，∴米，∴此时无人机与教学楼之间的水平距离BE的距离为米；（3）解：在中，，米，∴米，∴米，∴教学楼的高度为米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．【类型五“叠合”型】例题：【答案】文峰塔的高度约为38米【分析】延长交于点G，设米，在中，求出的长，进而得出的长，中，利用，进行求解即可．【详解】解：延长交于点G．

由题意得：米，米，．设米．在中，，∴（米）．∴米．在中，，∴，解得．经检验：是原方程的根．∴（米）．答：文峰塔的高度约为38米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形，熟记锐角三角函数的定义．【变式训练】1．（1）小明从点A到点的过程中，他上升的高度为米；（2）大树的高度约为米【分析】（1）作于，在中，，则．由勾股定理得,即可求出答案；（2）延长交于点设米．求出米在中，，则米在中，，则米．由得到，即可求得答案．【详解】（1）作于，如图所示，

在中，，．，，米答：小