2022-2023学年河南省郑州市高一下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省郑州市高一下学期期中数学试题

一、单选题

1.如果直线αu平面α,直线人U平面Α，且ɑ〃尸，则。与6的位置关系为（）

A.共面B.平行C.异面D.平行或异面

【答案】D

【分析】根据空间中面面、线面、线线的位置关系直接判断即可.

【详解】因为直线αu平面α,直线力U平面夕，且α〃?，

所以直线〃与6的位置关系为：平行或异面，

故选：D.

2.若复数Z满足（l+i）2z=3+4i,则在复平面内Z的共辗复数所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根据复数除法计算出z,再根据共扼复数定义得出）最后确定对应点在复数平面的位置即

可.

【详解】由α+i）"+4i,得Z=衿=竽=止严=宁=2一,

（1+1）21222

所以I=2+∣i,则其在复平面内其所对应的点为（2,1｝位于第一象限.

故选：A.

3.已知W=6，且α力=-2，则向量α在向量b上的投影向量为（）

2222

A.—ciB.—ciC.—bD.—b

3333

【答案】C

【分析】根据投影向量的定义求向量α在向量爪上的投影向量即可.

【详解】向量α在向量匕上的投影向量为同c°s（α,H∙j=∣,a`bba`b2

—TTT,π-r=---rb=----b

同WW出F3-

故选：C

4.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角

攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一

个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60。，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为

()

「√3

∖-^•--------D.√3

2

【答案】D

【分析】由侧面为等边三角形，结合面积公式求解即可..

【详解】设底面棱长为2”(α>0),正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60。，则侧面为等边三角形,

则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为√3-

故选：D

5.如图，矩形。AEC'是一个水平放置的平面图形的直观图，其中。A'=3,OC=X,则原图形是

B.面积为6点的矩形

C.面积为述的菱形D.面积为逑的矩形

44

【答案】A

【分析】由直观图与原图形面积关系求面积，由直观图得出原图形，证明四边形为菱形即可得解.

【详解】因为直观图中四边形CM'B'C'为矩形，所以S'=0A∙O'C'=3,

所以原图形中四边形面积一走一也一

VV

由。C'=1,ZD'O'A=45。，可得OTy=&,

所以00=20，又CD=CZ）'=1,

所以。C=√i百=3,又OA〃CB,QA=CB,

所以四边形。AfiC为菱形.

故选：A

6.在"1BC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,已知4=60。，⅛=2√3,为使此三角形有

两个，则〃满足的条件是（）

A.λ∕3<α<3B.ʌ/ɜ<a<1'j?>C.3<a<2∙∕iD.y∣3<a<4∙j3

【答案】C

【分析】为使此三角形有两个，只需满足bsinA<α<6,即可求”范围.

【详解】为使此三角形有两个，即加inA<α<3,

Λ2√3×y^<α<2√3.解得：3<a<2√3,

故选：C.

【点睛】本题考查三角形解的情况，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.

7.已知矩形ABCZ）的顶点都在球心为0的球面上，A8=3,BC=B且四棱锥O-AfiC。的体积

为4√J,则球。的表面积为（）

ZrAŋɪnL76>∕3πC224Λ∕7K

A.76πB.112πC.---D.------——

33

【答案】A

【分析】由题意求出矩形的对角线的长，即截面圆的直径，根据棱锥的体积计算出球心距，进而求

出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案.

【详解】由题可知矩形45CD所在截面圆的半径即为ABCD的对角线长度的一半，

Aδ=3,BC=B

―加+（厨=衣,

2

由矩形A8C。的面积S=A8.8C=36，

则。到平面ABCD的距离为人满足：（X3回=4√3,

解得力=4,

故球的半径R=>∕r2+Λ2=，

故球的表面积为：4jτR2=76π,

故选：A.

8.圆O的直径AB=2,弦所=1,点P在弦EF上，则/%.PB的最小值是()

E

【答案】D

【分析】根据平面向量的线性运算法则，得到PA∙PB=∣Pθj-l,再由圆的性质，得到IPOl的最小

值，即可得出结果.

【详解】由题意可得，

PA∙PB=(PO+OA)∙(PO+西=(Po+OA>(PO-OA)=POLj=∣PO∣2-1,

为使IOH最小，只需OPLEF,根据圆的性质可得，此时P为E尸中点时，

又EF=I,因此IPol

Imin

所以PA∙PB的最小值为

故选：D.

二、多选题

9.已知一AfiC三个内角AB,C的对边分别是α1,c,则下列说法正确的是（）

A.若A>B,贝!∣sinA>sinB

B.若AB∙C4>0,则一AfiC为钝角三角形

C.若JIBC为锐角三角形，则SinA>cos8

D.若SiM:sin8:SinC=2:3:4,则ABC为锐角三角形

【答案】ABC

【分析】对于A：结合大角对大边及正弦定理即可求解；对于B：由向量夹角公式即可判断；对于C：

由锐角三角形内角的性质与诱导公式即可求解；对于D：由余弦定理变形式即可求解.

【详解】对于A：由大角对大边及正弦定理可知：

Λ>B=>«>/?=>sinA>sinB,故A正确；

对于B：因为AB∙C4>0,所以AB∙AC<0,

所以A为钝角，所以.ABC为钝角三角形，故B正确;

对于C因为必C为锐角三角形，所以A+BW*>AV-B>。,

所以SinA>sin[]—3）=COS8,故C正确；

对于D：因为sinΛ:SinB:sinC=2:3:4,由正弦定理得:

4:b:c=2:3:4,设a=2Z=b=3Nc=4Z,

a2÷Z?2-C24公+9/_16221人

由余弦定理变形式得:cosC=------------=一＜0

2ab2×2k×3k4

所以C为钝角，故D错误.

故选：ABC.

10.已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（）

A.i+i2+i3+i4=OB.复数-2-i的虚部为T

C.若复数Z为纯虚数,则∣z∣Jz2D.∣zl∙z2∣=∣zl∣∣z2∣

【答案】AD

【分析】根据复数的运算可得A,C,D的正误，根据复数虚部的概念可知B的正误.

【详解】因为i+i2+F+rl=i-l-i+l=0,A正确；

复数-2-i的虚部为-1,B不正确；

若z=i,则z?=-1,Iz『=1,C不正确；

设Zl=a+bi,z2=c+di,所以z∣z2=ac-bd+^ad+hc)∖,

2212222

∣zlz2∣=y∣^ac-hdy+[ad+⅛c)^=∙Jac+h^d+ad+bc

2222,

=y∣a+b--Jc+d=∣z∣∣∣22∣D正确.

故选：AD.

11.在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(sinA+sinB)2=(2sinB+sinC)sinC,

且sin4>3,则下列结论正确的是()

3

兀

A.c-a=acosCB.a>cC.c>aD.C>y

【答案】ACD

【分析】利用正弦边角关系可得c?=2仅c-α),结合余弦定理及锐角三角形知c—“=acosC、

0>O判断A、B、C正误；再由正弦边角关系得SinA=,S',应用倍角公式得ta11C>立，

注意0<C<],即可得范围判断D正误.

【详解】由正弦边角关系知：(。+人)2=(2b+c)c,贝(JQ2+2Q6+∕√=24?+(?2,

2»22

^J↑∖^a2+b2-c2=2h(c-a),而CoSC=^------—>0,则c-α=αcosC,A正确；

Iab

由上知：—>0,即C>α,B错误，C正确；

Cl

CC

SjnC2sin-cos一C/ɜ

由c—a=αcosC知：sinC-sinA=sinAcosC,则sinA=----------=-----------7rɪ=tan—>——,

1÷cosc2co∕C23

2

又OCC<：,∣!⅛O<<,则(<,(a，即§<C<5，D正确.

故选：ACD

IllUlULIUUU1

12.已知点。为一ABC所在平面内一点，满足OC+4O8+"OA=0,(其中九ZR).()

A.当几=〃时，直线。C过边A8的中点；

III.1IIUlrUHl3

B.若IOAl=IOBl=IOq=1,且2=〃=1,则OAMB=—1：

C.若4=2,〃=3时，JIOB与JIOC的面积之比为2:3；

D.若0408=0,且IOAI=IOBl=IO4=1,则九〃满足力+〃2=i.

【答案】ABD

【分析】对于A,根据向量的线性运算结合向量数乘的含义可判断A;对于B,由条件可判断ABC为

ULBiLlLUl

等边三角形，利用数量积的定义即可求得04∙A8的值；对于C,利用作图，结合向量加减法的几何

LlLlUUlIUUUIUUULILllUU

意义，可判断；AoB与，AOC的面积之比；对于D,由OC+208+〃04=0得，OC=-{λOB+μOA),

平方后结合数量积的运算可推得结果.

LnJiLIUlIlULlUUtlULltI1

【详解】对于A,设AB的中点为O,则当2=〃时，有OC+203+〃。4=OC+24OQ=0,

即得O,CO三点共线，故直线OC过边AB的中点，故A正确；

对于B,由于画=IoOq=I且;1=〃=1时，OC+OB+OA=0>

故。为“IfiC的外心和重心，故..ABC为等边三角形，

则NBAO=30,由IOAI=IM=IO4=1可得IA8∣=2χlχcos30=G,

UirUin3

故。A∙AB=lx√Jxcosl500=—-，故B正确；

2

对于C,延长OA至A,使Q4'=3GW,延长08至B',使OE=2O8,

连接A5,设其中点为E,连接OE并延长至C',使EC'=EO,

连接A'C',B'C',则四边形。4'C'B'是平行四边形，

UUUlUUUUll1

所以2OB+3Q4=。*+OA=Oe，而4=2,〃=3时，OC+208+30A=O，

UUUUUUIUUUUUU

故。C+OC'=0,即C,O,C三点共线，且IOeHoC'1，

根据同底等高三角形面积相等，则SAOC=SWu=SAM=2Sj0,

即：AoB与AOC的面积之比为1:2,故C错误；

对于D,因为O4∙OB=0,且IOAI=Io8∣=∣0C∣=l,

UINUUUUUU1ULHlIlUIUU

由OC+2OB+4ft4=0得，OC=-{λOB+μOA),

uu∏7uniɔUiruuπUUr)ʌʌ

所以OC-=220犷+2加OA∙OB+"2θA-=1,即4+=1，故D正确，

故选：ABD

三、填空题

13.已知向量α=(8-匕3),I=(A:+2,2)(无∈R),若&//b，则Ia-N=•

【答案】√5

【分析】首先根据向量共线的坐标表示得到关于k的方程，求出k的值，即可得到〃、〃的坐标，再

求出α-b,最后根据向量模的坐标表示计算即可.

【详解】因为W/。，

所以2(8—幻=3(左+2),解得左=2,

则a=(6,3),6=(4,2),

所以α-b=(2,l),

所以W=J2?+『=6,

故答案为：√5.

14.设复数Z满足条件IZl=1,那么∣z+6+i∣的最大值为.

【答案】3

【分析】利用复数模的三角不等式可求得卜+石+i∣的最大值.

【详解】因为∣z∣=l,则∣z+代+i∣≤∣z∣+*+i∣=l+√57T=3,

当且仅当z=3+；i时,等号成立'故IZ+√^+i∣的最大值为3.

故答案为：3.

15.已知&与方是单位向量，a.h=0.若向量C满足9-"4=2,则ICl的取值范围是.

【答案】［2-^,2+√2］

［分析］通过卜一,_6『=2、向=M=I及α∕=0可求得2(α+b)∙c=c2-2;根据向=M=I且αj

可求得∣α+同，从而可构造出关于ICl和8$卜,4+匕)的等式，利用COS(C,α+b)∈［-l,l］可求得同的

取值范围.

【详解】a,8是单位向量，∙∙∙∣α∣=M=l,

卜一4-=2,

.∙.∣c-α-Z?|=o2-2(α+b)∙c+(α+b)=c2-2^a+b^-c+a2+2a-b+b2=4,

又α∙%=0,∙∙∙2(4+b)∙c=c2-2,

Ial=W=I且α∙6=0.∙.∣α+⅛∣=^

∣c∣^-2=2五IdCoS(C,〃+/?),

又COS9,α+力)∈[—1,1],即I≡[-ɪ,l]

Rl2+2√2∣c∣-2≥0

所以一2jΣ∣0≤"∣2-2≤2^∣%,即,

Icl2-2√2∣c∣-2≤0,

解得2-√Σ≤H≤2+后

故答案为；［2-&,2+应］

16.在锐角—ΛBC中，内角A,B,C所对应的边分别是α,8,c,且2csin(B-A)=24sinAcosB+bsin2A,

则£的取值范围是

a

【答案】（1,2）

【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式将已知化为Sin(B-A)=SinA,根据JLBC为锐角三角形可得

B=2A,C=兀-3A以及!〈Av：,再由正弦定理可得£=吗=出学，利用两角和的正弦展开

64asinAsinA

式和COSA的范围可得答案.

【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得

2sinCSin(B-A)=2sinAsinAcosβ+sinBsin2A

=2sinASinACOSB+2SinBsinAcosA=2sinA(SinΛcosB+sinBeoSA}

=2sinASin(A+5),

因为OVCV兀一C=A+B,所以sin(兀一C)=Sin(A+B)=sinCwO,

可得Sin(8-4)=SinA,

因为0<A<C,0<3<二，所以一二<8-A<巴，

2222

所以8=2A,C=π-3Λ,

TTTlTlTl

由O<B=2A<5,0<C=π-3A<ɪ∏ΓW-<^<-，

所以<cosA<—，ɪ<CoS2A<金，

2224

由正弦定理得C-SinC一sin3"_sin(2A÷A)一sin2AcosA+cos2AsinA

asinAsinAsinAsinA

=2cos2A+COS2A=4COS2A-I∈(1,2).

故答案为：(1,2).

四、解答题

17.己知向量α=(-4,3),6=(1,-2).

(1)设向量α与b的夹角为Θ,求sin。；

(2)若向量碗+方与向量α-6垂直，求实数m.

【答案】(1)弓；(2)y.

【解析】(1)利用平面向量夹角的坐标表示即可求cos。，再利用同角三角函数基本关系即可求解;

(2)利用向量垂直得展开即可求解.

Ca∙b-4+3×(-2)-IO-2

【详解】(1)r*cαri-____—____________-__-_____—______—___

所以Sing=JI-COS2θ=

5

(2)若向量相a+Z?与向量〃一〃垂直，贝Ij("24+/?)•(〃一人)=。，

即"皿+(∖-ιri)ab-b=0,

22

J=(-4)2+32=25,6Z.⅛=^×1+3×(-2)=-10,√=l+(-2)=5,

所以25机—10(1)-5=0,即35a=15,解得：m=-.

18.在二A5C中，角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,且满足JwaCOSC-CSinA=0.

(1)求角C的大小;

(2)已知6=6,_ABC的面积为66，求边长C的值.

【答案】(I)C=^;

(2)c=2√7.

【分析】(1)由正弦定理将√JαcosC-csinA=0边角互化，化简可求出角C的大小;

(2)根据三角形面积公式及余弦定理即得.

【详解】(1)在_ABC中，由正弦定理得：√3sinAcosC-SinCsinA=O

因为0<Av兀，所以SinA>0,

从而道COSC=SinC,又CoSCWO,

所以tanC=b，又()<C<π,

所以C=(;

(2)在一ABC中，SΛAHC=^∙×6α×sin^=6T3,得q=4,

由余弦定理得：C2=62+42-2×6×4COSɪ=28.

所以C=2jy.

19.在一ΛBC中，点RE分别在边BC和边AB上，且"C=28D,BE=2AE,AD交CE于点P,设

BC=a>BA-b-

⑴试用α,〃表示8尸；

(2)在边AC上有点尸，使得AC=5AF，求证：8,P,F三点共线.

14

【答案】⑴BB=Ia+/

(2)证明见解析

【分析】(1)利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解；

(2)利用向量的线性运算及共线向量基本定理即可求解.

22

【详解】(1)设EP=fEC,由题意3E=3BA=]6,

22(2\2

所以EC=EB+BC=a--b,BP=BE+EP-BE+tEC=-b+t∖a--bI-∕α+-(l-r)⅛①，

设DP=kDA,由BO=；BC=ga,DA=DB+BA=b-；a,BP=BD+DP=^{∖-k)a+kb

91

由①、②得，/6?+—(1—∕)z?=—(1—÷⅛∕?,

-&)5

所以O、，解得A，

-(l-r)=⅛k=-

I3v77

14

所以BP=-α+-人；

77

(2)由AC=a-/?，得4尸=qAC=y(a—6),

14

所以BF=BA+AF=y4+T，

7

所以BF=WBP,

因为8尸与BP有公共点B,

所以B,P,F三点共线.

20.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,A8∕∕8,ND48=90,PA_L底面ABCD,且

PA=A。=OC=LAB=I,M是PB的中点.

2

⑴求证:AW=CW;

⑵若N是PC的中点,求证:DN〃平面AMe

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【详解】试题分析：

(1)利用垂直，构造等腰三角形，证明结论成立；

(2)通过构造平行四边形，证明ON〃OM,结合直线与平面平行的判定定理，证明得到直线与平面

平行.

试题解析：

⑴设E为AB的中点，则可得EM，平面ABa)

AM2=AE2+ME2,MC2=CE2+ME25.AE=EC

所以AM=CM.

Q)DE〃BC,O为DE中点,

所以OO〃BC,MN//BC,S.OD=-BC,MN=-BC

22

所以Λ∕M9O为平行四边形，从而DN〃OM

DNa平面AMC,(WU平面AMC

故Z)N〃平面AMC.

点睛：一是推证线面平行时，一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内.

二是推证面面平行时，一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一平面.

三是利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时，必须说明经过已知直线的平面与已知

平面相交，则该直线与交线平行.

21.已知向量α=[coS(O-X),rinʌj,b=."〃[+'),5沁)，函数f(x)=a∙6.

(I)求函数/(x)的最小正周期和单调递减区间；

(H)在一ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2小，/(C)=-∣,求一ΛBC面积的最

大值.

TT24

【答案】(I)最小正周期为万，单调递减区间为kτt+-,kπ+-,&∈Z;(II)√3.

OJ

【分析】(I)根据向量数量积的定义求出函数的解析式，结合周期公式以及单调性进行求解即可：

(II)根据条件求出C的值，结合余弦定理以及基本不等式，以及三角形的公式进行求解即可.

【详解】解：(I)F(X)=α∙A=(cos(q-x),-S底)∙(si”(x+^),sinx)

-(cos2X-sin2χ}+—Sinxcosx=ɪcos2x+—sin2x=-sin∖2x+-

4v,244216

函数的周期τ=E"'

由2AZΓ+H≤2X+C≤2A:"+3,⅛∈Z,

262

π9TT

即kτrH—≤X≤kτvH-----,Z∈Z,

即函数的单调递减区间为kn+Jkπ+=z∈z.

(∏)/(C)=-p

sin2c+ɪ

∙^lτ2

si"(2C+?)

即2C+三=2及万一石，得C=k兀一三，keZ

623

2ττ

o<c<^∙,.∙∙当R=I时，C=—,

由余弦定理得c2=a2+b2—IabcosC,

C=2Λ∕3,

.0.12=+⅛2-Iabcos—=6Γ2+