高中物理竞赛模拟试题+物理竞赛复赛试题及答案

高中物理竞赛模拟试题+物理竞赛复赛试题及答案

模拟训练试卷①

第一题（16分）

1.天文学家根据观测宣布了如下研究成果：银河系中心可能存在一个大黑洞.黑洞是

一种神秘的天体，这种天体的密度极大，其表面的引力如此之强，以至于包括光在内的所有接近

黑洞的物体都不能逃脱其引力的作用.人们用口径为3.5m的天文望远镜对猎户座中位于银河

系中心附近的星体，进行了长达6年的观测，发现距黑洞6X10∣2∏I的星体以2000km

/s的速度绕其旋转.另外，根据相对论知识，光子在运动时有质量.设光子在运动时质量

为m,光子与黑洞间的吸引力同样符合万有引力定律。

0

由以上知识可以求出黑洞的最大半径R=_______________________叽.己知引力恒量

G=6.67×10-ιιN∙m≡/kgzo计算结果取1位有效数字.

2.电子电量为e,质量为m,经过电压为U的加速电场加速后，电子具有的德布罗意波

的波长表达式是A=若Ie=L6义m=9.1×10ɜɪkg,代人数据计算，

当U=150V时，λ=m.

第二题（20分）

如图所示，半径为r的孤立金属球远离其他物体，通过电阻可以忽略的

理想细导线和电阻为R的电阻器与大地连接.电子束从远处以速度V射向金

属球面，若稳定后每秒钟落到金属球上的电子数目为n,电子质量为m,电子电

量数值为e,不考虑电子的重力势能，试求：

1.稳定后金属球每秒钟自身释放的热量Q和金属球所带电量q；

2.稳定后每秒钟落到金属球上的电子数目n不会超过多少？

第三题（20分）

在水平地面某一固定点用枪射击，射出的子弹在水平地面上落点所能够覆盖的最大面积是

A.若在这一固定点正上方高度为h的位置用同一支枪射击.射出的子弹在水平地面上落点

所能覆盖的最大面积是多大?不计空气阻力，不计枪支的长度，每次射出的子弹初速度大小相

同.

第四题（18分）

如图所示，固定在竖直平面内的椭圆环，其长轴沿竖直方向.有两个

完全相同的小圆环套在椭圆环上，不计质量的轻线将两个小圆环连接在一起,。

轻线跨过位于椭圆焦点F的水平轴，小圆环与轻线系统处于平衡状态.不

计各处的摩擦，小圆环的大小忽略不计.试分析说明，系统属于哪一种平

衡状态？

第五题（20分）

摩尔质量是口、摩尔数是n的单原子理想气体发生了未知的状态

变化（我们称之为X过程）.状态变化过程中，可以认为气体在每

一状态都处于平衡状态.气体的X过程曲线在P—V图像中，向下

平移P后恰好与温度是T的等温曲线重合，如图所示.

OO

1.试写出X过程中气体体积V随温度T变化的关系式；

2.试写出X过程中气体的比热容C与压强P变化的关系式.

第六题（24分）

如图所示，真空中平行板电容器水平放置，电容器下极板固定不动，上极板用轻弹簧连接在

极板中心位置悬挂起来.已知电容器极板面积是A.当上极板静止不动时，弹簧伸长量为X,

此时两极板间距为d.现将电容器与电势差为U的电源连接，使两极板充上等量电荷，

OO

上面是正电荷，下面是负电荷，上极板会发生小幅度振动.上极板在振动的平衡位置时两极

板间距为d,不计电容器边缘效应，不计电源内阻，试求：

1.弹餐的劲度系数k；螺=

2.上极板做小幅度振动的周期T；

3.若弹簧的劲度系数k为某一确定值，上极板做小幅度振_4

动时，电容器充电电压不会超过多少？

第七题（22分）

如图所示，在焦距f=0.15m的凸透镜L主轴上有一小光源S,凸透镜L另一侧有两个反

射面相向放置的平面镜OM和OM.平面镜OM和OM彼此垂直，且与透镜L主轴成45°,两

1212

平面镜的交线与透镜主轴垂直.己知小光源中心到两平面镜的交线距离SO=O.9m,透镜到两

平面镜的交线距离00=0.3m,试求：

1.小光源S在透器主轴上共成多少个像？Tr

2.小光源S在透镜主轴外共成多少个像？.

分别指出像的虚实、位置及放大率.’'

__________________1A-_______

答案与分析

第一题（16分）

1.3xl0*lm.

2.德布罗急波的波长表达式λ=-y---.U=I50V时.2=1,0X

IO,0m.

第二题（20分）

I.稳定后,流过电阻的电流∕=w①

电阻消耗的电功率lzR=n1e1R②

电子束中„个电F在离金屈球很远时的总动能为

2nrnz,2③

根据能批关系,金属球每秒钟自身释放的热IftQ是

22

Q=Et-P=n（^mv-MeH）④

金属球的电势为U=TR=-WR⑤

金属球电势与球而电荷的关系是U=T-2-⑥

4g>r

金属珠所带电Itt</=-4ιrtumeR

2.电子射向金属球要克服金属球薜电斥力做功,节电f的动能足够大

才可能落到金属球匕即要演足

-2""I?-<>l√=neiR⑹

检定后加秒仲落到金属球上的电f«（目”的最大值为

_―一ΛΛ

-Jrni®

第三Il（2。分）

落点所置^的班大面机是A∙2h，r八.

将固定点作为*ħ标原点。,建立鳖直半面内C半尿设！,弹机速度

为υ0,⅛水平地面夹角为6,则了抑运动轨迹为

…所枭6①

对「大小机IE的初速度%.在夹角

O不同时.子弹运动轨迹构成橄物线

族,该他物线帙的包络线如图（>中曲线

c所示‘包络”'j，轴史点到原点”的

那博W是住地向匕射击时（弹坡大水

平伸移.包络线方程为

在地面上射击.子弹Jft大水平位移（图中。、）和最大岛度Oy分别是

由题设条件可知.Asn（-l∙Φ

根据包络线方程可以知道，在y=h时」的值（即图6中。M）为在

固定点正上方高度为Λ的位Is射击时.子弹运动的最大水平距离,右

OMT（亲人）⑤

在固定点正上方高度为Λ的位W射击.射出的子井在水平地面上落点

所能雇找的戢大面枳A是

ALr2寅亲力）=.（呀+泌驾

第四题（18分）

设每个小环的康量为m.K他数据如图7所示.取确硼焦点b所在水平

面为由力军卷面,则小圆环。轻线系统势能为

E-mg(r∣α*fl∣+rj<κβ^2)①

箱Wl环的摩数方程为

由⑵式可得

rrmf

z∙∣cuβtf∣f',l^2Pj③

代人①人可得

Φ

χtτmaι.r,+r1=/（轻线的长度）.为常心因此布

E=mgβ'⅛⅛t⑤

"二e'

系统势能E为常"1.故小圆环，.j轻绥系统处「幽遇平做状态

弟五题（20分）

1.r过程曲线向F平移Po后与To的等翘曲线某令.有

（P-PQ）V=Mφ

而上过程中,气体状态变化为

PV=nRT②

①、②联r过程中气体体枳V地温度变化T之后的关尿式

V=/（r-τG

ɛo

2.根据③式可以知10.在ʃ过程中气体体枳V发生懒小变化W时,在

ΔV=^ΔTφ

根据热力学第定律和单原子理想气体内能公式.在.r过程中,气体体

机V发生微小变化AV时,气体吸热

ΔQ=P∆V+^nKΔT⑤

轿④式代入⑤式,鲍整理得到

隼皿”)⑥

由于M,,ZUir.,过程中气体的比热容r与压强P的关系式为

cr⅛*f(⅞4)⑦

第六修(〃分)

I.设电容器上极板质甲为，”.未充电时行ArO充电后,1：横板电

向受到Hl场力F∖,作用.设平行板间场强为F.模板电地为q,平∙h板间用，为

d时.有

F⅛-4h⅛βj(D

Lid

充电后在平衡位置,I:械板所爱合力为零,”

%(4+务-由)=F*+rug-2(∕∣tn,>i②

也容器电Mg-CU-11u,考虑到呼员的劲度系数1为

A=…讪更.③

2.号虑上极板偏离平债位置，时受力情况,行

FA[，o4(do-di)，*]4F'*♦tug(D

此时t：极板电简受到电场力作用

董⑥^及k.kIw〃"：代人|，式♦有

,小,⑪

fkl..<<t∆yj.1

''242(‹∕l-z)

考虑Iffi设条件IIr《小.因此@「，)；J,(I；)<

加嚼).代人⑥式M

F=-⅛r-^sy^τ∙*-*∙jʃ--*,∙r⑦

在小帼度振动时.上极板做箭城振M.振动周期为

_______T=2ιr√⅝=2√T3⅛)=2)r7g-3⅛_®

3.由③式可知，UZ=女屈一不必⑨

由⑻式可知,上极板做小幅或振动时应满足小〉"则电容器允电

电压不勺超过

"

第七题（22分）

】.如图8所示.小光源S发州的光经过透镜L第I次折射成像f主轴

S∣.根据透镜成像公式：I1=；,1II=SoI=O∙6m,/-U.13m,解得Sl

利透镜距南

Vf=O∣S∣≡0.2mΦ

Sl为实像,像的放大率«1=-J=J②

根据反射规律知道，S∣经过彼此业人的¥面%（Wfl和（）M：A次反

射,成像卜透镜主轴kS2S2与S1关于（）点对称,即

OSl-OS2=0,3∙n-0.2m=0.Im③

瓦为成像.S"∙jSl等人.因此%像的放大笔（柏时『原物S,卜IM）

w∣l≈mi≡ɪφ

S1<⅛ItiMtL第2次折射在原物5同他成像FIlttI.S,（⅛7MR1fit⅝

懂成像公式1一：=：,"「$30.4n,,/（J.l5m,解伸Sl到送债距离

K"V/

τ∙j（J∣SJ=U∙24m⑸

S,为实像相时与的放大率

疝『>'符=。・6⑥

Sj相对S的放大率

m,∣=ɪ×0.6=0.2⑦

由以上分析可知,小光源S在透悔主轴上一成3个像

2.小光源.S在透横图”.所成的像S∣,分别舛过平面债OW1和OM；

•次反射.成像于透僮匕辆外S4«1Sb的位置HIS1UStS6HISl分别

关「平曲镜QM1和OMi对称,且S4'jSt关上透域h轴对称.像S4和S6

为虚像.像S,和S.与SI等大.因此Sa和Se的像放大率

mtn,<∣

fl3

由尸平面镜OM1和OM2彼此垂FL且与透镜L主轴成45',两举面镜

的交线与透镜主轴垂真,因此Sj和“到选谈的距离相同,即

W=。［O=0.3ITl⑩

像S4和%到透镜主轴的距离为

OS4=OSe=OS1=OJm⑪

像S4和Si发出的光线经过透镜I.第次折射在原物S同侧,成像于主轴

外5,和S7,由于u,=Q（）=O.3m=2/.因此像S5和S7到透镜的即离

vs=-P7=0.3m⑫

像S5和S,到透镜主轴的即离

O2Ss=O2S1=OSl=OJm⑬

像Si和S7为实像.Ss和S7与Ss与S4等大.Ss和S7的像放大率

由以上分析可知,小光源S在透镜主轴外共成4个像.

全国中学生物理竞赛复赛试题

一、（15分）一半径为R、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平

且朝上.一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大

小为%）HO）.求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率.重力

加速度大小为9.

二（20分）一长为2/的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m

的小物块D和一质量为。m（α为常数）的小物块B,杆可绕通过小物块B所在端的竖直固

定转轴无摩擦地转动.一质量为m的小环C套在细杆上（C与杆密接），可沿杆滑动，

环C与杆之间的摩擦可忽略.一轻质弹簧原长为/,劲度系数为k,两端分别与小环C和物块

B相连.一质量为m的小滑块A在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D,并与之发生完全弹

性正碰，碰撞时间极短.碰撞时滑块C恰好静止在距轴为r（r>∕）处.

1.若碰前滑块A的速度为1，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；

2.若碰后物块D、C和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A的速度％应满足的条件.

三、(25分)一质量为m、长为L的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内

自由转动.杆在水平状态由静止开始下摆，

1.令λ=r表示细杆质量线密度.当杆以角速度3绕过其一端的光滑水平轴。在竖直平

L

面内转动时，其转动动能可表示为

E=∕cλαtθβLt

k

式中，k为待定的没有单位的纯常数.已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和

单位都相等时才相等.由此求出a、β和Y的值.

2.已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质

心系(随质心平动的参考系)中的动能之和，求常数A的值.

3.试求当杆摆至与水平方向成。角时在杆上距。点为r处的横截面两侧部分的相互作用力.

重力加速度大小为g.

提示：如果X(t)是t的函数，而Y(X(t))是X(t)的函数，则Y(X(t))对t的导数为

dY(X(t))dYdX

dt~dXdt

例如，函数cos。(。对自变量t的导数为

dcosθ(t)_dcosΘdθ

dtdθdt

B(20分)图中所示的静电机由一个半径为R、与环境绝缘的开口(朝上)

金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器G组成.质量为m、带电量为q的

球形液滴从G缓慢地自由掉下(所谓缓慢，意指在G和容器口之间总是只

有一滴液滴).液滴开始下落时相对于地面的高度为6.设液滴很小，容器

足够大，容器在达到最高电势之前进入容器的液体尚未充满容器.忽略G

的电荷对正在下落的液滴的影响.重力加速度大小为g.若容器初始电势为

零，求容器可达到的最高电势U.

max

五、（25分）平行板电容器两极板分别位于z=±%勺平面内，

2

电容器起初未被充电.整个装置处于均匀磁场中，磁感应强xdι↑;KX

度大小为B,方向沿X轴负方向，如图所示.~

1.在电容器参考系S中只存在磁场：而在以沿、轴正方向的-----------------

XX；X>>

恒定速度（O,αO）（这里（0,。,0）表示为沿X、y、Z轴正方向的-------；-------------

速度分量分别为0、。、0,以下类似）相对于电容器运动的---------

参考系S'中，可能既有电场（乩E',□）又有磁场（乩夕，8'）.试在非相对论情形下，从伽

xyzxyz

利略速度变换，求出在参考系S'中电场（E',□,E'）和磁场（*,B',8'）的表达式.已知电荷

XyZxyz

量和作用在物体上的合力在伽利略变换下不变.

2.现在让介电常数为E的电中性液体（绝缘体）在平行板电容器两极板之间匀速流动，流

速大小为。，方向沿y轴正方向.在相对液体静止的参考系（即相对于电容器运动的参考系）

S'中，由于液体处在第1问所述的电场（E',a,0）中，其正负电荷会因电场力作用而发生相

xyz

对移动（即所谓极化效应），使得液体中出现附加的静电感应电场，因而液体中总电场强度

ɛ

不再是（EJE',E'），而是JL（EJE',E'），这里£是真空的介电常数.这将导致在电容器参考

xyzɛxyz0

系S中电场不再为零.试求电容器参考系S中电场的强度以及电容器上、下极板之间的电势

差.（结果用ε、ɛ>VʌB或（和）d表出.）

0

六、（15分）温度开关用厚度均为0∙20mm的钢片和青铜片作感温元

件；在温度为20°C时，将它们紧贴，两端焊接在一起，成为等长的吉甄

平直双金属片.若钢和青铜的线膨胀系数分别为l∙0xlθ5/度和3

2.0x10-5/度.当温度升高到120°C时，双金属片将自动弯成圆弧形，

如图所示.试求双金属片弯曲的曲率半径.（忽略加热时金属片厚度的

变化.）

七(20分)一斜劈形透明介质劈尖，尖角为0,高为/1.今以尖角顶点为坐标原点，建立

坐标系如图(a)所示；劈尖斜面实际上是由一系列微小台阶组成的，在图(a)中看来，每一个

小台阶的前侧而与XZ平面平行，上表面与yz平面平行.劈尖介质的折射率n随X而变化，

n(x)=l+bx,其中常数b>0.一束波长为λ的单色平行光沿X轴正方向照射劈尖；劈尖后

放置一薄凸透镜，在劈尖与薄凸透镜之间放一档板，在档板上刻有一系列与Z方向平行、沿

y方向排列的透光狭缝，如图(b)所示.入射光的波面(即与平行入射光线垂直的平面X劈

尖底面、档板平面都与X轴垂直，透镜主光轴为X轴.要求通过各狭缝的透射光彼此在透

镜焦点处得到加强而形成亮纹.己知第一条狭缝位于>=0处；物和像之间各光线的光程相

等.

1.求其余各狭缝的y坐标；

2.试说明各狭缝彼此等距排列能否仍然满足上述要

图(a)

图(b)

八、(20分)光子被电子散射时，如果初态电子具有足够的动能，以至于在散射过程中有能

量从电子转移到光子，则该散射被称为逆康普顿散射.当低能光子与高能电子发生对头碰

撞时，就会出现逆康普顿散射.已知电子静止质量为m,真空中的光速为U若能量为E

ee

的电子与能量为E的光子相向对碰，

7

1.求散射后光子的能量；

2.求逆康普顿散射能够发生的条件；

3.如果入射光子能量为2.0()eV,电子能量为1.00109eV,求散射后光子的能量.已知

w=0.51110>eV∕c2.计算中有必要时可利用近似：如果∣x∣<<l，有JrGI-L•

e2

第30届全国中学生物理竞赛复赛解答与评分标准

-参考解答:

以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒.滑块

沿半球面内侧运动时，可将其速度。分解成纬线切向（水平方

向）分量°φ及经线切向分量％.设滑块质量为机，在某中间状

态时，滑块位于半球面内侧P处，P和球心。的连线与水平方向的夹角为0.由机械能守恒

得

-mv2=-mqRsinθ+-mv2+-mv2

202φ2θ

（1）

这里已取球心O处为重力势能零点.以过。的竖直线为轴.球面对滑块的支持力通过该轴，

力矩为零；重力相对于该轴的力矩也为零.所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动

量守恒，故

mvR=mvRcosθ.

由（1）式，最大速率应与。的最大值相对应

V=υ(θ

（3）

而由⑵式，q不可能达到兀1由（1）和（2）式，q的最大值应与Z=O相对应，即

%（θ）=（）.

（4）式也可用下述方法得到：由（1）、（2）式得

2gRsinθ-02taικθ=02≥()

0θ

若SinO≠0,由上式得

sinθ2gR

_______∖

C0S2OV2

0

实际上，sinθ=0也满足上式。由上式可知

siι%_2gR

CoS20Vl

maxO

由(3)式有

υ2(θ)=2gRsinθ-V2tanɔθ=0,(中)

OmaxmaxOmax

]

将0(。)=°代入式(1),并与式(2)联立，得

1j0max/\

V2si∏2θ-2gRsinθI-Sin26=0.⑸

Omaxmaxmax

以sin。为未知量，方程(5)的一个根是Sinq=0,即q=0,这表示初态，其速率为最小

max

值，不是所求的解.于是sin。≠().约去Sino,方程(5)变为

maxmax

2^/?sin2θ+V2sinθ-2gR=0.(6)

max0max

其解为

(7)

注意到本题中SinO≥()j方程(6)的另一解不合题意，舍去.将(7)式代入(1)式得，当0=θ

max

时

Z\

£»

υ2=V2+z

2(8)

φO

考虑到(4)式有

(9)

评分标准：本题15分.(1)式3分，(2)式3分，(3)式1分，(4)式3分，(5)式1分,

(6)式1分，(7)式1分，(9)式2分.

二、参考解答：

1.由于碰撞时间加很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束.设碰后A、C、D的速度分别为。

A

V>V，显然有

CD

(1)

以A、B、C、D为系统，在碰撞过程中，系统相对于轴不受外力矩作用，其相对于轴的角

动量守恒

mv21+mvr+mv2l=mv21.(2)

DCAO

由于轴对系统的作用力不做功，系统内仅有弹力起作用，所以系统机械能守恒.又由于碰撞

时间At很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束，所以不必考虑弹性势能的变化.故

ɪ111

―mv2+∑mv2+_mv2=_mv2-(3)

2Ð2c2A2o

由⑴、(2)、(3)式解得

4lr8/2n

V-------V,V-------V,V_____V(4)

C8/2⅛Γ2oD8/2+π0A8/2+∏0

［代替(3)式，可利用弹性碰撞特点

V=V-V.(3')

ODA

同样可解出(4).I

设碰撞过程中D对A的作用力为F',对A用动量定理有

1

4z2⑸

尸At=m°-mv--÷⅛7).

ɪA08/2+r20

方向与。方向相反.于是，A对D的作用力为广的冲量为

0I

4/2+Γ2

FNt=2mv

8/2+Γ20

(6)

方向与。方向相同.

0

以B、C、D为系统，设其质心离转轴的距离为X,则

_mr+m2/_2/+r(7)

(α+2)mα+2

质心在碰后瞬间的速度为

υ.vcγ,4/(2/+r)7,(8)

r(a+2)(8Λ+Γ2)θ

轴与杆的作用时间也为At,设轴对杆的作用力为F,由质心运动定理有

2

F∆t+F∆t=(a+2)mv=幻⑵+厂)加。⑼

28/2+Γ20

由此得

r

FM=^L2mv.(IO)

28/2+Γ20

方向与O方向相同.因而，轴受到杆的作用力的冲量为

『Ar(2l-r)ʌ

F∆t=-2mv,(H)

28/2+Γ20

方向与。方向相反.注意：因弹簧处在拉伸状态，碰前轴已受到沿杆方向的作用力；在碰

0

撞过程中还有与向心力有关的力作用于轴.但有限大小的力在无限小的碰撞时间内的冲量

趋于零，已忽略.

[代替(7)-(9)式，可利用对于系统的动量定理

F∆t+F∆t=mv+mv.]

2ICD

[也可由对质心的角动量定理代替(7)-(9)式.]

2.值得注意的是，(1)、(2)、(3)式是当碰撞时间极短、以至于弹簧来不及伸缩的条件下才成立

的.如果弹簧的弹力恰好提供滑块C以速度V_4/r„绕过B的轴做匀速圆周运动的向

C8/2+Γ20

心力，即

k(r-)==⑹"mv2

r(8∕2+Γ2)20(12)

则弹簧总保持其长度不变，(1)、(2)、(3)式是成立的.由(12)式得碰前滑块A的速度"应

满足的条件

_(8/2+π)∣k(r-∕)

Vo41Vmr(13)

可见，为了使碰撞后系统能保持匀速转动，碰前滑块A的速度大小。应满足(13)式.

0

评分标准：本题20分.

第1问16分，⑴式1分，(2)式2分，(3)式2分，(4)式2分，(5)式2分，(6)式1

分，⑺式1分，(8)式1分，(9)式2分，(10)式1分,(11)式1分；

第2问4分，(12)式2分，(13)式2分.

三、参考解答：

1.当杆以角速度ω绕过其一端的光滑水平轴。在竖直平面内转动时，其动能是独立变量λ、

ω和Z,的函数，按题意可表示为

E=fcλαCDβLY

k

(1)

式中，k为待定常数(单位为1).令长度、质量和时间的单位分别为[川、[时]和[7](它

们可视为相互独立的基本单位)，贝以、《、Z,和E的单位分别为

k

[λ]=[M][Δ]-ι,

[ω]=[T]-ι,

⑷=⑷，

[F]fe[M][L]2[T]-2

k

(2)

在一般情形下，若⑷表示物理量q的单位，则物理量q可写为

q=(q)[q]

(3)

式中，(q)表示物理量q在取单位⑷时的数值.这样，⑴式可写为

(E)[E]=k(λ)α(co)β(L)γ[λ]a[co]β[L]γ

kk

⑷

在由⑵表示的同一单位制下，上式即

(F)=∕c(λ)a(ω)p(L)γ

k

⑸

[E]=[λ]a[ω]β[L]Y

k

⑹

将⑵中第四式代入⑹式得

[M][L]2[T]-2=[M]a[L]γ-a[7,]-β

⑺

⑵式并未规定基本单位[L]、[M]和[71的绝对大小，因而(7)式对于任意大小的⑷、[M]和

[T]均成立，于是

a=1,β=2,γ=3

(8)

所以

E=kλ32∕3(9)

ky

2.由题意，杆的动能为

E=E+E

kk,ck,r

(10)

其中，

ii(Lγ

E=-mV2=-(λL)l~ωI(H)

k`e2C2V2J

注意到，杆在质心系中的运动可视为两根长度为2的杆过其公共端(即质心)的光滑水平

2

轴在铅直平面内转动，因而，杆在质心系中的动能E为

Ek,=2E(λ,ω,ʌ)=2⅛λω2(旬'(12)

将(9)、(11)、(12)式代入(10)式得

iCLVSY

⅛λω2£3=KLI_COI+2⅛λω21J

(13)

由此解得

/C=I

6

(14)

于是

E-_iwZL3

k6

(15)

3.以细杆与地球为系统，下摆过程中机械能守恒

.(L.Λ

Ec=mg；sɪnθ(16)

k17J

由(15)、(16)式得

W=J3g,q

(17)

以在杆上距。点为r处的横截面外侧长为Q-r)的那一段为研究对象，该段质量为

λ(L-r),其质心速度为

(18)

设另一段对该段的切向力为7(以。增大的方向为正方向)，法向(即与截面相垂直的方向)

力为N(以指向O点方向为正向)，由质心运动定理得

T+λ（L-r）gcosθ=λ（L-r）a

(19)

N-A(L-r)gsinθ=λ(L-r)α

n

(20)

式中，α为质心的切向加速度的大小

t

dv'L+rdωΔ+rdωdθ3(L+r)gcosθ

<--dΓ-2~di--~dθ^dt4L

(21)

而α为质心的法向加速度的大小

n

L-hr3(L+r)αsinθ

∩—八、->________=_________________________

(22)

由(19)、(20)、(21)、(22)式解得

(∆-r)(3r-Z,)

T=----------------------mgcosθ

4Z√-

(23)

(∆-r)(5L+3r)

N----------------------mgsinθ

(24)

评分标准：本题25分.

第1问5分，(2)式1分，(6)式2分，⑺式1分，(8)式1分；

第2问7分，(10)式1分，(11)式2分，(12)式2分，(14)式2分；不依赖第1问的结果,

用其他方法正确得出此间结果的，同样给分；

第3问13分，(16)式1分，(17)式1分，(18)式1分，(19)式2分，(20)式2分，(21)式2

分，(22)式2分，(23)式1分，(24)式1分；