数学北师大版必修3学案2-2-1顺序结构与选择结构

§2算法框图的基本结构及设计2．1顺序结构与选择结构知识点一算法框图[填一填]1．通常，为了使算法结构更加清晰，可借助框图来帮助描述算法，这便得到了算法框图．图的特点是直观、清楚，便于检查和交流．算法框图有三种基本结构：顺序结构、选择结构和循环结构．2．几个基本的框图和它们各自表示的功能.[答一答]1．画算法框图的步骤．提示：画算法框图的步骤：(1)提出问题；(2)确定数学模型和计算方法；(3)画程序框图；(4)检查有无错误；(5)修改程序框图；(6)结束．其过程如图．知识点二顺序结构和选择结构[填一填]3．顺序结构(1)定义：按照步骤依次执行的一个算法，称为具有“顺序结构”的算法，或者称为算法的顺序结构．(2)算法框图：如图所示．(3)执行步骤的方式：先执行步骤甲，再执行步骤乙．4．选择结构(1)定义：在算法中，需要判断条件的真假，依据判断的结果决定后面的步骤，像这样的结构通常称为选择结构．(2)算法框图：如图所示．(3)执行步骤的方式：每次仅能执行一个步骤．当条件为真时，执行步骤甲；当条件为假时，执行步骤乙，不能同时执行这两个步骤，也不能一个步骤也不执行．[答一答]2．算法框图的判断框有两个退出点，是否表示在这里同时执行？提示：不是，在判断框处进行真假判断，只能执行其中一个．(1)起、止框是任何算法框图都不可缺少的，表明程序的开始或结束；(2)输入(出)框可以用在算法中任何需要输入(出)的位置，需要输入(出)的字母、符号、数据等都填在框内；(3)处理框用于填写处理数据需要的算式、公式等，另外，对变量进行赋值，也用到处理框；(4)当算法要求对两个不同的结果进行判断时，需要将判断的条件写在判断框内；(5)一个算法步骤到另一个算法步骤用流程线“↓”或“”连接，如果一个算法框图需分开来画，要在断开处画上连接点，并标出连接的号码．类型一顺序结构的算法框图【例1】已知f(x)＝x2－2x－3，求f(3)，f(－5)，f(5)，f(3)＋f(－5)＋f(5)的值．设计出解决该问题的一个算法，并画出算法框图．【思路探究】本题的算法实际上就是将相关数值代入函数计算的过程．【解】算法步骤如下：1．输入x＝3；2．计算y1＝x2－2x－3；3．输入x＝－5；4．计算y2＝x2－2x－3；5．输入x＝5；6．计算y3＝x2－2x－3；7．计算y＝y1＋y2＋y3；8．输出y1，y2，y3，y.算法框图如图所示．规律方法画顺序结构框图的思路顺序结构指的是依次进行多个处理的结构，其特点是各部分按照出现的先后顺序执行．在使用顺序结构画算法框图时要注意：(1)正确使用各种图框；(2)要先输入，再运算，最后输出结果．已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，求线段AB的长度d及中点P的坐标，试设计算法，并画出算法框图．解：算法步骤如下：1．输入x1，y1，x2，y2；2．计算d＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)；3．计算x0＝eq\f(x1＋x2,2)，y0＝eq\f(y1＋y2,2)；4．输出d，x0，y0.算法框图如图所示．类型二设计含有选择结构的算法框图【例2】已知函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x，x>0，,0，x＝0，,－x－3，x<0，))设计一个算法，输入自变量x的值，输出对应的函数值．请写出算法步骤，并画出算法框图．【思路探究】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数表达式不同．因此当给出一个自变量x的值时，也必须先判断x的范围，然后确定利用哪一个解析式求函数值，因此函数解析式分为三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断．【解】算法如下：1．输入自变量x的值．2．判断x>0是否成立，若成立，计算y＝1＋x，否则，执行下一步．3．判断x＝0是否成立，若成立，令y＝0，否则，计算y＝－x－3.4．输出y.算法框图如图所示．规律方法设计算法框图时，首先设计算法步骤(自然语言)，再将算法步骤转化为算法框图(图形语言)．如果已经非常熟练地掌握了画算法框图的方法，那么可以省略设计算法步骤而直接画出算法框图．对于算法中含有分类讨论的步骤，在设计算法框图时，通常用选择结构来解决．画算法框图时，容易漏掉终端框，其原因是没有掌握画程序框图的规则，任何算法框图必须有终端框，终端框表示算法框图的开始和结束，否则是不完整的．求过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率．设计该问题的算法并画出算法框图．解：先对x1，x2是否相等进行判断，然后利用斜率公式．算法如下：第一步，输入x1，y1，x2，y2.第二步，如果x1＝x2，输出“斜率不存在”；否则，k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).第三步，输出k.算法框图如下图所示：类型三算法框图所表示的算法的功能【例3】阅读如图所示的框图，回答下列问题：(1)该框图要解决的是什么问题？(2)若输入的x值为0和4时，则输出的y值相等，求当输入的x值为3时输出的y值．(3)依据(2)的条件，要想使输出的y值最大，求输入的x值．【思路探究】分清各框图的功能，根据各框图内容及框图的关系求解．【解】(1)该框图是求二次函数y＝－x2＋mx的函数值．(2)令f(x)＝－x2＋mx.当输入的x值为0和4时，输出的y值相等，即f(0)＝f(4)，解得m＝4，所以f(x)＝－x2＋4x，所以f(3)＝－32＋4×3＝3，即当输入的x值为3时，输出的y值为3.(3)由(2)可知f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，故当输入的x值为2时，输出的y值最大，最大值为4.规律方法读懂框图是本节的基本要求，高考对框图考查的类型之一就是读图，明白框图的作用是什么，解决的是什么问题，解决问题的过程中需要用到哪些步骤．对于顺序结构的框图，按照自上而下的顺序依次执行即可．下图所示的算法框图的功能是已知圆的半径，求圆的面积．类型四实际应用问题的框图设计【例4】“特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式．某快递公司对甲、乙两地之间物品的托运费的规定如下：若托运物品的质量x不超过50千克，则按每千克0.53元收取托运费；若托运物品的质量超过50千克，则超出部分按每千克0.85元收取托运费．试画出计算托运费用的算法框图．【思路探究】eq\x(审题)→eq\x(选择函数模型)→eq\x(\a\al(写出函数,解析式))→eq\x(设计算法)→eq\x(画程序框图)【解】依题意，甲、乙两地之间物品的托运费y(元)与托运物品的质量x(千克)之间的函数关系式为：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.53x，0≤x≤50，,50×0.53＋x－50×0.85，x>50))故只要把托运物品的质量x输入，再根据相应的公式进行计算，即可输出托运物品的费用．算法框图如下图所示．规律方法这是一个实际问题，首先要建立实际问题的数学模型，即根据题意写出函数表达式，显然这是一个分段函数．根据函数表达式可知，托运费用的计算公式随物品质量x的变化而有所不同，因此在计算时要先对物品的质量作出判断，在不同的条件下执行不同的指令，这是选择结构的运用，只涉及一个判断点，因而是二分支条件判断的选择结构．银行的三年期定期存款年利率4.25(每100元存款到期平均每年获利4.25元)．请你设计一个程序，输入存款数，输出利息与本利和．解：设存款为a元，据题意三年到期利息b为：eq\f(a,100)×4.25×3＝0.1275a元．到期本利和p为：a＋0.1275a＝1.1275算法框图为：——规范解答——分类讨论思想在条件结构中的应用分类讨论的思想在算法中有着广泛的应用，特别是在算法的“条件结构”中，分类讨论的思想彰显得特别明显．【例5】(12分)在图书超市里，每本书售价为25元，顾客如果购买5本以上(含5本)，则按八折优惠；如果购买10本以上(含10本)，则按五折优惠．请写出算法并画出这个算法的算法框图．【思路点拨】明确题意，写出函数表达式，写出算法，然后画出算法框图．【满分样板】设购买的图书为x本，付费y元，由题意知：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25xx<5，,20x5≤x<10，,12.5xx≥10.))4分算法如下：第一步，输入x.第二步，若x<5，则y＝25x；否则执行第三步．第三步，若x<10，则y＝20x；否则执行第四步．第四步，y＝12.5x.第五步，输出y.8分算法框图如图所示.12分【思维启迪】1.本例是实际问题，故应先建立数学模型，找出函数关系式y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25x，x<5，,20x，5≤x<10，,12.5x，x≥10，))由此看出，求付费时需先判断x的范围，故应用条件结构描述．2．该问题含有两个条件结构，当题目出现多个条件时，要分清条件的先后次序，再设计算法框图．设火车托运质量为w(kg)的行李时，每千米的费用(单位：元)标准为f＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.4w，w≤30，,0.4×30＋0.5w－30，w>30.))试画出路程为s千米时，行李托运费用M的算法框图．解：算法如下：第一步，输入物品质量w、路程s，第二步，若w>30，则f＝0.4×30＋0.5(w－30)；否则，f＝0.4w.第三步，计算M＝s×f.第四步，输出M.算法框图如图所示：一、选择题1．下列函数求值算法的算法框图中需要选择结构的函数为(C)A．f(x)＝x2－1B．y＝x2－1C．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1x≤2.5，,x2－1x>2.5))D．f(x)＝2x解析：C项的算法框图执行前，首先要对输入的x的值进行一个判断，然后再根据不同的条件进行下一步计算，是典型的选择结构．2．对起止框叙述正确的是(C)A．表示一个算法的开始或结束，图形符号是eq\a\vs4\al(▭)B．表示一个算法的输入和输出的信息，图形符号是eq\a\vs4\al(

)C．表示一个算法的开始或结束，图形符号是D．表示一个算法中输入和输出的信息，图形符号是eq\a\vs4\al(▭)解析：起、止框表示一个算法的开始或结束，用椭圆形的矩形表示．故选C.3．阅读如图所示的算法框图，若输入的a、b、c分别是21、32、75，则输出的a、b、c分别是(A)A．75、21、32 B．21、32、75C．32、21、75 D．75、32、21解析：执行过程如下：∵a＝21，b＝32，c＝75，x＝a＝21，a＝c＝75，c＝b＝32，b＝x＝21，∴输出a＝75，b＝21，c＝32.二、填空题4．写出图中算法框图的运行结果．(1)由①中输出S＝eq\f(5,2).(2)由②中，若R＝16，则a＝4.解析：(1)由图①知S＝3/6＋6/3＝eq\f(5,2).(2)由图②知，若输入16，则b＝eq\r(16/4)＝