6.2.16.2.2平面向量的加减法运算（原卷版）

6.2平面向量的加减法运算知识点一向量的加法运算1、向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．2、向量求和的法则求和法则三角形法则平行四边形法则前提已知非零向量，已知两个不共线向量，作法在平面内取任意一点，作，连接在平面内任取一点O，作OA＝，OB＝，以OA,OB为邻边作▱OACB，结论向量AC叫做与的和，记作＋，即＋＝AB＋BC＝AC以O为起点的向量就是向量与的和图形微点拨：(1)三角形法则与平行四边形法则的记忆口诀①三角形法则：作平移，首尾连，由起点，指终点；②平行四边形法则：作平移，共起点，四边形，对角线．(2)向量加法的三角形法则和平行四边形法则的区别和联系区别联系三角形法则(1)首尾相接(2)适用于任何两个非零向量求和当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半平行四边形法则(1)共起点(2)仅适用于不共线的两个向量求和(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单．3、向量加法中的常见结论特殊规定对于零向量与任意向量，规定特殊结论一般地，我们有，当且仅当，方向相同或者至少有一个为零向量时等号成立两个物理模型(1)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；(2)力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型4、向量加法的运算律交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)微点拨：①应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．②当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立．③多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如知识点二相反向量定义与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作性质(1)零向量的相反向量仍是零向量；(2)对于相反向量有：；(3)若互为相反向量，则微点拨：①相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．.②避免一个误区：即将相反向量等同于方向相反的向量，而是方向相反且模相等的向量．知识点三向量的减法运算及其几何意义定义向量加上的相反向量，叫做与的差，即，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量．求两个向量差的运算叫做向量的减法作法在平面内任取一点，作结论向量图形几何意义如果把两个向量,的起点放在一起，则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量微点拨：①向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，，就可以把减法转化为加法．②两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点．③向量减法满足三角形法则，在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．知识点四向量加法和减法几何意义的联系1、如图，在平行四边形ABCD中，若，则．微点拨：①若，则平行四边形ABCD为菱形．②若，则平行四边形ABCD为矩形．③若，且，则平行四边形ABCD为正方形．2、类比，可知，其中的几何意义分别是以AB,AD为邻边的平行四边形的两条对角线的长．微点拨：①在公式中，当与方向相反且时，；当与方向相同时，．②在公式中，当与方向相同且时，；当与方向相反时，．考点一向量的加法题型一已知向量作和向量易错提醒向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点．1．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量．(1)

(2)

2．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．3．（2022·高一课时练习）如图所示，求：(1)；(2)；(3)；(4).题型二向量加法的运算律及应用提分笔记解决向量加法运算问题时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列顺序，特别注意勿将写成0.1．（2023下·天津红桥·高一统考期末）化简：（

）A． B． C． D．2．（2023下·云南迪庆·高一统考期末）四边形是梯形，，则等于（

）A． B． C． D．3．（2022下·广东梅州·高一兴宁市第一中学校考期中）等于（

）A． B． C． D．4．（2023下·广西·高一统考期末）在矩形中，，，则等于（

）A． B． C．3 D．45．（2016·高一课时练习）如图所示，点分别为的三边的中点.求证：(1)；(2).题型三向量加法的应用问题提分笔记利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤1．（2023下·陕西榆林·高一统考期末）若向量表示“向东航行”，向量表示“向北航行”，则向量表示（

）A．向东北方向航行B．向北偏东方向航行C．向正北方向航行D．向正东方向航行2．（2023·全国·高一课堂例题）如图，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在A，B处，同样的细绳OC下端系着一个称盘，且使得，试分析OA，OB，OC三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大.考点二向量的减法运算易错提醒忽视只有向量共起点时才可用减法法则.题型一用已知向量求解向量的差提分笔记作两个向量的差的两种方法(1)用向量减法的三角形法则①步骤：②口诀：共起点，连终点，指向被减．(2)用向量减法的定义根据转化为向量加法运算，再作图．1．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，求作．(1)

(2)

(3)

(4)

2．（2024上·北京西城·高一统考期末）如图，在正六边形中，（

）A． B． C． D．3．（2022上·浙江丽水·高三校考期中）如图所示，单位圆上有动点A，B，当取得最大值时，等于（

）A．0 B． C．1 D．2题型二向量的加减法混合运算提分笔记1．向量减法运算的常用方法2．向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和；(2)起点相同且为差．解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．1．（2023下·新疆·高一校考期中）化简下列各向量的表达式：(1)；(2)；(3)；2．（2023·全国·高一随堂练习）化简：（1）；

（2）；（3）；

（4）．3．（2022下·高一校考课时练习）如图所示，在矩形中，，，设，，，求.题型三向量加减法几何意义的应用提分笔记利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1)一个关键：一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)三点注意：①注意相等向量、相反向量、共线向量与构成三角形三向量之间的关系；②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律；③注意在封闭图形中利用多边形法则．1．（2022·高一课前预习）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是平行四边形ACDE内一点，且，，，试用向量表示向量，，.2．（2021·高一课时练习）如图所示，，，.(1)用表示；(2)用表示.3．（2023·高一课时练习）已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则（

）A． B．2 C． D．1考点三向量加减法在几何中的应用题型一向量模长的三角不等式1．（2021下·高一课时练习）若向量满足，则的最小值为，的最大值为．2．（2022·高一课时练习）若，则的取值范围为.题型二利用向量加减法判断几何形状1．（2023·全国·高一专题练习）在中，若，则的形状为（

）A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形2．（2023下·云南西双版纳·高一校考期中）在四边形中，若，且，则（

）A．在四边形是矩形B．在四边形是菱形C．在四边形是正方形D．在四边形是平行四边形3．（2020下·高一课时