高中数学北师大版必修2第一章5.2平行关系的性质作业

[学业水平训练]eq\a\vs4\al(1.)如果直线a∥平面α，则()A．平面α内有且只有一条直线与a平行B．平面α内有无数条直线与a平行C．平面α内不存在与a垂直的直线D．平面α内有且仅有一条与a垂直的直线解析：选B.a∥平面α，由线与平面平行的性质定理知有过a且与平面α相交的平面β，则a平行于平面α和平面β的交线，在α内与交线平行的直线有无数条，故选B.eq\a\vs4\al(2.)如果平面α∥平面β，夹在α和β间的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行、相交或异面解析：选D.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，AA1∥BB1，A1D∩A1B＝A1，AD1与A1B是异面直线．故选D.eq\a\vs4\al(3.)如图所示，长方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为AA′，BB′的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行或异面解析：选A.由长方体性质可知EF∥平面ABCD.EF平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH.∴EF∥GH.又∵EF∥AB.∴GH∥AB，故选A.eq\a\vs4\al(4.)如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于()A．2∶25 B．4∶25C．2∶5 D．4∶5解析：选B.平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，S△A′B′C′∶S△ABC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A′B′,AB)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PA′,PA)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,25).eq\a\vs4\al(5.)如图，已知平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是()A．c与a，b都是异面直线B．c与a，b都相交C．c至少与a，b中的一条相交D．c与a，b都平行解析：选D.因为a∥b，aγ，bγ，所以a∥γ.又aα，α∩γ＝c，所以a∥c，所以b∥c.eq\a\vs4\al(6.)若直线l不存在与平面α内无数条直线都相交的可能，则直线l与平面α的关系为________．解析：若直线l与平面α相交或在平面α内，则在平面α内一定存在无数条直线与直线l相交，故要使l不可能与平面α内无数条直线都相交，只有l∥α.答案：l∥α7.如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF的位置关系为________．解析：由线面平行的性质得，AB∥CD，AB∥EF，由公理4得CD∥EF.答案：平行eq\a\vs4\al(8.)若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8、12，过AB的中点E且平行于BD、AC的截面是四边形，则它的周长为________．解析：如图可知截面EFGH是平行四边形，且EF＝eq\f(1,2)AC＝4，FG＝eq\f(1,2)BD＝6，∴四边形周长是2×(4＋6)＝20.答案：20eq\a\vs4\al(9.)已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明：连接AC交BD于O，连接MO，因为M，O为中点，所以MO∥AP，又因为MO平面BDM，PA平面BDM，所以PA∥平面BDM，又因为PA平面PAHG，平面PAHG∩平面BDM＝GH，所以PA∥GH.eq\a\vs4\al(10.)如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA＝4，BC＝6，与PA、BC都平行的截面四边形EFGH的周长为l，试确定l的取值范围．解：∵PA∥平面EFGH，PA平面PAB，平面PAB∩平面EFGH＝EH，∴PA∥EH，同理，PA∥FG，BC∥EF，BC∥HG；∴eq\f(EF,BC)＝eq\f(AE,AB)，∴EF＝eq\f(AE·BC,AB)，eq\f(FG,AP)＝eq\f(CF,CA)＝eq\f(BE,BA)，∴FG＝eq\f(BE·AP,BA)，∴四边形EFGH的周长l＝2(EF＋FG)＝eq\f(2（AE·BC＋BE·PA）,AB)＝eq\f(12AE＋8BE,AB)＝eq\f(8AB＋4AE,AB)＝8＋eq\f(4AE,AB)，由于0<eq\f(AE,AB)<1，∴8<l<12.[高考水平训练]eq\a\vs4\al(1.)已知l是过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是()A．D1B1∥平面ABCD B．BD∥平面AD1B1C．l∥平面A1C1 D．l⊥B1C1解析：选D.A可由上底面与下底面平行的性质定理判定正确，B，C可由线面平行的判定定理判定正确性．D错在D1B1∥l，l与B1C1所成角是45°.eq\a\vs4\al(2.)如图所示，ABCD­A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝eq\f(a,3)，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．解析：∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝eq\f(2a,3)，故PQ＝eq\r(PD2＋DQ2)＝eq\r(2)DP＝eq\f(2\r(2)a,3).答案：eq\f(2\r(2)a,3)eq\a\vs4\al(3.)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E，M，N，G，H分别是AA1，CD，CB，CC1，BB1的中点，求证：(1)MN∥B1D1；(2)AC1∥平面EB1D1；(3)平面EB1D1∥平面BDG.证明：(1)因为M，N分别是CD，CB的中点，所以MN∥BD.又因为BB1綊DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1，从而MN∥B1D1.(2)连接A1C1，交B1D1于点O，连接OE.因为四边形A1B1C1D1为平行四边形，则O点是A1C1的中点．因为E是AA1的中点，所以EO是△AA1C1的中位线，所以EO∥AC1.又AC1平面EB1D1，EO平面EB1D1，所以AC1∥平面EB1D1.(3)连接GH，因为EA綊B1H，则四边形EAHB1是平行四边形，所以EB1∥AH.因为AD綊HG，则四边形ADGH是平行四边形，所以DG∥AH，所以EB1∥DG.又因为BB1綊DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.因为BD∩DG＝D，所以平面EB1D1∥平面BDG.4．如图，三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．解：若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBM交AE于N，连接MN，NF.因为