重难点02求数列前n项和常用10种解题策略-（原卷版）

重难点02：求数列前n项和常用10种解题策略考点01：等差数列公式法①1．两个等差数列和，其前项和分别为，且，则等于（

）A． B． C． D．2．已知在等差数列中，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值．考点02：等比数列公式法②3．已知正项等比数列的前n项和为．若，则（

）A． B． C． D．4．记为等差数列的前项和，已知，.(1)求的通项公式；(2)若是等比数列，且，，求的前n项和.考点03：裂项求和：裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项在利用裂项相消求和时应注意：善于识别裂项类型（1）在把通项裂开后，是否恰好能利用相应的两项之差，相应的项抵消后是否只剩下第一项和最后一项，或者只剩下前边两项和后边两项，有时抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面剩两项,或者前面剩几项,后面也剩几项;（2）对于不能由等差数列，等比数列的前n项和公式直接求和问题，一般需要将数列的结构进行合理的拆分，将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差或系数之积与原通项相等.转化成某个新的等差或者等比数列进行求和。应用公式时，要保证公式的准确性，区分是等差还是等比数列的通项还是前n项和公式。（3）使用裂项法求和时，要注意正负相消时消去了哪些项保留了哪些项，切不可漏写末被消去的项，末被消去的项前后对称的特点，漏掉的系数裂项过程中易出现丢项或者多项的错误，造成计算结果上的错误，实质上也是造成正负相消是此法的根源目的。(4)常见的裂项技巧①等差型（1）（2）（3）（4）②根式型（1）（2）（3）③指数型（1）（2）（3）（4）④对数型⑤幂型（1）（2）（3）5．已知离散型随机变量X的分布列为，其中a为常数，则（

）A． B． C． D．6．记等差数列的前项和为，已知，且．(1)求和；(2)设，求数列前项和．7．在已知数列中，，．（1）若数列是等比数列，求常数和数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围．8．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若，求的前1012项和．考点04：错位相减法：通项公式特点：等差等比，比如，其中代表一个等差数列的通项公式（关于的一次函数），代表一个等比数列的通项公式（关于的指数型函数），那么便可以使用错位相减法9．已知数列的首项，设为数列的前项和，且有．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和．10．已知数列的前项和为.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.考点05：倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n项和公式的推导方法).11．已知函数，则．12．求的值.考点06：分组求和法：有一类数列SKIPIF1<0，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列SKIPIF1<0是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.分组转化法求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和．注：①形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减②形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减③形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减(2)通项公式为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．注：（1）分奇偶各自新数列求和（2）要注意处理好奇偶数列对应的项：①可构建新数列；②可“跳项”求和(3)正负相间求和：①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。注：在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.13．等比数列的公比为2，且成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.14．已知数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前100项的和.考点07：分段求和法：如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和法求和．15.在数列中，，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求．16.已知数列的前项和.（1）求证：是等差数列；（2）求数列的前项和.考点08：奇偶分析求和法17.已知数列满足，，，数列的前n项和为，则（

）A．351 B．353 C．531 D．53318.设数列的前n项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前15项的和.考点09：其它求和法19．数列的前项和，则等于()A．171 B．21 C．10 D．16120．已知数列满足，，则其前6项之和是（）A．16 B．20 C．33 D．12021．设数列有，则.22．数列的通项公式为，前项和为，则＝.23．已知数列是等差数列，且，．(1)求的通项公式；(2)表示不超过x的最大整数，如，．若，是数列的前n项和，求．24．已知数列的前n项和为，，．(1)求的通项公式；(2)设，，求数列的前n项和．走进高考1．（2021·全国·统考高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折次，那么.2．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．3．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．4．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．5．（2021·全国·统考高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．6．（2020·全国·统考高考真题）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．7．（2019·全国·高考真题）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；（2）求{an}和{bn}的通项公式.8．（2018·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，．

（1）求的通项公式；

（2）求，并求的最小值．9．（2018·全国·高考真题）已知数列满足，，设．（1）求；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求的通项公